因为实分析所包含的内容非常广泛,
所以不应该强迫学生去记忆定义和定理.
因此, 我不建议采取闭卷考试,
也不建议采取那种通过对书本内容进行反刍式的压缩而做的考试.
(事实上, 在考试中, 我会为学生提供一张附页,
这张附页会列出与本次考试内容相关的关键性定义和定理.)
相较于: 普林斯顿数学分析读本, (陶) 涵盖范围更广, 以具体问题为例, 反问引起思考, 为啥需要分析? 一起手, 便是大师风范~ 然后一气呵成! (普) 倒是包含了些拓扑的内容, 但也是蜻蜓点水. 通篇观之, 就是罗列定义, 定理, 陈述证明, 讲几个例题. 确实也算讲解的清晰易懂, 但也仅此而已. 依然会让人疑惑: 为啥需要分析?
从头开始: 自然数
摘记一段话如下:
我不认为我们可以通过公理和形式逻辑为算术奠定更坚实的基础.
如果你还不同意 1 + 1 = 2, 那么,
即使你耗尽毕生研究数理逻辑也不会把这弄得更清楚.
-- Scott Aaronson, 量子计算公开课
因此, 数论中每一次伟大的进步 -- 负数, 无理数,
复数甚至是数字 0 -- 都会带来大量不必要的哲理烦恼.
数可以通过公理来抽象地理解而不需要借助任何实物模型,
这是 19 世纪后期的一个伟大发现.
哈哈: 哲理 (哲学), (自寻) 烦恼
集合论
纯粹集合论
- (正则性公理) 如果
\(A\)
是一个非空集合, 那么
\(A\)
中至少存在一个元素
\(x\)
满足:
- \(x\) 要么不是集合, 要么与 \(A\) 不相交.
- 这个公理 (也被称作
基础公理) 的要点在于它断定了 \(A\) 中至少有一个元素位于对象层级结构中非常低的层级, 以至于该元素不包含 \(A\) 中的其他任何元素.
- (复合是可结合的) 设 \(f: Z \rightarrow W\), \(g: Y \rightarrow Z\) 和 \(h: X \rightarrow Y\) 是三个函数, 那么 \(f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h\).