复分析 可视化方法 (上)

• 复分析: 可视化方法
  • 原作名: Visual Complex Analysis
  • 译者: 齐民友
  • 出版年: 2021-01

齐民友因病医治无效于 2021 年 8 月 8 日在武汉逝世, 享年 92 岁.

世间再无: 齐民友! 齐民友先生是极其少有的大家, 译作更在原作之上锦上添花, 实属罕见! 感念先生高义, 俯身翻译佳作, 照顾吾等一般读者~ 感激涕零, 深思缅怀! 愿先生之精神, 后继有人!

我愿向专业的读者致歉, 因为我发明了一个词: "伸扭" 作为 "导数" 的同义语,
我从 "伸缩" 和 "扭转" 两字中各取部分凑在一起创造了 "伸扭" 这个新词.
我只能说, 我是在教学过程中不得已才造了这样一个词的.
如果不用这样的词来讲授本书的思想, 那你很快就会明白我这样做的用意!

本书无疑还有许多未曾发现的毛病, 但是有一桩"罪行"是我有意去犯的,
对此我也不后悔: 有许多论证是不严格的, 至少表面上看是如此.
如果你把数学仅仅看成人类的心智所创造的, 是岌岌可危的高耸的建筑物,
这就是一桩严重的罪行.
追求严格性就好比绞尽脑汁来维持这幢建筑物的稳定,
以防整个建筑物在你身旁轰然倒塌.
然而, 如果你和我一样,
相信我们的数学理论只不过是试图获取一个柏拉图式世界的某些侧面,
这个世界并非我们创造的, 我就会争论说,
开始时缺少严格性只不过是付出了小小的代价,
使得读者能比采用其他方式更直接更愉快地看透这个世界.

• 众所周知, 1665 年出版的牛顿的微积分的最初版本和我们现在学的微积分很不一样:
  • 它的本质是幂级数运算, 而牛顿把对于幂级数的运算比喻为在算术中运用十进制小数展开式.
  • 符号演算, 就是现在每一本标准教科书上的那种微积分的讲法, 通常是与莱布尼茨的名字连在一起的, 牛顿虽然完全熟悉它, 却认为它对于自己只有附带的意义.
  • 毕竟, 牛顿运用幂级数就能计算 \(\int e^{-x^2} dx\) 那样的积分, 像计算 \(\int \sin x dx\) 一样容易. 请莱布尼茨也来试试这件事!
• 人们不甚知晓的是, 到了 1680 年左右, 牛顿对这两种方法都不再着迷, 那时他着手撰写微积分的第 3 种版本, 并以几何为基础.
  • 这种”几何微积分”正是推动牛顿的 <原理> 走向辉煌的物理学的数学动力.

莱布尼茨, 招你惹你啦?

为什么牛顿特别倾向几何学? 至少部分由于在牛顿的时代几何学最为成熟,
而且是人们 (不只是牛顿) 解决科学问题的最有力工具,
牛顿以及他同时代的大科学家 (还应加上伽利略) 都是欧氏几何的高手.
他的 <原理> 一书可以说是充满了求解"几何难题"的例子,
以致微积分的基本思想 -- 略去高阶无穷小, 也时常隐藏在几何难题后面,
所以读起来很难得其三昧.

说个笑话: 如果你不能放开慧眼, 从几何与物理角度审视问题,
就难以看穿大千世界; 但是, 如果你这样做了, 立定足跟, 循此渐进,
自然能进入牛顿的不二法门 -- 一种几何化的物理科学.

本书作者这样的做法, 值得我们效仿. 这当然有很大的难度, 所以牛顿以后,
如欧拉, 拉格朗日和拉普拉斯, 就以分析的方法来处理同样的问题.
欧拉说过, 完全几何的方法, 时常难以解决力学问题, 或者只能部分地解决;
而拉普拉斯的名著 <天体力学> 则把天体运动的研究完全归结为研究微分方程.
再考虑到微积分的基础经过两百多年的锤炼, 借助 ε-δ 语言得到了较完美的解决,
进程 A 就占据了统治地位. 当然, 从几何和物理侧面考察问题的方法, 也就退居后台了.

19 世纪的数学发展, 风向似乎又有了改变. 这里起了决定作用的有高斯, 特别是黎曼
(他是本书特别推崇的大师) "回到牛顿"可能是 20 世纪才有的口号,
但是潮流的改变在当时已经十分明显.

黎曼在这篇博士论文中提出了现在以他的名字命名的几何对象 -- 黎曼曲面.
现在的教本里通常要么根本不提黎曼曲面,
要么就把它说成是一个奇怪的崂山道士可以钻过来钻过去的虚构的"曲面",
一切都是为了"方便"的权宜之计. 这就离黎曼的思想相距太远了,
黎曼曲面是具有深刻几何 (准确些说, 是拓扑) 内涵的数学对象,
而一个解析函数的本性, 可以说是由它的黎曼曲面决定的, 后来,
由于克莱因和庞加莱等人的功绩, 直到外尔 1913 年发表 <黎曼曲面概念> 这部名著,
才明确了黎曼曲面是一个微分流形.

由于微分流形的概念, 再加上黎曼提出的许多新的拓扑概念或思想,
因此说黎曼是拓扑学的奠基人之一绝不过分, 黎曼的这些贡献对 20 世纪
(以及 21 世纪) 的数学发展影响如何深远, 绝非这里能够讨论的.
我们只能就本书的写法, 介绍一点情况, 以供本书的读者参考而已.

崂山道士, 意译的不错!

本书最后三章的风格, 恐怕在其他数学教材 (不止是复分析教材) 是未曾见到过的,
作者把复解析函数的概念与理想流体的流场, 静电场以及温度场完全地融为一体,
可能读者会问, 怎么能够要求一个数学的学生或老师知道那么多物理学呢?

作者说, 尽管你对于电场可能很生疏, 但是绝大多数人对于热和温度还是熟悉的.
其实就静电场的理论而言, 本书并未超出高中物理学多少. 问题的症结可能是,
学数学的时候总以为物理学是另一个天地, 是我们管不了的;
学物理的时候又很少想到, 这也是数学的用武之地. 总之,
没有按照克莱因的进程 B 所要求的那样, 在数学和物理学的融合上花力气.

请看本书, 讲的是一个解析函数, 也就如同在讲一个流场:
它可能是源或者汇生成的, 也可能是一个偶极子或多极子生成的:
洛朗级数讲的无非就是把这些东西叠加起来,
正幂部分表示在无穷远处有源或者汇或者其他什么,
负幂部分表示有限远处有这些东西; 在某一个流场内放进例如一个单位圆盘,
或者另一个障碍物 R, 流场的变化就是由 R 的外域到单位圆盘的外域的共形映射.
这样的变化当然是存在的, 这就意味着这个共形映射也是存在的,
当然我们还需要一个数学证明, 但是应该理解, 这个证明是对一个物理事实的数学说明,
而这个物理事实也就是对一个数学结论的物理说明.

几何和复算术

• 对两个复数的加法和乘法现在也可以赋予确定的几何意义, 即解释为平面上相应的点 (或向量) 的几何运算.
  • 两个复数之和 A + B 由通常向量加法的平行四边形法则给出.
• 乘法法则:
  • AB 之长是 A 之长与 B 之长的乘积, AB 的辐角是 A 与 B 的辐角之和.
• 并不是二次方程迫使我们严肃地考虑复数, 而是三次方程迫使人们这样做.

尽管复数本身仍然是神秘的, 然而庞贝利关于三次方程的工作证实了,
完全实际的问题也需要用复算术来求解.
复数理论以后的发展也和它的诞生一样,
是与数学其他领域 (还有物理学) 的进展密不可分的.

• 从几何上看, 乘以复数 \(A = R \angle \phi\) 就是把平面旋转一个角 \(\phi\), 且放大一个因子 R. 需要提醒几点:
  • 旋转与放大都以原点为中心.
  • 先旋转再放大或者先放大再旋转都是一样.
  • 如果 R < 1, 所谓”放大”其实是缩小.
• 现在该把 \(r \angle \theta\) 换成一个好得多的记号了, 这个记号基于一个奇迹般的公式
  • \[e^{i \theta} = \cos \theta + i \sin \theta\]
  • 欧拉在 1740 年左右发现了它, 现在它被称为欧拉公式以纪念他

用质点运动来论证

• 回忆一个基本的事实: \(e^x\) 是其自身的导数, \(\frac{d}{dx} e^x = e^x\). 这其实是一个可用作定义的事实, 即如果 \(\frac{d}{dx} f(x) = f(x)\) 且 \(f(0) = 1\), 则 \(f(x) = e^x\).
• 与此类似, 如果 \(k\) 是一个实常数, 则 \(e^{kx}\) 可以由以下性质来定义:
  • \(\frac{d}{dx} f(x) = k f(x)\), 且 \(f(0) = 1\).
  • 为了把通常的指数函数 \(e^x\) 从 \(x\) 的实数值推广到虚数值, 我们可以抓住这一点不放, 坚持认定, 当 \(k = i\) 时此式为真, 即
  • \[\frac{d}{dt} e^{it} = i e^{it}\]
• 所以, 给定了一个实自变量 \(t\) 的复函数 \(Z(t)\), 我们总可以把 \(Z\) 可视化地看作一个动点的位置, 而 \(\frac{dZ}{dt}\) 是其速度.
• 我们现在就用这个想法在 \(Z(t) = e^{it}\) 的情况下求其轨迹.
  • 按: \(速度 = V = iZ = 位置逆时针旋转一个直角\).
• 因为此点的初始位置是 \(Z(0) = e^0 = 1\), 所以初速度是 \(i\), 且垂直向上运动.
  • 几分之一秒后, 此点将沿此方向稍微动一点, 而其新速度将与新位置向量成直角.
  • 按此法来构造运动, 很清楚, 此点将沿单位圆周运行.

用幂级数来论证

• 为了做第二个论证, 我们先用幂级数来重新表述定义的性质: \(\frac{d}{dx} f(x) = f(x)\), \(f(0) = 1\).
  • 设 \(f(x)\) 可以表示为 \(a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ...\),
  • 经简单计算可以证明
  • \(e^x = f(x) = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ...\),
  • 进一步的研究则可证明这个级数对 \(x\) 的一切 (实) 值都收敛.
  • 当 \(x\) 为实值 \(\theta\) 时, 这个和是水平轴上实数的无穷和.
• 为了使 \(e^{i \theta}\) 有意义, 我们仍坚持用这个级数, 但令 \(x = i \theta\):
  • \[e^{i \theta} = 1 + i \theta + \frac{(i \theta)^2}{2!} + \frac{(i \theta)^3}{3!} + ...\]
  • 这个级数与 \(e^{\theta}\) 的级数同样有意义. 但是各项并不具有相同方向, 而是每一项的方向都是前一项的方向旋转了一个直角, 成了某种螺旋形线.
  • 已知 \(e^{\theta}\) 级数的收敛性, 即可保证 \(e^{i \theta}\) 的螺旋级数也收敛于 \(\mathbb{C}\) 的某一定点. 然而并不清楚它会收敛于单位圆上角度为 \(\theta\) 的点.
• 为了证明这一点, 我们把这条螺旋形线分为实部和虚部: \(e^{i \theta} = C(\theta) + i S(\theta)\), 这里
  • \(C(\theta) = 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - ...\),
  • \(S(\theta) = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - ...\).
• 至此我们可借助泰勒定理证明 \(C(\theta)\) 与 \(S(\theta)\) 就是 \(\cos \theta\) 与 \(\sin \theta\) 的幂级数, 从而证明欧拉公式.

• 欧拉公式的一个简单而重要的结论是: 正弦和余弦可以用指数函数构造出来.
• 准确地说:
  • \(e^{i \theta} + e^{-i \theta} = 2 \cos \theta\),
  • \(e^{i \theta} - e^{-i \theta} = 2 i \sin \theta\),
• 或者与此等价有
  • \(\cos \theta = \frac{e^{i \theta} + e^{-i \theta}}{2}\),
  • \(\sin \theta = \frac{e^{i \theta} - e^{-i \theta}}{2 i}\).

代数基本定理

• 我们将会看到, 对更高的次数 n, 若不用复数, 则 \((x^n - 1)\) 不能完全因式分解为线性因式. 而在 1716 年复数还是一种罕见并且可疑的玩意儿!
  • 然而, 科茨看到, 如果能把 \((x^n - 1)\) 剖开成实的线性和二次因式, 则他就能算出积分.
  • 所谓”实二次因式”就是系数全为实数的二次式.
• 笛卡儿因式定理, 把根的存在与做因式分解的可能性联系起来:
  • 若 c 是 \(P_n(z) = 0\) 的一个解, 则 \(P_n(z) = (z-c) P_{n-1}\), 其中 \(P_{n-1}\) 是 (n - 1) 次多项式.
• 如果我们能再找到 \(P_{n-1}\) 的一个根 c', 则由同样的推理又有 \(P_n = (z-c) (z-c') P_{n-2}\).
• 这样做下去, 笛卡儿定理使得有望把 \(P_n\) 恰好分解为 n 个线性因式:
  • \(P_n (z) = (z - c_1)(z - c_2) ... (z - c_n)\).
• 如果我们不承认复根的存在 (18 世纪早期人们就是这样认为的), 则这种因式分解有时可能 (例如 \(z^2 - 1\)), 有时又不可能 (例如 \(z^2 + 1\)). 但是与此形成鲜明对照的是, 如果承认复数, 则可以证明 \(P_n\) 在 \(\mathbb{C}\) 中恒有 n 个根, 而因式分解恒为可能.
  • 这称为代数基本定理.

若一多项式具有实系数, 则其复根必为成对复共轭的,
而它可以分解为实的线性因式和实二次因式.

• 因为如果 \(P_n (z)\) 的系数 A, …, E 都是实的, 则 \(P_n (c) = 0\) 必意味着 \(P_n (\overline{c}) = 0\).

变换与欧氏几何

• 当把复数 \(z = x + iy\) 仅仅看成向量时, 我们就用黑体 \(\mathbf{z}\) 来表示它, 并把其分量竖列起来:

• 虽然点乘和叉乘对任意空间向量都有意义, 但我们下面假设所有向量都在同一平面: 复平面内.
  • 给定两个向量 a 和 b, 点乘就是一个向量的长乘以另一向量在此向量上的投影:
  • \[\mathbf{a} · \mathbf{b} = |a| |b| \cos \theta = \mathbf{b} · \mathbf{a}\]
  • 其中 \(\theta\) 是 a 与 b 之间的夹角.
• 叉乘的定义: \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 垂直于 a 和 b 所决定的平面, 其长为 a, b 所张的平行四边形的面积 \(\mathcal{A}\).
  • 但是请停一下, 有两个 (相反的) 方向都垂直于 \(\mathbb{C}\); 我们选哪一个?
  • 若写出 \(\mathcal{A} = |a| |b| \sin \theta\), 就可以看到, 这样写的面积 \(\mathcal{A}\) 是有符号的.
  • 要想看出为何这里有符号, 一个容易的方法是规定这里的 \(\theta\) 是由 a 旋转到 b 所成的角 (而不是二者的夹角), 其值在区间 -π 到 π 中.
  • 可见 \(\mathcal{A}\) 的符号与 \(\theta\) 的符号一致.
  • 如果 \(\mathcal{A} > 0\), 我们就定义 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 是由平面向上指的; 若 \(\mathcal{A} < 0\), 就定义它是向下指的.
  • 由此可见 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = -(\mathbf{b} \times \mathbf{a})\).

右手系

• \(a \times b\) 的定义中包含了一个人为的规定, 叉乘本质上是三维的. 这就提出了一个问题:
  • 如果 a 和 b 被看成了复数, \(a \times b\) 就不可能是复数, 因为它并不位于 a 和 b 所在的 (复) 平面 \(\mathbb{C}\) 内.
  • 对于点乘就不存在这个问题, 因为 a·b 只是一个实数, 但这也就为我们指出了一条出路.
• 因为我们所有的向量都在同一平面内, 对此平面可以指定一个法线方向, 于是, 向量的叉乘要么与此法线有同样的方向, 要么方向相反, 所以一个叉乘与另一个叉乘的区别仅在 \(\mathcal{A}\) 的数值上.
  • 为了本书所需, 我们将重新定义向量的叉乘是由 a 到 b 所张的 (而不只是 a 和 b 所张的) 平行四边形的 (有符号的) 面积:

• 若有两个复数 \(a = |a| e^{i \alpha}\) 和 \(b = |b| e^{i \beta}\), 则由 a 到 b 的角是 \(\theta = (\beta - \alpha)\).
  • 为了看出它们的点乘与叉乘怎样与复数乘法相关, 先考虑用 \(\overline{a}\) 乘 \(\mathbb{C}\) 的任一点的净效果.
  • 这就是旋转一个角 \(- \alpha\) 再放大 |a| 倍, 如果再看斜边为 b 的有阴影的直角三角形在此变换下的象, 则我们可以立刻看到

• 当然也可以通过简单的计算得出这个结果:

• 运动就是平面到其自身的一个映射且使任两点 \(A\), \(B\) 的距离与其象 \(A' = M(A)\), \(B' = M(B)\) 的距离相同.
  • 注意, 我们所称的运动也常称为刚性运动或等距同构.

后文还会出现: 刚性

• 有了关于运动的精确概念以后, 我们对几何相等性就有了一个最终的定义:
  • 如果存在一个运动 \(M\), 使得 \(F' = M(F)\), 就说 \(F\) 全等于 \(F'\), 记作 \(F \cong F'\).
• 其次, 作为以前讨论的一个推论, 我们说: 一个图形的几何性质就是它的经过一切运动都不改变的性质.
  • 最后, 为了回答那个尚未解决的问题: 什么是几何学, 克莱因说, 几何学就是研究运动的集合的所谓不变式 (或不变量).

几何学就是研究 (运动的集合的) 不变量.

• 我们希望所谓几何相等性应该符合以下三个条件.
  • (i) 一个图形应该等于其自身: \(F ~ F\) 对一切 F 成立.
  • (ii) 若 F 等于 F', 则 F' 也等于 F: \(F \thicksim F' \Rightarrow F' \thicksim F\).
  • (iii) 若 F 等于 F', F' 等于 F'', 则 F 也应与 F'' 相等: \(F \thicksim F' \mbox{ } \And \mbox{ } F' \thicksim F'' \Rightarrow F \thicksim F''\).
• 符合这些要求的任何关系都称为等价关系.

• 现在假设仍保留几何相等性的定义, 但对运动的定义加以推广, 即将其中的保距变换族代以某个其他的变换族 G.
  • 应该要明白, 并非任意我们已知的原有的 G 都与我们定义几何相等性的目的相容.
• 事实上, (i), (ii) 与 (iii) 蕴涵着 G 必有以下很特殊的构造.
  • (i) 族 G 必包含一个映一点为其自身的变换 \(\varepsilon\) (称为恒等变换).
  • (ii) 若 G 中含有一变换 M, 则亦必包含解除 M 的变换 \(M^{-1}\) (称为 M 之逆).
  • 可以验证, 为使 \(M^{-1}\) 存在 (且不管 \(M^{-1}\) 是否 G 之元), M 必须具有以下的特殊性质:
  • (a) 把平面映到全平面上,
  • (b) 一对一;
  • 即是说:
  • (a) 平面的每点必为此平面的某点之象,
  • (b) 不同点有不同的象.
  • (iii) 若 M 与 N 都是 G 中之元, 则其复合映射 \(N \circ M\) (先做 M 再做 N) 也是 G 中之元.
  • G 的这一性质称为封闭性.
• 这样我们很自然得到了对整个数学都具有基本重要性的概念: 满足这三条要求的变换族 G 称为群.

• 克莱因的思想是, 我们可以先任意选定一个群 G, 然后定义一种相应的几何学, 即是对 G 的不变量的研究.
  • 克莱因第一次宣布这个思想是 1872 年在埃尔朗根大学, 那时他才 23 岁,
  • 所以后来这个思想就以埃尔朗根纲领为名而著称于世.
• 例如, 若取 G 为运动群, 我们就回到了平面上的欧氏几何学. 但是这远非平面上唯有的几何学, 射影几何学就是另外一种.
• 克莱因对于几何学的视野其实还更宽广. 我们一直关注的是, 当图形是画在平面上任何地方时, 可能有什么样的几何学, 但是也可以假设只允许我们把图形画在某个圆盘 D 内.
  • 应该很清楚, 我们可以恰如构造平面上的几何学一样, 来构造 "D 中的几何学":
  • 给定一个由 D 到其自身的变换之群 H, 相应的几何学就是研究 H 的不变量.
  • 如果你怀疑是否有这样的群存在, 考虑所有绕 D 之中心的旋转之集合好了.

要理解欧氏几何的基础, 看来必须研究其运动群.
现在这个群还是相当抽象地定义为平面到其自身的保持距离的变换之集合.
然而很容易想到运动的一些例子:
平面绕任意点的旋转, 平面的平移, 还有平面对某一直线的反射.

我们的目的是用同样生动的东西来理解最一般可能的运动.
我们先从宣布一个关键事实开始:
一个运动可以由它对任意三角形 (即任意三个非共线的点) 的效果唯一确定.

• 为了区别这两个运动, 可以看它们对于角的影响如何. 所有的运动都能保持角的大小. 但是我们看到 \(\mathcal{M}\) 还保持角 \(\theta\) 的定向, 而 \(\widetilde{\mathcal{M}}\) 却把它反转. 这个区别的本性是:
  • \(\mathcal{M}\) 必定事实上保持所有的角的定向, 而 \(\widetilde{\mathcal{M}}\) 则把所有的角的定向都反转.
• 保持角的定向的运动称为保向的 (或称直接的), 使其翻转的称为反向的. 这样, 平移和旋转都是保向的, 而反射是反向的. 综合以上所得有:
  • 恰好存在一个保向运动 \(\mathcal{M}\) (以及恰好一个反向运动 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)) 将一已给线段 AB 映为另一个等长线段 A'B'.
  • 此外, \(\widetilde{\mathcal{M}} = (\mathcal{M} 再继以对 A'B' 的一个反射)\).
• 这样, 为了理解运动, 我们可以考虑两个随机选出的等长线段 AB 与 A'B', 然后再找出映其一为另一的这个保向运动 \(\mathcal{M}\) (反向运动 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)). 现在就容易证明:
  • 每个保向运动均为一旋转, 或 (作为例外) 为一平移. (1.26)
• 注意, 这个结果使我们对于早先关于旋转与平移的复合的计算有了更深的洞察:
  • 因为任意两个保向运动的复合仍为一保向运动, 它就只可能是一旋转或平移.
  • 反过来, 1.26 可以重新表述如下:
  • 每个保向运动都可以表示为一个如下形状的复函数 \(\mathcal{M} (z) = e^{i \theta}z + v\).

嗯, 终于呼应上了~

• 在下述意义下说平移是例外的: 如果两个线段是随机地画的, 则二者平行是很罕见的.
  • 事实上, 给定了 AB, 则只有当 A'B' 的方向在无穷多方向中, 恰好是 AB 的方向时, 才只需做一个平移,
  • 所以一个随机的保向运动恰为平移这一事件的数学概率确实为零!

对于我们来说, 保向运动比反向运动更重要.
更加强调保向运动的理由是它们构成一个群 (整个运动群的一个子群),
而反向运动则不构成子群. 能看出为什么吗?

在化学里关注的是原子的相互作用, 但是,
想要更深入地洞察它们就必须研究构成原子的电子, 质子和中子.
与此类似, 虽然我们关注的是保向运动,
但是保向运动是由反射运动构成的.
研究构成它们的反射运动, 就能有更深的洞察.

• 准确些说, 每个保向运动均为两个反射的复合.
  • 注意: 每个反向运动均为 3 个反射的复合.
  • 简而言之, 每个运动均为或两个或三个反射复合而成,
  • 这个结果称为三反射定理.

• 正如我们集中于关注保向运动之群, 我们现在也集中于保向相似之群. 平移和伸缩旋转在欧氏几何中的基本作用最终出现在下面的令人吃惊的定理中:
  • 每个保向相似或为一伸缩旋转, 或 (作为例外) 为一平移.
• 对于我们, 这个事实构成了复数的一种”令人满意”的解释, 在前言中还提到, 在物理规律中还可找到其他令人折服的解释.
  • 每个保向的相似变换 \(S^r\) 均可表示为形如 \(S^r (z) = re^{i \theta}z + v\) 的复函数.

空间复数

• 我们现在简要地把上面的思想推广到三维空间.
  • 首先, 空间中的有中心 (以 O 为中心) 的伸缩旋转定义和前面完全一样, 即可定义为有同样中心的伸缩与空间中绕某个过 O 点的轴的旋转复合而成.
  • 欧氏几何的定义的关键性的结果可以推广为:
  • 空间的每一个保向相似变换或为一伸缩旋转, 或为一平移, 或为一伸缩旋转与沿旋转轴的平移的复合.
• 因此自然地会问, 是否可能有空间复数存在, 使其加法为平移的复合, 而乘法为伸缩旋转的复合.
  • 对于加法, 一切都很顺利: 空间每一点的位置向量都可以看作平移, 而这些平移的复合就是空间中通常的向量加法.
  • 注意, 就此而言, 这个向量加法对四维空间, 甚至 n 维空间都一样有意义.
• 现在考虑具有共同的固定中心 O 的伸缩旋转的集合 Q.
  • 一开始, 乘法的定义还很顺利.
  • 因为很容易看到两个这种伸缩旋转的”乘积” \(Q_1 \circ Q_2\) 仍是一个同一类的伸缩旋转 (例如记为 \(Q_3\)).
  • 注意到 \(Q_1 \circ Q_2\) 仍保持 O 不变, 就可以从上述的正向相似变换的分类得到这一点.
  • 如果 \(Q_1\) 与 \(Q_2\) 的放大率分别为 \(r_1\) 和 \(r_2\), 则 \(Q_3\) 放大率显然为 \(r_3 = r_1 r_2\), 而我们将在非欧几何学一章给出由两个旋转 \(Q_1\) 和 \(Q_2\) 做出旋转 \(Q_3\) 的几何作法.
• 然而, 与平面旋转不同, 在空间中, 完成两个旋转的次序是会造成区别的, 所以我们的乘法法则是非交换的:
  • \[Q_1 \circ Q_2 \neq Q_2 \circ Q_1\]
  • 我们肯定是习惯于乘法具有可交换性的, 但是上式不会导致矛盾, 所以这一点还不能看成构造空间复数在代数上的决定性的障碍.

空间复数: 迈向四维~

• 但是, 如果我们企图用空间中的点 (即向量) 来表示伸缩旋转时, 就会出现基本的问题. 我们会类比着复数乘法把方程 \(Q_1 \circ Q_2 = Q_3\) 解释为对点 \(Q_2\) 做伸缩变换 \(Q_1\) 使之变为 \(Q_3\).
  • 但是这样的解释是不可能的!
  • 在空间中确定一个点需要 3 个数, 即其三维空间坐标;
  • 但要确定一个伸缩旋转则需要 4 个数:
  • 一个表示放大率, 一个表示旋转的角度, 还有两个用于表示旋转轴的方向.
• 虽然我们未能找到复数的三维类似物, 却发现了三维的 (以 O 为中心的) 伸缩旋转之集合 Q 为一四维空间.
  • Q 的元素称为四元数, 它们可以画成四维的点或向量, 但是怎样做这件事的细节要到非欧几何学一章才能讲.
  • 四元数可以用通常的向量加法来相加, 也可以用上述的非交换法则相乘 (即做相应的伸缩旋转的复合).

作为变换看的复函数

首先注意, 要画出实函数 f 的图像虽然需要二维空间, 但图像本身
[即点 (x, f(x)) 的集合] 只是一个一维曲线, 其意即是,
只需要一个实数 (即 x) 来确定其上每一点. 与此相类似,
虽然需要四维空间来画出坐标为 (x, y, u, v) = (z, f(z)) 的点的集合,
但图像本身是二维的, 即只需两个实数 (即 x 和 y) 来确定其上每一点.
这样, 本质上, 一个复函数的图像仅仅是一个二维曲面 (即所谓黎曼曲面),
而似乎也能在通常的三维空间中使它可视化.
本书不探讨这个方法, 然而本书最后 3 章特别有助于理解黎曼原来的深刻见识.

多项式

• 卡西尼曲线
• 伯努利双纽线

• 再回到复平面, 有一个定义具有多于两个焦点的卡西尼曲线的很自然的方法, 即具有 n 个焦点 \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_n\) 的卡西尼曲线就是这样的点的轨迹: 此点与各焦点距离的乘积恒为常数.
  • 把上面讲的思想直接推广就可证明这些曲线是以原点为中心的圆周 \(\mid w \mid = 常数\) 在以下映射下的原象, 此映射是由 n 次多项式
  • \[z \mapsto w = P_n (z) = (z - a_1) (z - a_2) ... (z - a_n)\]
  • 给出的, 它的根就是焦点.
• 一个等价的说法是: 卡西尼曲线是 \(P_n (z)\) 的模曲面的截口. 这个曲面有 n 个锥形的脚站在 \(\mathbb{C}\) 平面的 \(a_1\), \(a_2\), …, \(a_n\) 处, 而对于大的 \(\mid z \mid\) 值, 它很像轴对称的 \(z^n\) 的模曲面.

幂级数

• 几何级数

• 已给以 \(k\) 为中心的复幂级数 \(P(z)\), 必存在一以 \(k\) 为中心的圆周 \(\mid z - k \mid = R\), 使 \(P(z)\) 在其内域处处收敛, 而在其外域处处发散.

Page 59

• 若 \(P(z)\) 有收敛圆盘 \(| z | < R\), 则 \(P(z)\) 在任意较小的圆盘 \(| z | ≤ r\) 中恒一致收敛, 这里 \(r < R\).

• 如果一个复函数可以表示成一个幂级数, 则它只能以唯一的一种方式来这样表示: 这个幂级数必为唯一的.
  • 这是以下恒同性定理的直接推论.
• 若在 0 的某一邻域 (不论是多么小), 对所有的 \(z\) 均有
  • \(c_0 + c_1 z + c_2 z^2 + c_3 z^3 + ... = d_0 + d_1 z + d_2 z^2 + d_3 z^3 + ...\),
  • 则这两个幂级数是恒同的, 即 \(c_j = d_j\) 对所有 \(j\) 成立.

本章内容其实很适合对比阅读 陶哲轩实分析, 则所谓的严格性的牺牲将一目了然.

• 幂级数可以用多项式逼近到任意的精确度, 这一事实蕴涵着:
  • 两个具有相同中心的幂级数可以如多项式一样去相加, 相乘和相除.
• 如果两个幂级数 \(P(z)\) 和 \(Q(z)\) 分别具有收敛圆盘 \(D_1\) 和 \(D_2\), 则所得的 \((P + Q)\) 与 \(PQ\) 至少将在 \(D_1\) 和 \(D_2\) 中的较小一个圆盘中收敛 (也可能在大一些的圆盘中收敛).
  • 在 \((P / Q) = P(1 / Q)\) 的情况则没有这种一般的结论, 因为 \((1 / Q)\) 的级数的收敛性不仅受限于 \(D_2\) 的边缘圆周, 还受限于 \(D_2\) 中使 \(Q(z) = 0\) 的点, 因此我们这时还要假定 \(Q(0) ≠ 0\).

• 柯西-阿达玛定理

• 若 \(f(z)\) 可以表示为一个中心在 \(k\) 的幂级数, 则收敛半径是从 \(k\) 到 \(f(z)\) 的最近奇点的距离.

实函数的泰勒级数和傅里叶级数只不过是观察复幂级数的两种不同的方式.

Page 67

指数函数

• 欧拉公式 \(e^{iy} = \cos y + i \sin y\) 可以解释为, \(e^z\) 把虚轴如一条绳子一样, 在单位圆上缠了一圈又一圈.
  • 虚轴的左半平面被映为单位圆的内域, 而其右半平面被映为单位圆的外域.
• 小正方形的象非常接近正方形, 而 (与此相关) 任意两条相交的直线被映为相交的曲线, 而曲线的交角与两直线原来的交角相等.

详细描述在后续章节

至此, 本章稍显乏味~ 其实本章是后续章节的预备知识, 适合回过头来查阅~

多值函数

• 点 \(z = 0\) 称为 \(\sqrt[3]{z}\) 的支点. 一般地说, 令 \(f(z)\) 为一多值函数而令 \(a = f(p)\) 是它在 \(z = p\) 处的一个值, 我们也可以令 \(z\) 沿一始于 \(p\) 也终于 \(p\) 的闭环路运动, 而追随 \(f(z)\) 的运动.
  • 当 \(z\) 回到 \(p\) 时, \(f(z)\) 可能也回到 \(a\) 或者回不到 \(a\).
  • \(f\) 的支点 \(z = q\) 是这样的点, 使得当 \(z\) 沿着绕 \(q\) 一周的任意闭路运行时, \(f(z)\) 不能回到 \(a\).
• 回到 \(f(z) = \sqrt[3]{z}\) 这个特定的例子, 我们已经看到, 若 \(z\) 绕 \(z = 0\) 处的支点 3 周, 则 \(f(z)\) 会回到原来的值.
  • 如果 \(f(z)\) 是通常的单值函数, 则只需 \(z\) 绕 1 周, \(f(z)\) 就会回到原来的值.
  • \(f(z)\) 与这样的单值函数比较, 还要额外转 2 圈才能回到原来的值.
  • 我们把这种情况概括为说 0 是 \(\sqrt[3]{z}\) 的二阶支点.

配图: Page 78

• 一般地说, 如果 \(q\) 是某个多值函数 \(f(z)\) 的支点, 而且 \(z\) 一定要绕 \(q\) 转 \(N\) 圈才能第一次重回 \(f(z)\), \(q\) 就称为 \((N - 1)\) 阶代数支点; 一阶代数支点称为简单支点.
  • 我们需要强调, 完全有可能, 不管 \(z\) 绕 \(q\) 转多少周, \(f(z)\) 也永远回不到原来的值.
  • 这时, \(q\) 就称为对数支点.

支点和奇点一样, 也是收敛性的实实在在的障碍.
这个论证相当一般地表明, 如果一个多值函数的某一支可以表示成一幂级数,
则其收敛圆盘不能大到包含此多值函数的支点在内, 这就很有力地表示:
若一复函数或一多值函数的某一支可以表示为幂级数,
则其收敛半径必为由中心到最近的奇点或支点之距离.

• 我们对 \(e^z\) 这个记号的使用要做个重要说明, \(e^z\) 这个记号总是用来表示单值的指数映射的.
  • 有些作者宁可把单值的指数映射 \(e^z\) 写成 \(\exp(z)\).
  • 然而我们还是想保留原有的记号, 一方面它很方便, 另一方面它在历史上又根深蒂固.

默比乌斯变换和反演

• 默比乌斯变换就是以下形状的映射:
  • \[M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\]
  • 其中 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 是复数.

这些变换有许多美丽的性质, 而且在整个复分析中有极其多样的应用.
默比乌斯变换尽管看来简单, 却处于现代数学研究中好几个活跃领域的核心.
这在很大程度上是由于这些领域与各种非欧几何有密切的且多少有点奇迹似的联系.

• 相应于洛仑兹变换的复映射就是默比乌斯变换! 反过来, \(\mathbb{C}\) 上的每个默比乌斯变换都给出时-空的唯一洛仑兹变换.

反演

• \(z = r e^{iθ}\) 在复反演之下的象是 \(1 / (r e^{iθ}) = (1 / r) e^{-iθ}\):
  • 象的长度是原长度的倒数, 其角度则是原角度的负值.

我们用记号 \([ cd ]\) 来代表 \(c\), \(d\) 两点的距离 \(| c - d |\). 我们希望这样做不会引起任何混淆, 加一个方括号是为了提醒 \([ cd ]\) 并不是复数 \(c\) 与 \(d\) 的乘积.

• 若对一个以 \(q\) 为中心的圆周的反演, 将其两个点 \(a\) 和 \(b\) 映为 \(\tilde{a}\) 和 \(\tilde{b}\), 则三角形 \(aqb\) 与 \(\tilde{b} q \tilde{a}\) 相似.
• 第二个性质是求两点的间隔 \([ ab ]\) 与其反演象的间隔 \([ \tilde{a} \tilde{b} ]\) 的关系. 利用性质一, 有
  • \[[ \tilde{a} \tilde{b} ] / [ a b ] = [ q \tilde{b} ] / [ qa ] = R^2 / [ qa ] [ qb ]\]
  • 所以, 象点的间隔 \([ \tilde{a} \tilde{b} ]\) 可由下式给出:
  • \([ \tilde{a} \tilde{b} ] = (\frac{R^2}{[ qa ] [ qb ]}) [ a b ]\).

• 若直线 \(L\) 不经过 \(K\) 的中心 \(q\), 则它对 \(K\) 的反演把 \(L\) 映为一个经过 \(q\) 的圆周.

• 在对 \(K\) 的反演下, 每个正交于 \(K\) 的圆必映为自己.

• \(z\) 对 \(K\) 的反演 \(\tilde{z}\) 是任意两个过 \(z\) 而且正交于 \(K\) 的圆周之另一交点.

Page 111, 配图

• 如果由一条象曲线到另一条象曲线的角与原来的两条曲线在 \(p\) 点的相应角相等, 那么我们就说这个变换保持 \(p\) 点处的角. 完全有可能这个变换保持某一对过 \(p\) 的曲线之间的角, 但不保持每一对过 \(p\) 的曲线之间的角. 然而, 如果这变换保持每一对过 \(p\) 的曲线之间的角, 我们就说它在 \(p\) 点是共形的变换.
  • 我们要强调一下, 这里所谓共形是指角的大小与符号均得到保持.

如果此映射在它有定义的区域之每一点都是共形的, 就称之为共形映射;
如果在每一点都反共形, 就称它为反共形映射.
最后, 如果一映射只知道它能保持角的大小,
而不知它是否也保持其定向, 就称它为等角映射.

对圆周的反演是反共形映射.

• 复反演 \(z \mapsto (1 / z)\) 是共形的.

偶数个 (对直线或圆周的) 反射之复合是一共形映射,
而奇数个这种反射之复合则是一反共形映射.

• 若 \(a\), \(b\) 关于一圆周 \(K\) 对称, 则它们在对任意圆周 \(J\) 的反演之象 \(\tilde{a}\), \(\tilde{b}\) 关于 \(K\) 的反演象 \(\widetilde{K}\) 仍对称.

反演映任一对互相正交的圆周为另一对正交圆周.

• 在对以 \(q\) 为中心的球面的反演下, 一个不包含 \(q\) 点的平面 \(\Pi\) 被映成一个包含 \(q\) 点的球面 \(\tilde{\Pi}\), 其在 \(q\) 点的切平面平行于 \(\Pi\).
  • 反之, 一个包含 \(q\) 点的球面 \(\tilde{\Pi}\) 则被映为一平面 \(\Pi\), 而与此球面在 \(q\) 点的切平面平行.

在对球面的反演下,
一个不把反演中心包含于其内域的球面将被映为另一个也不包含反演中心于其内域的球面.

• 在对球面的反演下, 一个不过反演中心 \(q\) 的圆周 \(C\) 的象是另一个也不经过 \(q\) 的圆周. 若 \(C\) 经过 \(q\), 则其象是一条与 \(C\) 在 \(q\) 处的切线平行的直线.

对圆周的反演与对直线的反射的密切关系也得到保持:
对平面的反射是对球面的反演的极限情况.
由于这个原因, 对球面的反演也称为"对球面的反射".

• 特别重要的是以下事实, 即这种三维反射仍保持对称性: 令 \(K\) 为一平面或球面, \(a\), \(b\) 是关于 \(K\) 的对称点. 在对任一平面或球面的三维反射下, \(a\) 与 \(b\) 的象仍关于 \(K\) 的象对称.

• 在对球面 \(K\) 的反演下, 每个正交于 \(K\) 的球面均被映为其自身.

当我们说到两个球面"正交"时,
即指它们在两球面交线的那个圆上各点处的切平面都正交.
然而, 为了更容易地得出上面的结果,
我们把这个三维的结果用二维的语言重述如下:

• 令 \(S_1\), \(S_2\) 为相交球面, \(C_1\), \(C_2\) 为它们在一经过两个球心的平面 \(\Pi\) 上截出的大圆. 则 \(S_1\) 与 \(S_2\) 正交当且仅当 \(C_1\) 与 \(C_2\) 正交.
  • 如果限制在 \(\Pi\) 上, 则对 \(S_1\) 的三维反演变成了对于 \(C_1\) 的二维反演. 这样看待球面反演的方法使我们能很快地推广早前的结果.

正交球面反演为正交球面.

黎曼球面

• 注意以下立即可得的事实:
  • (i) 单位圆周的内域被映到 \(\sum\) 之南半球, 特别地, \(0\) 被映到南极 \(S\);
  • (ii) 单位圆周上的每一点被映到其自身, 但现在看作 \(\sum\) 的赤道;
  • (iii) 单位圆周的外域被映到 \(\sum\) 之北半球, 例外的是北极 \(N\) 点, 它不是平面上任何有限远点之象.
  • 有的书上则规定 \(\sum\) 为以南极切于复平面的球面.

• 复平面上直线的球极象就是 \(\sum\) 上经过 \(N = \infty\) 的圆周.

• 如果我们依位于球内的观察者之所见来定义球面 \(\sum\) 上的角的方向, 则球极射影是共形的.

球极射影保持圆周.

• \(\mathbb{C}\) 上的复共轭诱导出黎曼球面上关于过实轴的纵向平面的反射.
• \(\mathbb{C}\) 上关于单位圆周的反演诱导出黎曼球面关于赤道平面的反射.
• \(\mathbb{C}\) 上的映射 \(z \mapsto (1 / z)\) 诱导出黎曼球面绕实轴旋转 \(π\).

• 于是就有第一个球极射影公式
  • \(x + iy = \frac{X + iY}{1 - Z}\).

Page 126

• 若 \(\hat{p}\) 与 \(\hat{q}\) 是 \(\sum\) 的对径点, 则其球极射影 \(p\) 与 \(q\) 之间有关系式 \(q = - (1 / \overline{p})\).

默比乌斯变换: 基本结果

1. 默比乌斯变换将圆周映为圆周.
2. 默比乌斯变换是共形的.
3. 若两点关于一圆周对称, 则它们在默比乌斯变换下的象关于此圆周的象也是对称的.
   这称为"对称原理".

• 默比乌斯变换映有定向的圆周 \(C\) 为一有定向的圆周, 而且使 \(C\) 左侧的区域被映到 \(\widetilde{C}\) 左侧的区域.

存在唯一的默比乌斯变换, 把任意 3 点变为任意 3 个其他点.

• 有意义的默比乌斯变换必是非奇异的, 即应有 \((ad - bc) ≠ 0\). 因为如果 \((ad - bc) = 0\), 则 \(M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\) 把整个复平面压成单个一点 \((a / c)\).
  • 若 \(M\) 是非奇异的, 我们可用 \(k = ± 1 / \sqrt{ad - bc}\) 去乘它的系数, 而新系数满足
  • \((ad - bc) = 1\),
  • 这时就说默比乌斯变换已经规范化了.

在研究一般的默比乌斯变换的性质时, 让它具有规范化的形式十分方便.
然而, 在用特定的默比乌斯变换做计算时, 最好不要把它规范化.

• 映射 \(z \mapsto w = M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\), \((ad - bc) ≠ 0\) 除了能保持圆周, 角度和对称性以外, 还是一对一的满射.
  • 意思是说, 如果给定了 \(w\) 平面上任一点 \(w\), 则在 \(z\) 平面上必有一点 (而且仅有一点) \(z\) 被映射到 \(w\).
  • 我们可以显式地找出逆映射 \(w \mapsto z = M^{-1} (w)\) 来证明这一点.
  • 从方程 \(w = M(z)\) 中解出 \(z\) 并以 \(w\) 表示, 我们发现 \(M^{-1}\) 也是一个默比乌斯变换
  • \[M^{-1} (z) = \frac{dz - b}{-cz + a}\]
  • 注意, 若 \(M\) 已规范化, 则 \(M^{-1}\) 也自动地规范化.

• 非奇异默比乌斯变换的集合在复合下成为一个群. 因为
  • (i) 恒等映射 \(ε(z) = z\) 属于这个集合;
  • (ii) 此集合中两个元素的复合给出集合中第三个元素;
  • (iii) 集合中每个元素均有逆, 且也在此集合中.

一个默比乌斯变换除非是恒等映射, 否则最多有两个不动点.

• 一默比乌斯变换在 \(\infty\) 点有不动点, 当且仅当它是相似变换 \(M(z) = (az + b)\).
  • 此外, \(\infty\) 是唯一不动点, 当且仅当 \(M(z)\) 为一平移: \(M(z) = (z + b)\).
• 变 \(q\), \(r\), \(s\) 为另外三点 \(\tilde{q}\), \(\tilde{r}\), \(\tilde{s}\) 的唯一的默比乌斯变换 \(z \mapsto w = M(z)\) 由下式给出:
  • \[\frac{ (w - \tilde{q}) (\tilde{r} - \tilde{s}) } { (w - \tilde{s}) (\tilde{r} - \tilde{q}) } = [ w, \tilde{q}, \tilde{r}, \tilde{s} ] = [ z, q, r, s ] = \frac{(z - q) (r - s)}{(z - s) (r - q)}\]

默比乌斯变换作为矩阵

• 为了避免混淆, 我们在记号上采纳以下规定: 采用圆括号 \(()\) 表示 \(\mathbb{R}^2\) (或 \(\mathbb{C}\)) 上的线性变换, 而方括号 \([]\) 则表示与 \(\mathbb{C}\) 上的默比乌斯变换对应的矩阵 (这个矩阵一般为复的).

• 尽管有这个警告, 默比乌斯变换与表示它的矩阵之间却有惊人的平行性:
  • 恒等默比乌斯变换 \(ε(z) = z\) 对应于恒等矩阵 \([ε] = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
  • 具有矩阵 \([M] = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) 的默比乌斯变换 \(M(z)\) 当且仅当此矩阵有逆时才有逆. 回想一下 \([M]\) 为非奇异当且仅当其行列式 \(det [M] = (ad - bc)\) 为非零.
  • 逆默比乌斯变换 \(M^{-1} (z)\) 的矩阵正是逆矩阵 \([M]^{-1}\) (注意这里设 \(M\) 已规范化), 写得更明白些, 有 \([M^{-1}] = [M]^{-1}\).
  • 在线性代数中, 我们用矩阵之积来做其复合, 事实上, 矩阵乘法法则就是由此而来的. 如果我们把相应于默比乌斯变换 \(M_2 (z)\) 和 \(M_1 (z)\) 的矩阵 \([M_2]\) 和 \([M_1]\) 相乘, 则可得到
  • \(\begin{bmatrix} a_2 & b_2 \\ c_2 & d_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ c_1 & d_1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_2 a_1 + b_2 c_1 & a_2 b_1 + b_2 d_1 \\ c_2 a_1 + d_2 c_1 & c_2 b_1 + d_2 d_1 \end{bmatrix}\).
  • 上式就是复合的默比乌斯变换 \((M_2 \circ M_1) (z)\) 的矩阵. 所以, 默比乌斯矩阵的乘法对应于默比乌斯变换的复合: \([M_2] [M_1] = [M_2 \circ M_1]\).

• 齐次坐标

• 就这样我们解释了, 何以 \(\mathbb{C}\) 中的默比乌斯变换与线性变换如此相似: 它就是线性变换, 只不过作用于 \(\mathbb{C}^2\) 的齐次坐标上, 而不是直接作用于 \(\mathbb{C}\) 中的点上.
  • 和交比一样, 齐次坐标首先也是出现在射影几何中, 因此也称为射影坐标.
• 规范化的矩阵 \([M]\) 的特征值完全决定了相应的默比乌斯变换 \(M(z)\) 的几何性质.
  • 回忆一下, \([M]\) 的特征值是所谓特征方程 \(det \{ [M] - λ [ε] \} = 0\) 之根, 这里 \([ε]\) 是恒等矩阵 \(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\).
  • 利用 \([M]\) 已规范化这一事实, 我们知道特征方程如下:
  • \(λ^2 - (a + d)λ + 1 = 0\),
  • 它可以写为 (以后要用到这一点)
  • \(λ + \frac{1}{λ} = a + d\).
• 关于这个方程, 我们注意到的第一件事是, 在典型情况下, 它有两个特征根 \(λ_1\) 与 \(λ_2\), 而且它们完全由 \((a + d)\) 之值决定. 检查一下特征方程的系数立即可得出
  • \(λ_1 λ_2 = 1\) 且 \(λ_1 + λ_2 = (a + d)\).

• \(\mathbb{C}^2\) 中的两个向量为正交, 当且仅当它们是黎曼球面的两个对径点的齐次坐标.

• 黎曼球面的最一般旋转可以表示为以下形状的默比乌斯变换

  • \[R(z) = \frac{az + b}{- \overline{b} z + \overline{a}}\]
  • 其实高斯早在 1819 年左右就最早地发现了它.

可视化与分类

• 具有不动点 \(ξ±\) 以及乘子 \(\mathfrak{m} = ρ e^{iα}\) 的斜驶型默比乌斯变换是下面两个变换的复合 (次序无关):
  • (i) 乘子为 \(\mathfrak{m} = e^{iα}\) 而不动点为 \(ξ±\) 的椭圆型默比乌斯变换;
  • (ii) 乘子为 \(\mathfrak{m} = ρ\) 而不动点为 \(ξ±\) 的双曲型默比乌斯变换.
• 规范化的默比乌斯变换 \(M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\) 是
  • 椭圆型的, 当且仅当 \((a + d)\) 为实数且 \(| a + d | < 2\);
  • 抛物型的, 当且仅当 \((a + d)\) 为实数且 \((a + d) = ±2\);
  • 双曲型的, 当且仅当 \((a + d)\) 为实数且 \(| a + d | > 2\);
  • 斜驶型的, 当且仅当 \((a + d)\) 不为实数而为复数.
  • 提示: 画出 \(y = x + 1/x\) 的草图就可以得到更好的感觉.

分解为 2 个或 4 个反射

每个非斜驶型默比乌斯变换可以表示为 (最少) 两个反射的复合,
而斜驶型默比乌斯变换可表示为 (最少) 4 个反射的复合.

• 一个非斜驶型的默比乌斯变换 \(M\), 恒可分解为对圆周 \(A\) 和圆周 \(B\) 的反射, 其中 \(A\) 和 \(B\) 都正交于 \(M\) 的所有不变圆周. 此外, 视 \(A\) 和 \(B\) 为相交, 相切或不相交, \(M\) 为椭圆型, 抛物型或双曲型.

微分学: 伸扭的概念

• 若由 \(q\) 点发出的一切无穷小向量 ( \(\overrightarrow{qp}\) 等) 在生成其在 \(Q\) 点的象时, 其长度发生同样倍数的放大, 我们就说这个映射的局部效果是向量的伸缩, 伸缩的因子称为该映射在 \(q\) 点的伸缩率.
  • 另外, 如果它们经历了同样大的旋转, 我们就说此映射的局部效果是把这些向量扭转一个角, 这个转角称为此映射在 \(q\) 点的扭转度.
  • 一般地说, 我们将要与之打交道的映射, 对于无穷小向量局部地伸缩和扭转, 所以我们就说这种变换局部地是一个伸扭.
  • 这样说来, 伸扭就是保向相似的同义语, 只不过, 说伸扭讲的是无穷小向量的变换, 说保向相似则没有这样的限制.

复导数作为伸扭

此节, 居然真的很通俗的言传了复函数何以如此优雅, 颇值得意会~

p 点处的解析映射就是那些其局部效果是伸扭的映射:
即在 p 的某个开邻域的每一点处,
由一点发出的无穷小复数都按同样的伸缩率和旋转度被伸缩与旋转.

• 我们在本书中研究的主要映射是解析映射 (即复可微映射). 虽然以后会看到其中包括了几乎所有有用的函数, 但是它们仍然是很特殊的. 它们对以 \(z\) 为中心的无穷小圆盘的作用, 简单地说就是, 先把这些圆盘平移到 \(f(z)\) 处, 再加以伸缩和扭转.
  • 伸缩率就是放大的因子, 而扭转度就是旋转的角度.
  • 然后 \(f\) 的局部效果就如密码一样完全放在一个复数 \(f'(z)\) 中等待我们去解密, 这个数就是 \(f\) 的导数, 而我们宁可称之为 \(f\) 的伸扭.
  • \(f'(z) = f \mbox{ } 在 \mbox{ } z \mbox{ } 的伸扭 = (伸缩率) exp [i (扭转度)] = |f'(z)| e^{i arg [f'(z)]}\).
  • 要想得到 \(z\) 点处的一个无穷小复数的象, 只需要用 \(f'(z)\) 去乘它就行了.

赞

共形 = 解析

• 一个映射在一点 \(p\) 局部地为一个伸扭, 如果它在 \(p\) 的一个无穷小邻域中是共形的.
  • 由于这个原因, \(f\) 在 \(p\) 点解析的准确的定义就是:
  • 在 \(p\) 的一个无穷小邻域中各点 \(f'\) 都存在.

球面间的映射当且仅当为共形时才表示解析函数.

一个保持方向的映射, 当且仅当它把无穷小圆周变为无穷小圆周时, 才是共形的.

默比乌斯变换的共形性/解析性仅依赖于它们保持圆周.

微分学的进一步的几何研究

柯西-黎曼方程, 简记为: CR 方程

• 柯西-黎曼方程

这样一来, 解析函数的刚性导致一个相当不寻常的结论,
即复对数可以唯一地定义 (只相差常数可能不同)
为将同心圆周族映为平行直线族的那个共形映射.

由此, 我们得到了一个非常重要的结论:
任一幂级数在其收敛圆周之内部都是解析的, 而其导数只需对级数逐项求导就可得出.
这个过程的结果又是另一个收敛的幂级数, 没有什么理由阻止我们再做微分.
像这样做下去我们就发现, 一个幂级数在其收敛圆周之内都是无穷可微的.
这个结果如此重要的理由在于, 我们以后会证明,
每个解析函数局部地都可以用幂级数表示, 所以解析函数都是无穷可微的.
这个结果与实函数的情况形成尖锐对比.

解析延拓

解析刚性的本质特性尽纳于以下结果中:
如果哪怕是任意小一段曲线被一解析映射挤压成为一点,
则其整个定义域也将坍缩于该点.

• 施瓦茨对称原理

非欧几何学

在某种意义下, 双曲几何包括了欧氏几何与球面几何.

• \(\mathcal{E} (T)\) 简单地正比于三角形 \(T\) 的面积 \(\mathcal{A} (T)\): \(\mathcal{E} (T) = k \mathcal{A} (T)\), \(k\) 是一个常数, 在球面几何中为正, 在双曲几何中为负.

• \(k\) 的本质含义展现在下述的基本结果中: 若 \(Δ\) 是位于 \(p\) 点的无穷小三角形, 其面积为 \(d \mathcal{A}\), 则 \(\mathcal{E} (Δ) = k(p) d \mathcal{A}\).
  • 既然 \(\mathcal{E} (Δ)\) 与 \(d \mathcal{A}\) 都是定义在内蕴几何中的, \(k = (\mathcal{E} / d \mathcal{A})\) 当然也是.
• 对于非无穷小的三角形 \(T\), 只要把高斯曲率在 \(T\) 的内域加起来 (即进行积分), 就可得到 \(T\) 的角盈:
  • \(\mathcal{E} (T) = \int \int_{T} k(p) d \mathcal{A}\).
• 在常曲率曲面的情况下 (也只有在此情况下):
  • \(\mathcal{E} (T) = k \int \int_{T} d \mathcal{A} = k \mathcal{A} (T)\).
  • 这正是非欧几何的基本公式! 于是, 欧氏几何, 球面几何和双曲几何都可以具体解释为具有零, 正或负常曲率的曲面之内蕴几何学.

球面几何

在球面上也和在平面上一样, 可以无矛盾地对每个角赋以方向,
就是从球面外域去看一个角的方向, 若为逆时针方向就规定此方向为正的.
和平面上的情况一样, 这就使球面上的运动也分成两类:
保向 (共形) 的运动和反向 (反共形) 的运动.

平面上每一个保向运动都是两个对于直线的反射的复合:
若两条反射直线相交就得出旋转, 平行就得出平移.
我们会看到, 在球面上也有类似情况发生,
但是因为球面上任意两条直线 (即大圆) 都相交,
所以两个反射的复合总是旋转 -- 球面上没有平移的类似物.

• 球面绕其上一点 \(p\) 旋转一个角 \(θ\) 的旋转 \(\mathcal{R}^{θ}_{p}\) 可以表示为对任意两条过 \(p\) 且成角 \((θ / 2)\) 的球面直线的反射的复合.
  • 注意, 恰好有一条直线 \(P\) 被 \(\mathcal{R}^{θ}_{p}\) 映为其自身.
  • 如果我们在 \(P\) 上取一个方向使之与此旋转一致, 则我们在球面上有向直线与点之间建立了一个一一对应.
  • \(P\) 称为 \(p\) 的极线, 而 \(p\) 称为 \(P\) 的极点.

球面上任意两个旋转的复合都等价于单个旋转.
这样, 球面上的旋转之集合成为一个群.

• 恰有一个保向运动 \(\mathcal{M}\) (和恰有一个反向运动 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)) 把一个直线段 \(ab\) 映为另一个同样长度的直线段 \(a'b'\).
  • 进一步还有 \(\widetilde{\mathcal{M}} = (\mathcal{R}_L \circ \mathcal{M})\), 这里 \(L\) 是过 \(a'\) 和 \(b'\) 的直线.

球面上每个保向运动都是一个旋转,
而每个反向运动都是一个旋转和一个反射的复合.

• 球面只是为所谓球面几何提供了一个特别简单的模型. 任何一个具有常正高斯曲率 \(k = (1 / R^2)\) 的曲面都与半径为 \(R\) 的球面有同样的内蕴几何.

把一个乒乓球剖为两半, 取其中一个半球面并轻轻地把它揉弯曲,
就可以得到无穷多个内蕴几何与原来的球面完全相同的曲面.

• 四元数

• 我们暂时把四元数放在一边, 重新定义 \(\mathbf{1}\) 为单位矩阵, \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{J}\), \(\mathbf{K}\) 为绕 \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\), \(\mathbf{k}\) 的二元旋转的矩阵,

  • \(\mathbf{1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\),
  • \(\mathbf{I} = \begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{bmatrix}\),
  • \(\mathbf{J} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}\),
  • \(\mathbf{K} = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}\).

泡利矩阵, 如此神似. 哈哈~

• 现在我们就可以来宣布这些矩阵与四元数之间的惊人联系了: 这些二元旋转的矩阵在矩阵乘法之下服从与哈密顿的 \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{J}\), \(\mathbf{K}\) 完全同样的法则
  • \[\mathbf{I}^2 = \mathbf{J}^2 = \mathbf{K}^2 = -1\]
  • 和
  • \(\mathbf{I} \mathbf{J} = \mathbf{K} = - \mathbf{J} \mathbf{I}\), \(\mathbf{J} \mathbf{K} = \mathbf{I} = - \mathbf{K} \mathbf{J}\), \(\mathbf{K} \mathbf{I} = \mathbf{J} = - \mathbf{I} \mathbf{K}\).
• 由此可知, 四元数的乘法, 与把 \(\mathbf{1}\), \(\mathbf{I}\), \(\mathbf{J}\), \(\mathbf{K}\) 用上述矩阵取代以后所得的 \(2 \times 2\) 矩阵的乘法, 互相是等价的.

双曲几何

但是, 伪球面不能作为整个双曲平面的模型,
因为它在两个问题上令人无法接受地背离了欧几里得平面:

伪球面更接近于柱面而非平面. 例如平面上的闭环恒可缩为一点,
而伪球面上包围轴的闭环则不行.

在双曲平面上, 和在欧几里得平面上一样, 直线段在两个方向上均可无限延长.
我们已经看到, 伪球面的曳物母线明显是测地线,
所以我们可能愿意把它们解释为双曲直线.
但是这样一条曳物线虽然可以沿伪球面无限制地向上延伸,
而在另一方向上, 当它碰到边缘时就必须停下来.

因伪球面只能模拟双曲平面的一部分, 那么有没有别的曲面与整个双曲平面等距呢?
令人伤感的是, 希尔伯特在 (1901) 就证明了,
每一个伪球面型曲面都一定有边缘而不可能光滑地延拓它且又同时保持常值负曲率.

然而, 正如一张世界地图可以用不同的投影法来表示地球表面一样,
我们也可以用不同类型的映射来表示双曲平面.
我们刚才得到的地图称为庞加莱上半平面,
还有一个称为庞加莱圆盘, 再有一个称为克莱因圆盘.

• 庞加莱半平面
• 庞加莱圆盘
• 克莱因圆盘

在继续之前, 我们先要指明要到哪里去, 于是我们集中关注保向运动.
在欧氏几何中, 每个保向运动都是对两条直线的反射的复合.
我们已经看到, 对于球面几何这也是真的, 而我们马上就来证明,
它在双曲几何中仍然为真. 因为两条欧氏直线或相交或平行,
所以恰好有两类保向的欧氏运动: 旋转与平移.

在球面上没有平行线, 这蕴涵了其上的保向运动只能是旋转.
相反地, 在双曲平面上有过多的平行线,
给出了一种比欧氏几何更丰富的几何学, 其中的保向运动既有旋转和平移,
还有在欧氏几何中没有对应物的第三类运动.

对正交于天际线的半圆周的反演是双曲平面上的反向运动.

• 对正交于天际线的半圆周 \(K\) 的反演就是对双曲平面上的 \(h\) 直线 \(K\) 的反射 \(\mathfrak{R}_K\).
  • 用符号来写就是 \(\mathfrak{R}_K (z) = \mathcal{I}_K(z)\).

Page 275: 图文并茂~

• 每个 \(h\) 圆周在地图上都用一个欧氏圆周来表示, 其圆心是任意两条与它正交的 \(h\) 直线之交点.
  • 用代数表示, 以 \(a = (x + iy)\) 为 \(h\) 圆心, \(ρ\) 为 \(h\) 半径的 \(h\) 圆周, 就是以 \((x + iy \cos h ρ)\) 为中心, \(y \sin h ρ\) 为半径的欧氏圆周.
• 恰好有一个保向运动 \(\mathcal{M}\) (以及恰好一个反向运动 \(\widetilde{\mathcal{M}}\)) 把一已知的 \(h\) 直线段 \(ab\) 映为另一已知的具有同样 \(h\) 长度的 \(h\) 直线段 \(a'b'\).
  • 此外, \(\widetilde{\mathcal{M}} = (\mathfrak{R}_{L'} \circ \mathcal{M})\), \(L'\) 是过 \(a'\) 和 \(b'\) 的 \(h\) 直线.
• 双曲平面上的每个保向运动都是两个 \(h\) 反射的复合, 因此是 \(h\) 旋转, 或极限旋转, 或 \(h\) 平移. 在庞加莱上半平面中, 所有这些运动都可以用以下形状的默比乌斯变换表示:
  • \(M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\),
  • 其中 \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) 为实数, 且 \((ad - bc) > 0\).

• 圆盘的最一般的默比乌斯自同构 \(M^{ϕ}_{a}\) 是一个保向双曲运动, 且:
  • (i) 当 \(ϕ < Φ\) 时, 它是一个 \(h\) 旋转;
  • (ii) 当 \(ϕ = Φ\) 时为极限旋转;
  • (iii) 当 \(ϕ > Φ\) 时为 \(h\) 平移.

• 正如一个 \(h\) 平面上的任意保向运动都是对其中两条 \(h\) 直线的反射的复合, 双曲空间中的任意保向运动也是对其中的 \(h\) 平面的四个反射的复合. 这样在以 \(\mathbb{C}\) 为天际面的上半空间模型中, 这样一个运动就是对球心在 \(\mathbb{C}\) 上的球面做的四个反演的复合.
  • 如果我们限制在 \(\mathbb{C}\) 上之点, 则对这样一个球面 \(K\) 的反演就成了 \(\mathbb{C}\) 上对于一个圆周的二维反演, 这个圆周就是 \(K\) 与 \(\mathbb{C}\) 相交而成的赤道圆周.
  • 反之, \(\mathbb{C}\) 上对一个圆周 \(k\) 的反演也一定可以唯一地拓展为空间的反演: 只要做一个球面以 \(k\) 为赤道就行了.
• 这样, 双曲空间的每一个保向运动最终都可以用天际面 (即 \(\mathbb{C}\)) 上的东西表示为对四个圆周反演的复合, 而这正是复平面 \(\mathbb{C}\) 上的最一般的默比乌斯变换
  • \(z \mapsto M(z) = \frac{az + b}{cz + d}\)!
  • 庞加莱在 1883 年发现了这个奇特的事实.

• 希尔伯特关于常值负曲率曲面的结果表明, 三维欧氏几何不可能为双曲平面提供一个模型. 然而, 令人惊奇的是, 三维双曲空间确实包含了一些曲面, 其内蕴几何正是欧氏几何!
  • 事实上, 极限球面 (它们是极限圆的推广) 就是这种曲面.
  • 切于 \(\mathbb{C}\) 的欧氏球面以及平行于 \(\mathbb{C}\) 的平面 \(Z = 常数\) 都是极限球面.
• 在我们的双曲空间模型中, 正交于 \(\mathbb{C}\) 的铅直平面看起来是平坦的, 而其实是内蕴地为弯曲的双曲平面. 但是, 一个极限球面 \(Z = 常数\) 不仅看起来是平坦的, 而且真的是平坦的.
  • 因为它从围绕着它的空间的度量继承来的度量是
  • \(d \hat{s} = (常数) ds\),
  • 而这就是欧氏平面的度量!
• 于是, 欧氏平面几何中的运动现在可以看作: 双曲空间中那些把这个内蕴地平坦的极限球面映为其自身的运动.
  • 很清楚, 这些运动就是对铅直平面的反射 (也就是对正交于这些极限球面的 \(h\) 平面的 \(h\) 反射) 的复合.
  • 这样, 欧氏平面的保向运动群, 在天际面 \(\mathbb{C}\) 上就表现为默比乌斯变换的子群.
• 至于球面几何, 我们是从把 \(h\) 球面定义为到一个定点 (即 \(h\) 球心) 有等 \(h\) 距离的点的集合. 不难看到, 这些 \(h\) 球面, 在半空间模型中是由欧氏球面来表示的, 虽然它们的 \(h\) 球心不一定就是欧几里得球心.

环绕数与拓扑学

• 穿越法则. 当我们即将穿越 \(K\) 时, 如果 \(K\) 的方向是从我们的左侧指向我们的右侧 (从我们的右侧指向我们的左侧), 则环绕数增加 1 (减少 1).

霍普夫映射度定理

• 环路 \(K\) 可以连续变形为另一环路 \(L\) 而不穿过点 \(p\), 当且仅当 \(K\) 与 \(L\) 有同样的绕 \(p\) 的环绕数.

• 可以定义一个一般的概念 (度或映射度) 来计算曲面围绕空间中某点的次数. 霍普夫定理指出, 当且仅当两个封闭曲面围绕 \(p\) 点同样多次时, 一个封闭的曲面可以连续变形为另一个封闭的曲面, 而不穿越点 \(p\).

  • 事实上, 霍普夫定理更进一步指出, 对于封闭的 \(n\) 维曲面围绕 \((n + 1)\) 维空间中的点, 这也是成立的!

多项式与辐角原理

• 若 \(f(z)\) 在一个简单环路 \(Γ\) 的内域和在 \(Γ\) 上均为解析, 而 \(N\) 为 \(Γ\) 内域中的 \(p-点\) 数目 (按重数计), 则 \(N = ν [f(Γ), p]\).

一个解析映射的临界点可以纯粹用其拓扑重数为基础而加以区别,
非解析映射的临界点则不可能这样做.

• 对于解析映射, \(ν(a)\) 从不为零, 但对于非解析映射, 它可以为零.

• 令 \(Γ\) 为一简单环路, \(h(z)\) 为一连续映射且在 \(Γ\) 之内域仅有有限多个 \(p-点\). 则:
  • 在 \(Γ\) 的内域的 \(p-点\) 的总数 (每个 \(p-点\) 均按其拓扑重数计算) 等于 \(h(Γ)\) 绕 \(p\) 的环绕数.

• 若一解析函数 \(h(z)\) 把 \(Γ\) 一一地映为 \(h(Γ)\), 则它也把 \(Γ\) 的内域一一地映到 \(h(Γ)\) 的整个内域中.

• 一般说来, \(ν [ h(Γ), p ] = 0\) 只不过表示, 或者 \(p\) 在 \(Γ\) 内没有原象, 或者虽有原象但它们的重数互相抵消. 然而, 若 \(f\) 为解析的且 \(ν [ f(Γ), p ] = 0\), 结论是很确定的, 只有一个可能性:
  • 在 \(Γ\) 内没有原象, 我们以后还要回到很重要的这一点.

• 鲁歇定理

• 若在 \(Γ\) 上 \(| g(z) | < | f(z) |\), 则在 \(Γ\) 内 \((f + g)\) 与 \(f\) 零点个数相同.

  • 这就是鲁歇定理.
  • 请注意 \(| g(z) | < | f(z) |\) 是 \(f + g\) 与 \(f\) 有相同个数的根的充分条件, 但不是必要条件.
  • 考虑 \(g(z) = 2 f(z)\) 就得到一个例子.

• 若 \(f\) 在一区域内解析 (且不恒为一常数), 则 \(| f(z) |\) 之最大值必在区域的边界点上达到 (如果有最大值存在的话), 而不可能在内点达到.
  • 这就是最大模原理.

施瓦茨-皮克引理

• 想一下非欧几何的庞加莱模型, 我们在非欧几何学一章就已看到以下形式的默比乌斯变换
  • \[M^{ϕ}_{a} (z) = e^{iϕ} \frac{z - a}{\bar{a} z - 1} = e^{iϕ} M_a (z)\]
  • 所起的特殊的作用, 这里 \(a\) 是单位圆盘内的一点.
  • 单位圆盘的这些一一映射是刚性运动, 因为它们保持非欧距离.

本节中除了给出刘维尔定理的一个插曲以外,
还将把非欧几何学一章里开始的工作继续下去,
即展示在非欧几何和共形映射之间先天存在的美丽的和谐性.
这两个学科似乎有"灵犀一点"之通的第一个新证据就是下面的命题:

双曲平面的刚性运动仅有单位圆盘到其自身的解析映射一种.

• 从单位圆盘到其自身的其他解析映射当然有许多种, 但是, 它们都不会是一对一的.
  • 举例来说, \(z ↦ z^3\) 映单位圆盘为其自身但是它是三对一的.

我们先介绍一个有重要意义的引理, 这个引理归功于施瓦茨, 称为施瓦茨引理.

若单位圆盘到其自身的解析映射保持中心不动,
则或者每个内点都移得更靠近中心, 或者此映射就是简单的旋转.

若不把全平面压成一个点,
解析映射就不能把全平面压成位于一个有限半径的圆盘内的区域.

这就是刘维尔定理.

一个由圆盘到其自身的解析映射, 除非是一刚性运动,
否则必使每一对内点的双曲距离减小.

因为这个结果包含了施瓦茨引理为其特例, 所以有时称它为施瓦茨-皮克引理.

Page 323, 配图

广义辐角原理

• 令 \(f\) 在一简单环路 \(Γ\) 上是解析的, 而且在 \(Γ\) 的内域除有限个极点之外也是解析的.
  • 若 \(N\), \(M\) 分别为内域中的 \(p\) 点与极点之数目 (均按其重数计算), 则 \(ν [ f(Γ), p ] = N - M\).

Page 326, 配图

• 一个除奇点外均为解析的函数, 事实上有两类可能的孤立奇点. 第一类奇点称为极点.
  • 在复分析的应用中, 极点是最常见的类型. 下面是它的定义:
  • 若当 \(z\) 以任意方式趋向 \(a\) 时, \(f(z)\) 恒趋向 \(∞\), \(a\) 就是 \(f\) 的一个极点.
  • 我们可以用 \(f\) 的模曲面来理解这个名词, 即在 \(a\) 点处此模曲面有无限高的峰或者极.

• 一个计算极点的阶数的方法: 它就是 \((1 / f)\) 的第一个在 \(a\) 点不为 0 的导数的阶数.

• 还要讲一个名词. 如果一个函数在某区域中除极点外均为解析的, 就说它在此区域中是亚纯函数.

• 除极点外, 一个在其他点均为解析的函数还可能具有所谓本性奇点. 对于这种地方我们将在以后详细讨论, 但是很清楚, 函数 \(f\) 在本性奇点 \(s\) 附近的性态将是十分狂野不羁的.
  • 如果 \(f\) 在 \(s\) 附近是有界的, 则 \(s\) 根本不是奇点.
  • 另一方面, 当 \(z\) 以任意方式趋近 \(s\) 时 \(f(z)\) 也不可能都趋于 \(∞\), 因为那样一来 \(s\) 就成为一个极点了.
• 可去奇点. 事实上, 若 \(f(z)\) 在 \(a\) 的某个邻域中除 \(a\) 以外都是解析的 (通常我们用 \(f(z)\) 在 \(0 < |z - a| < ρ\) 中解析, \(ρ\) 是一个适当的正数, 来表示这种情况), 而且 \(f\) 在包含 \(a\) 点的某个圆盘 (例如 \(|z - a| < ρ\)) 中是有界的, 则必可找到一个在此圆盘中解析的函数 \(F(z)\), 使当 \(z ≠ a\) 时, \(f(z) = F(z)\).
  • 如果我们修改 \(f(a)\) 之定义, 或补充其定义为 \(f(a) = F(a)\), 则 \(a\) 不再是奇点, 因此 \(a\) 称为可去奇点.
• 若 \(a\) 是一个 \(m\) 阶极点而 \(Γ_a\) 是包含 \(a\) 但不含 \(p\) 点与任意其他极点的简单环路, 则 \(ν [f(Γ_a), p] = -m\).

结: 2024 年 8 月