复积分: 柯西定理
只要被积的映射在这两条回路之间的区域中处处都是解析的,
这两个由 a 到 b 的积分就是一致的, 即其值相同.
又见: 柯西
首先, 在本章, 我们将找出一种方法把积分"画"成单个复数.
然后在向量场与复积分一章, 我们将从一种完全不同的观点看出,
一个积分的实部和虚部分别有生动的几何 (和物理) 意义.
如果想要事前就猜想出有关的几何实体,
然后再去发明复积分作为找出这些几何实体的合适的工具,
那就需要在想象力方面有一次惊人的巨大飞跃 -- 历史上没有发生过这样的事.
稍想一下就会发现, 在微分方面情况也是类似的,
那里从斜率概念开始, 然后经过一个开始时的盲目外推过程,
最终得到了一个很不相同的 (但是直观性并不稍次的) 伸扭的思想.
Page 342 ~ 343, 配图
- 下面列举一些实积分和复积分共有的性质:
- \(\int_{K} c f(z) dz = c \int_{K} f(z) dz\),
- \(\int_{K} [ f(z) + g(z) ] dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{K} g(z) dz\),
- \(\int_{K + L} f(z) dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{L} f(z) dz\),
- \(\int_{-K} f(z) dz = - \int_{K} f(z) dz\).
积分对路径的无关性等价于闭环路上的积分为 0.
整个复分析的核心就是这个现象与解析性的联系.
柯西定理就是认识到环路上的积分为零正是映射的一个局部性质的非局部表现,
这个局部性质就是此映射在环路内的每一点处都是一个伸扭.
复反演
如果一个闭环路不包围原点, 则复反演映射在其内处处解析,
这时积分按照柯西定理规规矩矩地变成零.
如果包围原点在内, 则柯西定理不再要求积分变成零:
因为被包围的区域中有一个点 (原点) 使得复反演映射在那里不是解析的.
其实我们已经看到对于以原点为中心的圆周, 答案不是零而是 2πi.
此外, 一般的研究还揭示出, 如果我们用了椭圆形环路, 甚至正方形环路, 答案也完全一样.
- 我们看见, 真正起作用的并不是环路的形状, 而是它对于原点的环绕数.
所以可以把我们的发现干干净净地概括如下:
- 若 \(L\) 是任意闭环路, 则 \(\oint_{L} \frac{1}{z} dz = 2πi ν(L, 0)\),
- 积分号上加一个圆圈是用以提醒, 我们是在一个闭回路上积分 (这已经是一个标准的记号了).
- 最后请注意, 上式可以很容易地推广如下:
- \(\oint_{L} \frac{1}{z - p} dz = 2πi ν(L, p)\).
如果回路在形变中只扫过解析点, 则积分值不会改变.
我们称这个结果为形变定理.
基本定理
- 我们已经看到, 如果
\(f\)
的
原函数\(F\) (定义为 \(F' = f\)) 存在, 则 \(f\) 的积分与路径无关.- 我们现在要来证明其逆:
- 若 \(f\) 之积分与路径无关, 则原函数 \(F\) 存在.
- 我们现在就可以求助于柯西定理,
把所要求的积分与路径的无关性与函数的解析性联系起来了.
- 若 \(f\) 在某个区域中是解析的, 它的积分一定是与路径无关的, 所以必存在原函数 \(F\).
- 换言之, 每个解析映射本身一定是另一个解析映射的导数.
在没有更漂亮的方法来计算回路积分的时候,
(在原则上) 仍可将它表示为普通的实积分.
我们现在简短地讲讲这个方法.
- 基本的思想是把回路看成一个运动质点的轨迹, 这个质点在时刻
\(t\)
的位置是
\(z(t)\).
其实, 不必用
\(L\)
的很短的弦这种很小的向量做黎曼和, 我们同样可以用切于
\(L\)
的很小的向量.
- 使用切向的复速度 \(v = \frac{dz}{dt}\) 就可以做到这一点:
- 弦本来是表示 \(δ t\) 这一时间段的位移的, 现在改用切向量 \(v δ t\) 来代替它.
- 这样, 如果在时间区间 \(a ≤ t ≤ b\) 中, 这个动点画出了 \(L\), 则
- \[\int_{L} f(z) dz = \int_{a}^{b} f[z(t)] v dt\]
一般的柯西定理
定义所谓 "内" 就是使环绕数不为零的所有点的集合,
而 "外" 就是使环绕数为零的所有点的集合.
有了这些定义以后, 柯西定理的完全一般的形式就简单得令人吃惊了.
若一解析映射在一环路之 "内" 没有奇点, 则它绕此环路的积分为零.
若一闭回路可以缩为一点而不遇到奇点, 则解析函数沿此回路的积分为 0.
霍普夫映射度定理现在告诉我们:
上面所说的收缩过程当且仅当回路不包围任意奇点时才是可能的.
- 我们这样就得出了解析函数在环路上的积分的完全一般的公式:
- \(\oint_K f(z) dz = \sum_{j} ν(K, s_j) I_j\).
- 这就是本章的宏伟的终曲.
- 最后还需要计算这些
\(I_j\)
的有效方法. 在下一章我们要证实以前宣布过的事情, 即在每个
\(s_j\)
附近都存在唯一的洛朗级数, 而复反演项的系数则为留数
\(Res[f(z), s_j]\)
(这就是留数的定义).
- 有了这些以后, 我们就看到 \(I_j = 2πi Res[f(z), s_j]\). 这样
- \(\oint_{K} f(z) dz = 2πi \sum_{j} ν(K, s_j) Res[f(z), s_j]\).
- 这就是
一般留数定理. - 注意, 它包含了一般柯西定理作为各个 \(ν(K, s_j) = 0\) 时的特例.
柯西公式及其应用
- 若
\(f(z)\)
在简单环路
\(L\)
之上及其内域均是解析的, 而
\(a\)
为
\(L\)
内域中的一点, 则
- \(\frac{1}{2πi} \oint_{L} \frac{f(z)}{z - a} dz = f(a)\).
- 此式称为
柯西公式. 这个公式说的就是: - \(f\) 在 \(L\) 上的值, 刚性地决定了它在 \(L\) 内各处之值.
- 若
\(f(z)\)
在一个以
\(a\)
为中心的圆周
\(C\)
上及其内部均为解析的, 则
\(f\)
在
\(C\)
上的平均值等于它在圆心处的值:
\(\langle f \rangle_{C} = f(a)\).
- 如果把 \(f\) 分成实部和虚部: \(f = u + iv\), 则立即有 \(\langle u \rangle_{C} + i \langle v \rangle_{C} = u(a) + i v(a)\), 所以
- \(\langle u \rangle_{C} = u(a)\) 而且 \(\langle v \rangle_{C} = v(a)\).
- 所以若一个实函数
\(ϕ\)
是一个解析复函数的实部或虚部,
则它在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值.
但是若我们已知一个实函数, 怎么知道是否存在一个解析复函数,
使其实部或虚部恰好就是
\(ϕ\)?
- 我们已经证明过, 必要条件是
\(ϕ\)
为
调和函数, 亦即它满足拉普拉斯方程 - \(△ ϕ ≡ (\partial_{x}^2 + \partial_{y}^2) ϕ = 0\).
- 我们已经证明过, 必要条件是
\(ϕ\)
为
- 其实我们将在
流与调和函数一章中看到, 它也是一个充分条件, 这就给出了高斯平均值定理:- 调和函数在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值.
无穷可微性和泰勒级数
留数计算
环形域中的罗朗级数
向量场: 物理学与拓扑学
终于进入正题了!