复分析 可视化方法 (下)

• 复分析: 可视化方法

复积分: 柯西定理

只要被积的映射在这两条回路之间的区域中处处都是解析的,
这两个由 a 到 b 的积分就是一致的, 即其值相同.

分析始于柯西

首先, 在本章, 我们将找出一种方法把积分"画"成单个复数.
然后在向量场与复积分一章, 我们将从一种完全不同的观点看出,
一个积分的实部和虚部分别有生动的几何 (和物理) 意义.

如果想要事前就猜想出有关的几何实体,
然后再去发明复积分作为找出这些几何实体的合适的工具,
那就需要在想象力方面有一次惊人的巨大飞跃 -- 历史上没有发生过这样的事.

稍想一下就会发现, 在微分方面情况也是类似的,
那里从斜率概念开始, 然后经过一个开始时的盲目外推过程,
最终得到了一个很不相同的 (但是直观性并不稍次的) 伸扭的思想.

Page 342 ~ 343, 配图

• 下面列举一些实积分和复积分共有的性质:
  • \(\int_{K} c f(z) dz = c \int_{K} f(z) dz\),
  • \(\int_{K} [ f(z) + g(z) ] dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{K} g(z) dz\),
  • \(\int_{K + L} f(z) dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{L} f(z) dz\),
  • \(\int_{-K} f(z) dz = - \int_{K} f(z) dz\).

积分对路径的无关性等价于闭环路上的积分为 0.
整个复分析的核心就是这个现象与解析性的联系.
柯西定理就是认识到环路上的积分为零正是映射的一个局部性质的非局部表现,
这个局部性质就是此映射在环路内的每一点处都是一个伸扭.

复反演

如果一个闭环路不包围原点, 则复反演映射在其内处处解析,
这时积分按照柯西定理规规矩矩地变成零.
如果包围原点在内, 则柯西定理不再要求积分变成零:
因为被包围的区域中有一个点 (原点) 使得复反演映射在那里不是解析的.
其实我们已经看到对于以原点为中心的圆周, 答案不是零而是 2πi.
此外, 一般的研究还揭示出, 如果我们用了椭圆形环路, 甚至正方形环路, 答案也完全一样.

• 我们看见, 真正起作用的并不是环路的形状, 而是它对于原点的环绕数. 所以可以把我们的发现干干净净地概括如下:
  • 若 \(L\) 是任意闭环路, 则 \(\oint_{L} \frac{1}{z} dz = 2πi ν(L, 0)\),
  • 积分号上加一个圆圈是用以提醒, 我们是在一个闭回路上积分 (这已经是一个标准的记号了).
  • 最后请注意, 上式可以很容易地推广如下:
  • \(\oint_{L} \frac{1}{z - p} dz = 2πi ν(L, p)\).

如果回路在形变中只扫过解析点, 则积分值不会改变.
我们称这个结果为形变定理.

• 留数
  • 洛朗级数
  • 留数定理

基本定理

• 我们已经看到, 如果 \(f\) 的原函数 \(F\) (定义为 \(F' = f\)) 存在, 则 \(f\) 的积分与路径无关.
  • 我们现在要来证明其逆: 若 \(f\) 之积分与路径无关, 则原函数 \(F\) 存在.

我们现在就可以求助于柯西定理,
把所要求的积分与路径的无关性与函数的解析性联系起来了.

• 若 \(f\) 在某个区域中是解析的, 它的积分一定是与路径无关的, 所以必存在原函数 \(F\).
  • 换言之, 每个解析映射本身一定是另一个解析映射的导数.

在没有更漂亮的方法来计算回路积分的时候,
(在原则上) 仍可将它表示为普通的实积分.
我们现在简短地讲讲这个方法.

• 基本的思想是把回路看成一个运动质点的轨迹, 这个质点在时刻 \(t\) 的位置是 \(z(t)\). 其实, 不必用 \(L\) 的很短的弦这种很小的向量做黎曼和, 我们同样可以用切于 \(L\) 的很小的向量.
  • 使用切向的复速度 \(v = \frac{dz}{dt}\) 就可以做到这一点:
  • 弦本来是表示 \(δ t\) 这一时间段的位移的, 现在改用切向量 \(v δ t\) 来代替它.
  • 这样, 如果在时间区间 \(a ≤ t ≤ b\) 中, 这个动点画出了 \(L\), 则
  • \[\int_{L} f(z) dz = \int_{a}^{b} f[z(t)] v dt\]

一般的柯西定理

定义所谓 "内" 就是使环绕数不为零的所有点的集合,
而 "外" 就是使环绕数为零的所有点的集合.
有了这些定义以后, 柯西定理的完全一般的形式就简单得令人吃惊了.
若一解析映射在一环路之 "内" 没有奇点, 则它绕此环路的积分为零.

若一闭回路可以缩为一点而不遇到奇点, 则解析函数沿此回路的积分为 0.

霍普夫映射度定理现在告诉我们:
上面所说的收缩过程当且仅当回路不包围任意奇点时才是可能的.

• 我们这样就得出了解析函数在环路上的积分的完全一般的公式:
  • \(\oint_K f(z) dz = \sum_{j} ν(K, s_j) I_j\).
  • 这就是本章的宏伟的终曲.
• 最后还需要计算这些 \(I_j\) 的有效方法. 在下一章我们要证实以前宣布过的事情, 即在每个 \(s_j\) 附近都存在唯一的洛朗级数, 而复反演项的系数则为留数 \(Res[f(z), s_j]\) (这就是留数的定义).
  • 有了这些以后, 我们就看到 \(I_j = 2πi Res[f(z), s_j]\). 这样
  • \(\oint_{K} f(z) dz = 2πi \sum_{j} ν(K, s_j) Res[f(z), s_j]\).
  • 这就是一般留数定理. 注意, 它包含了一般柯西定理作为各个 \(ν(K, s_j) = 0\) 时的特例.

柯西公式及其应用

• 若 \(f(z)\) 在简单环路 \(L\) 之上及其内域均是解析的, 而 \(a\) 为 \(L\) 内域中的一点, 则
  • \(\frac{1}{2πi} \oint_{L} \frac{f(z)}{z - a} dz = f(a)\).
  • 此式称为柯西公式. 这个公式说的就是: \(f\) 在 \(L\) 上的值, 刚性地决定了它在 \(L\) 内各处之值.

• 若 \(f(z)\) 在一个以 \(a\) 为中心的圆周 \(C\) 上及其内部均为解析的, 则 \(f\) 在 \(C\) 上的平均值等于它在圆心处的值: \(\langle f \rangle_{C} = f(a)\).
  • 如果把 \(f\) 分成实部和虚部: \(f = u + iv\), 则立即有 \(\langle u \rangle_{C} + i \langle v \rangle_{C} = u(a) + i v(a)\),
  • 所以 \(\langle u \rangle_{C} = u(a)\) 而且 \(\langle v \rangle_{C} = v(a)\).
• 所以若一个实函数 \(ϕ\) 是一个解析复函数的实部或虚部, 则它在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值. 但是若我们已知一个实函数, 怎么知道是否存在一个解析复函数, 使其实部或虚部恰好就是 \(ϕ\)?
  • 我们已经证明过, 必要条件是 \(ϕ\) 为调和函数, 亦即它满足拉普拉斯方程
  • \(△ ϕ ≡ (\partial_{x}^2 + \partial_{y}^2) ϕ = 0\).
  • 其实我们将在流与调和函数一章中看到, 它也是一个充分条件, 这就给出了高斯平均值定理:
  • 调和函数在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值.
• 若 \(f(z)\) 为解析的, 而 \(a\) 既非奇点又非支点, 则 \(f(z)\) 可以表示为以下的幂级数, 它在这样一个圆盘中收敛于 \(f(z)\), 其半径是 \(a\) 到 \(f(z)\) 最近的奇点或支点的距离:
  • \(f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n (z - a)^n\), 其中 \(\frac{f^{(n)} (a)}{n!} = c_n = \frac{1}{2πi} \oint_L \frac{f(z)}{(z - a)^{n + 1}} dz\).

留数计算

• 若解析函数 \(f(z)\) 在 \(a\) 点有 \(m\) 阶极点, 则在此极点附近 \(f(z)\) 具有以下形式的洛朗级数
  • \[f(z) = \frac{c_0}{(z - a)^{m}} + \frac{c_1}{(z - a)^{m - 1}} + ... + \frac{c_{m - 1}}{(z - a)} + c_m + c_{m + 1} (z - a) + ...\]
  • 回忆一下, \(1 / (z - a)\) 的系数 \(c_{m - 1}\) 称为 \(f(z)\) 在 \(a\) 点的”留数”, 记为 \(Res [f, a]\).
  • 也请回忆一下留数在计算积分中的关键作用: 若 \(L\) 是一个简单环路, 包围 \(a\) 但不包围 \(f\) 的其他奇点, 则
  • \(\oint_{L} f(z) dz = 2πi Res [f, a]\).
  • 一般地说, 不要求 \(L\) 为简单环路, 而且 \(a_1\) 和 \(a_2\) 等几个点都是 \(f(z)\) 的极点.
  • 若已证明 \(f\) 在每个极点附近均有洛朗级数, 我们也已经证明了一般留数定理:
  • \(\oint_L f(z) dz = 2πi \sum_{n} ν [L, a_n] Res [f, a_n]\).

从历史上看, 柯西在计算原来无法处理的积分上取得的成功,
是其发现的力量的第一个切实的信号.
许多现代教材仍然详细讨论怎样把留数定理用于实积分, 继续来庆祝这个成就.
然而毫无疑问, 这项应用已经远不如过去那么重要了.
今天, 一个物理学家, 工程师或者数学家, 如果遇到难办的积分,
不太可能从计算留数开始, 而更可能去求助于计算机.

• 若 \(f(z)\) 是一个解析函数, 而且对于充分大的 \(| z |\) 满足不等式 \(| f(z) | < (常数) / | z |^2\), 则
  • \(\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(n) = -π \sum Res [f(z) \cot (πz)]\) (对 \(f(z)\) 的极点求和).
  • 当然如果 \(f(z)\) 有一些极点为整数, 那么, 这些整数 \(n\) 应该从上式左方除去.
  • 请注意, 正是由于有对称性才能用上式来计算 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^2)\) 与 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^4)\) 这样的和, 但是, 不能用它来计算 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^3)\) 这样的和. 你可能会问这个级数的和是多少? 答案是: 谁也不知道!

环形域中的洛朗级数

洛朗级数是泰勒级数的自然推广, 即: 将展开式的中心由非奇异点变为极点.

• 可去奇点定理 设 \(f(z)\) 在 \(a\) 点附近, 但不包括 \(a\) 点的区域 \(D\) (例如 \(0 < \mid z - a \mid < ρ\), 其中 \(ρ\) 是一个适当正数) 中解析而且有界. 则必可找到一个在区域 \(\widetilde{D}: \mid z - a \mid < ρ\) 中解析的 \(F(z)\), 使得在 \(D\) 中 \(f(z) = F(z)\).
  • 这里的 \(F(z)\) 是 \(f(z)\) 的解析延拓. 本来 \(f(z)\) 在 \(a\) 点没有定义而 \(a\) 可能是奇点. 现在用 \(F(a)\) 作为 \(f(a)\) 的补充定义以后, \(a\) 就不会再是奇点了.
  • 先前说 \(F_a (z)\) 在 \(z = a\) 处为解析, 原因即在这里. 可去奇点一词, 也就由此而来.

读者可能感觉这就是微积分中定未定式的洛比达法则.
其实不全一样. 在微积分中, 定未定式以后,
一般只能得到适当可微的函数, 现在得到的是解析函数.

• 如果 \(f(z)\) 在一个以 \(a\) 为中心的环形区域 \(A\) 中解析, 则 \(f(z)\) 在 \(A\) 中可以表示为洛朗级数. 事实上, 如果 \(K\) 是一个位于 \(A\) 中的简单环路, 而且绕行 \(a\) 一周, 则
  • \(f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n\), 其中 \(c_n = \frac{1}{2πi} \oint_{K} \frac{f(Z)}{(Z - a)^{n + 1}} dZ\).
• 这就是洛朗定理. 对它的意义做如下说明.
  • 这个结果的惊人之处, 在于洛朗级数的存在性, 而不在于它是收敛于一个环形之中. 之所以如此是因为我们已经知道 \((z - a)\) 的幂级数收敛于一个以 \(a\) 为中心的圆盘中, 所以 \(1 / (z - a)\) 的幂级数将收敛于一个以 \(a\) 为中心的圆盘外. 既然一个洛朗级数按定义就是一个 \((z - a)\) 的幂级数和一个 \(1 / (z - a)\) 的幂级数之和, 它自然是在一个环形区域中收敛.
  • 如果在 \(D\) 中没有奇点, 则环形的内边缘可以完全塌缩, 而圆环变成圆盘. 这时, \(f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n\) 不包含负幂. 这是因为, 当 \(n\) 为负整数时 \(f(z) / (z - a)^{n + 1}\) 在 \(K\) 的内域解析, 所以 \(c_n = 0\). 这样我们又得到泰勒级数的存在性, 它是洛朗定理的特例.
  • 设 \(a\) 为奇点, 且对充分小的 \(ε\), 在距 \(a\) 不到 \(ε\) 处, 没有其他奇点. 这时就说 \(a\) 是 \(f(z)\) 的孤立奇点. 对圆环 \(0 < \mid z - a \mid < ε\) 应用洛朗定理, 就看到恰好有两个基本不同的可能性: 洛朗级数的主部 (即负幂部分) 或者有有限多项, 或者有无限多项. 前一种情况下 \(a\) 点是极点; 后一种情况下, 由定义, \(a\) 点是”本性奇点”. 我们曾给出一个经典的例子 \(e^{1 / z} = 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + ...\).
  • 总结起来我们有: 解析函数的孤立奇点, 或为极点, 或为本性奇点.
• 关于一致收敛的解析函数序列的魏尔斯特拉斯定理: 如果在开区域 \(Ω\) 中有一个一致收敛的解析函数序列 \(\{ f'_n (z) \} \to F(z)\), 则极限函数也在 \(Ω\) 中解析, 这个序列可以逐项求导, 而且在每一个位于 \(Ω\) 内的紧集 \(K\) 中, 导函数序列仍然一致收敛到极限函数的导函数, \(\{ f'_n (z) \} \to f'(z)\).

向量场: 物理学与拓扑学

即将进入全书的正题!

• 一个复映射可以决定一个向量场, 一个向量场也决定一个复映射: 这两个概念是等价的. 更明确地说, 已知一个由 \(z\) 发出的 (即以 \(z\) 为起点的) 向量 \(V\), 可以对它做平移, 把起点搬到原点, 则其终点就定义了 \(z\) 的象 \(f(z)\).

相图很容易为人们可视化地接受, 所以是表示向量场的常用方法.
由定义, 向量场处处切于流线, 所以从相图上很容易找到其方向.
另一方面, 看起来似乎相图一定不能包含有关向量长度的信息.
一般说来, 这是对的, 但是对于物理学中出现的许多向量场,
有一个特殊的画相图的方法, 使得流的强度表现在流线拥挤的程度上:
流线越靠近, 流的强度就越大.

强度相同的源与汇的组合, 称为一个偶极子.

在一般关于向量场的奇点的文献中, 奇点并不指向量失去了光滑性的地方,
例如某个分量成为无穷的点. 奇点专指向量的方向无法定义之点,
本书做此改变可能是为了把解析函数的极点也纳入讨论.
因为所谓极点无非是使向量各个分量之值落到了黎曼球面北极上,
这时方向也无法定义. 这个变化, 虽然对本书的讨论有利, 却不常见.

-- 译者注

简单环路的指数就是它所包围的奇点的指数之和.

闭曲面上的流

• 如果 \(S\) 是空间中的一个”光滑”曲面, 即指在其每一点上都有切平面, 这样, 说一个向量场在各点都切于 \(S\) 是有意义的.
  • 直观地说, 我们可以形象地把一个向量场描绘为流体在 \(S\) 上形成的速度场.
• 光滑不仅是指有切平面存在, 而且要求切平面的方向在一定程度上是连续可微的. 可微的程度, 各书讲法不一. 最方便的是设为 \(C^{\infty}\) 的, 就是需要微分多少次都是可以的.
  • 如果没有这个条件, 后面许多论证都会出毛病. 本书的特点是不去涉及这类问题. 这里我专门做了提示, 是为了读者在进一步研究时的方便. (译者注)

在球面情况下, 庞加莱-霍普夫定理指出, 如果把球面上任意向量场的指数加起来,
结果一定得到 2. 其实, 它讲的是, 对于任意拓扑上为一球面的曲面都会得到这个答案.

• 在亏格为 \(g\) 的封闭曲面上, 任意向量场只要奇点的数目有限, 则它们的指数之和必为 \((2 - 2g)\).
  • 这就是著名的庞加莱-霍普夫定理, 其中出现的常数 \(χ ≡ (2 - 2g)\) 称为此曲面的欧拉示性数.

向量场与复积分

终于进入全书的正题!

流量与功

• 在简单环路 \(K\) 的情况下, 对于流量还有一种有趣的看法:
  • \(\mathcal{F} [X, K] = [\mbox{单位时间流出 } R \mbox{ 的流体总量}] - [\mbox{单位时间流入 } R \mbox{ 的流体总量}]\).
• 以下我们恒设流体是不可压缩的. 这样只要在 \(R\) 内没有源和汇, 流入 \(R\) 的流体必定都会流出 \(R\), 所以
  • \(\mathcal{F} [X, K] = 0\).
  • 其实我们还要反过来应用此式来给出一个定义: 如果对于区域 \(R\) 内的所有简单环路, 流量均为零, 就说这个区域内的流体是无源的. 这种没有任何有限的源或汇的流的最简单例子就是 \(X = \mbox{ 常数}\).
  • 如果环路中包含了 (例如) 一个源, 则不可压缩性就指出, 流量就是这个源的强度.

虽然我们只讨论二维流, 至少也应该提一下三维流量的概念.
如果流体在通常的空间中流动, 谈论穿越一条曲线的流量是没有意义的,
但是确实可以讨论流体穿越一个曲面的总量对于时间的变化率.

• 如果现在 \(N\) 表示曲面的单位法线向量, 则穿过曲面的无穷小面积 \(d \mathcal{A}\) 的流量又可由 \((X · N) d \mathcal{A}\) 来表示.
  • 于是穿过曲面的总流量就是此量在此曲面上的积分. 和二维情况一样, 三维流的不可压缩性等价于说: 若一封闭曲面不包含源或汇, 则必有零流量.
• 迄今为止, 我们只讨论了 \(X\) 的法向分量, 现在转到切向分量. 为此, 我们现在把 \(X\) 想象为一个力场而不是流体的流场. 如果一个质点受到某个力场 \(X\) 的作用而得到无穷小位移, 则由初等物理知道, 此力场所做的功 (即所耗能量) 等于 \(X\) 在位移方向的分量乘以移动的距离.
  • 这样, 如果此质点沿 \(K\) 运动一个距离 \(ds\), 则 \(X\) 所做的功为 \((X · T) ds\).
  • 和流量一样, 这是一个有符号的量. 如果质点沿整个环路 \(K\) 运动, 则向量场 \(X\) 所做的总功为
  • \(\mathcal{W} [X, K] = \int_K (X · T) ds\).

• 注意, 和流量 \(\mathcal{F}\) 不同, 如果想把这个概念推广到三维力场, 对 \(\mathcal{W}\) 无须做任何修正: 考虑力场对于沿空间曲线运动的质点所做的功是完全有意义的, 而且公式也和二维情况一样.

• 正如我们可以把流量概念用于并不表示流动物质的向量场, 我们也可以把功的概念用于并不表示力的向量场. 然而, 在这种一般的背景下, 标准的说法是把 \(\mathcal{W} [X, K]\) 称为 \(X\) 沿 \(K\) 的环流, 而不称为功.
  • 和”流量”一词一样, 这个词也来自于把 \(X\) 想象为表示一个流.
• 如果对每一个闭环环流都是零, 就说这个流是无旋流. 正如”环流”就是指的 \(\mathcal{W} [X, K]\) 而不问 \(X\) 的物理本质是什么一样, “无旋”也同样一般地只是数学命题的简称而已.
  • 这样保守力场也就可以说是无旋力场.
• 现在我们关于无源和无旋向量场 \(X\) 的定义是
  • \(\mathcal{F} [X, \mbox{ 任意闭环}] = 0\) 以及 \(\mathcal{W} [X, \mbox{ 任意闭环}] = 0\).
  • 我们的下一个目标是证明 \(X\) 还有两个非常简单的局部性质等价于上面两个非局部的性质.

一向量场在一单连通区域中无源且无旋,
当且仅当它具有零散度和零旋度.

若回路只扫过散度为零的点, 则流量不变.
若回路只扫过旋度为零的点, 则功不变.

从向量场看复积分

复位势

相图用起来这样方便, 以致时常让人忘记, 一般说来它们不能表示向量的长度.
我们会看见, 如果一个向量场或者无源或者无旋, 或者二者兼备,
则有一种画相图的特殊方法, 使得长度也能表示出来.

当且仅当流函数为调和函数时, 无源场才是无旋的.

等势线是力线的正交轨迹.

保守力场为无源的, 当且仅当其势函数为调和的.

• 每个 \(k\) 胞腔都含有相同数量的能量, 要计算某个区域中的总能量, 只需计算此区域中所含的 \(k\) 胞腔的数目即可.

• 复位势映流线为水平直线, 映等势线为铅直直线. 进一步看, 它映每一个正方形的 \(k\) 胞腔为边长为 \(k\) 的正方形.

  • 这样, \(Ω\) 是解析映射.

通过对无源性和无旋性的意义分别考虑, 我们就能理解非解析函数的波利亚向量场:
它们可能有流函数或者势函数, 但不能二者兼有.
如果我们从一开始就限于研究解析函数的波利亚向量场,
则可以更快地得到复位势如下 (但是稍欠启发性).

流与调和函数

调和对偶

但是, 我不知道流的共轭和我们通常说的复数的共轭, 在数学上有什么联系.
进一步说, 我们使用了波利亚向量场 (其中倒是有真正的复数的共轭),
更使得共轭一词的这两种用法直接冲突,
因为共轭流并不是把原来的流中的复数取其共轭复数而得到的.
幸而, 在数学的其他分支 (例如在拓扑学) 中,
通常使用另外一个名词来描述这个情况, 这就是使用对偶一词.
所以, 我们建议称为豆的对偶流.
类似于此, 我们也称对偶流的位势和流函数为对偶位势和对偶流函数.

调和函数在圆周上的平均值必等于它在圆心上的值.

若一个函数在某连通区域中调和, 除非它恒等于一常数,
否则它必定只能在此区域的边界上达到最大值.
对于调和函数的非零最小值, 也有同样的结果.

共形不变性

一个强有力的计算工具

回顾复曲率

绕障碍物的流

黎曼映射定理的物理学

狄里希莱问题