可视化复分析 (下)

• 复分析: 可视化方法

齐民友的译后记写得很好~ 从克莱因的数学教育理念开始, 引出数学各个学科的发展带来的从整体看待数学的困难; 进而总结本书通过三个主题来从数学的整体看待复分析: A. 几何学和非欧几何 B. 拓扑学与复分析 C. 黎曼的思想

本人读书不多, 未见同水平的译者注!

本书作者这样的做法, 值得我们效仿. 这当然有很大的难度, 所以牛顿以后,
如欧拉, 拉格朗日和拉普拉斯, 就以分析的方法来处理同样的问题.
欧拉说过, 完全几何的方法, 时常难以解决力学问题, 或者只能部分地解决;
而拉普拉斯的名著 <天体力学> 则把天体运动的研究完全归结为研究微分方程.
再考虑到微积分的基础经过两百多年的锤炼, 借助 ε-δ 语言得到了较完美的解决,
进程 A 就占据了统治地位.
当然, 从几何和物理侧面考察问题的方法, 也就退居后台了.

19 世纪的数学发展, 风向似乎又有了改变.
这里起了决定作用的有高斯, 特别是黎曼 (他是本书特别推崇的大师).
"回到牛顿"可能是 20 世纪才有的口号, 但是潮流的改变在当时已经十分明显.

非欧几何也是几何, 按照克莱因的观点应该有相应的运动群.
而庞加莱发现这些运动全是默比乌斯变换.
于是非欧几何与复分析的深刻内在联系浮出了水面.
在讲复分析的同时也讲非欧几何就是题中之义了.

复变量的解析函数, 作为从一个二维空间
(z 平面) 到另一个二维空间 (w 平面) 的映射,
只不过是很大一类映射的特例. 因此在本书的这一部分里,
作者总是把解析映射和更一般的非解析映射对照起来,
力图把解析映射的拓扑特性说明白.

黎曼的基本思想可以说是把函数概念从某种固定的代数形式
(例如幂级数) 下解放出来, 而放在几何与物理学的基础上. 为此,
他使用了 (宁可说是创造了) 许多今天看来极其重要的概念和方法.

尤其值得注意的是, 黎曼是把复变量的解析函数作为静电场来处理的,
而由把静电场看成一种理想流体的流场. 所以, 在物理上成立的,
黎曼就认为在数学上也成立.
他至少是把这样的方法看成探索数学真理的手段.
这是十分值得注意的, 而本书, 特别是在最后三章里充分发挥了这一点.

黎曼是把复变量的解析函数作为静电场来处理的~

黎曼在这篇博士论文中提出了现在以他的名字命名的几何对象: 黎曼曲面.
黎曼曲面是具有深刻几何 (准确些说, 是拓扑) 内涵的数学对象,
而一个解析函数的本性, 可以说是由它的黎曼曲面决定的. 后来,
由于克莱因和庞加莱等人的功绩, 直到外尔 1913 年发表
<黎曼曲面概念> 这部名著, 才明确了黎曼曲面是一个微分流形.

由于微分流形的概念, 再加上黎曼提出的许多新的拓扑概念或思想,
因此说黎曼是拓扑学的奠基人之一绝不过分, 黎曼的这些贡献对 20 世纪
(以及 21 世纪) 的数学发展影响如何深远, 绝非这里能够讨论的.
我们只能就本书的写法, 介绍一点情况, 以供本书的读者参考而已.

外尔

魏尔斯特拉斯认为研究解析函数必须依托其具体的表示: 幂级数.
从一个幂级数开始, 做一切可能的解析延拓所得的总体.
他认为如黎曼曲面那样的东西是"超验的",
即人类经验无法接受与理解的, 也是靠不住的.
魏尔斯特拉斯指出, 黎曼的狄利克雷原理是错误的.

本书最后三章的风格, 恐怕在其他数学教材 (不止是复分析教材) 是未曾见到过的,
作者把复解析函数的概念与理想流体的流场, 静电场以及温度场完全地融为一体,
可能读者会问, 怎么能够要求一个数学的学生或老师知道那么多物理学呢?

作者说, 尽管你对于电场可能很生疏, 但是绝大多数人对于热和温度还是熟悉的.
其实就静电场的理论而言, 本书并未超出高中物理学多少. 问题的症结可能是,
学数学的时候总以为物理学是另一个天地, 是我们管不了的;
学物理的时候又很少想到, 这也是数学的用武之地. 总之,
没有按照克莱因的进程 B 所要求的那样, 在数学和物理学的融合上花力气.

请看本书, 讲的是一个解析函数, 也就如同在讲一个流场:
它可能是源或者汇生成的, 也可能是一个偶极子或多极子生成的:
洛朗级数讲的无非就是把这些东西叠加起来,
正幂部分表示在无穷远处有源或者汇或者其他什么,
负幂部分表示有限远处有这些东西;
在某一个流场内放进例如一个单位圆盘, 或者另一个障碍物 R,
流场的变化就是由 R 的外域到单位圆盘的外域的共形映射.
这样的变化当然是存在的, 这就意味着这个共形映射也是存在的,
当然我们还需要一个数学证明. 但是应该理解,
这个证明是对一个物理事实的数学说明,
而这个物理事实也就是对一个数学结论的物理说明.

数学证明是对一个物理事实的解释, 物理事实是对一个数学结论的证明.

复积分: 柯西定理

只要被积的映射在这两条回路之间的区域中处处都是解析的,
这两个由 a 到 b 的积分就是一致的, 即其值相同.

分析始于柯西

首先, 在本章, 我们将找出一种方法把积分"画"成单个复数.
然后在向量场与复积分一章, 我们将从一种完全不同的观点看出,
一个积分的实部和虚部分别有生动的几何 (和物理) 意义.

如果想要事前就猜想出有关的几何实体,
然后再去发明复积分作为找出这些几何实体的合适的工具,
那就需要在想象力方面有一次惊人的巨大飞跃 -- 历史上没有发生过这样的事.

稍想一下就会发现, 在微分方面情况也是类似的,
那里从斜率概念开始, 然后经过一个开始时的盲目外推过程,
最终得到了一个很不相同的 (但是直观性并不稍次的) 伸扭的思想.

Page 342 ~ 343, 配图

• 下面列举一些实积分和复积分共有的性质:
  • \(\int_{K} c f(z) dz = c \int_{K} f(z) dz\),
  • \(\int_{K} [ f(z) + g(z) ] dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{K} g(z) dz\),
  • \(\int_{K + L} f(z) dz = \int_{K} f(z) dz + \int_{L} f(z) dz\),
  • \(\int_{-K} f(z) dz = - \int_{K} f(z) dz\).

积分对路径的无关性等价于闭环路上的积分为 0.
整个复分析的核心就是这个现象与解析性的联系.
柯西定理就是认识到环路上的积分为零正是映射的一个局部性质的非局部表现,
这个局部性质就是此映射在环路内的每一点处都是一个伸扭.

复反演

如果一个闭环路不包围原点, 则复反演映射在其内处处解析,
这时积分按照柯西定理规规矩矩地变成零.
如果包围原点在内, 则柯西定理不再要求积分变成零:
因为被包围的区域中有一个点 (原点) 使得复反演映射在那里不是解析的.
其实我们已经看到对于以原点为中心的圆周, 答案不是零而是 2πi.
此外, 一般的研究还揭示出, 如果我们用了椭圆形环路, 甚至正方形环路, 答案也完全一样.

• 我们看见, 真正起作用的并不是环路的形状, 而是它对于原点的环绕数. 所以可以把我们的发现干干净净地概括如下:
  • 若 \(L\) 是任意闭环路, 则 \(\oint_{L} \frac{1}{z} dz = 2πi ν(L, 0)\), 积分号上加一个圆圈是用以提醒, 我们是在一个闭回路上积分 (这已经是一个标准的记号了).
  • 最后请注意, 上式可以很容易地推广如下: \(\oint_{L} \frac{1}{z - p} dz = 2πi ν(L, p)\).

如果回路在形变中只扫过解析点, 则积分值不会改变.
我们称这个结果为形变定理.

• 留数
  • 洛朗级数
  • 留数定理

基本定理

• 我们已经看到, 如果 \(f\) 的原函数 \(F\) (定义为 \(F' = f\)) 存在, 则 \(f\) 的积分与路径无关.
  • 我们现在要来证明其逆: 若 \(f\) 之积分与路径无关, 则原函数 \(F\) 存在.

我们现在就可以求助于柯西定理,
把所要求的积分与路径的无关性与函数的解析性联系起来了.

• 若 \(f\) 在某个区域中是解析的, 它的积分一定是与路径无关的, 所以必存在原函数 \(F\).
  • 换言之, 每个解析映射本身一定是另一个解析映射的导数.

在没有更漂亮的方法来计算回路积分的时候,
(在原则上) 仍可将它表示为普通的实积分.

• 基本的思想是把回路看成一个运动质点的轨迹, 这个质点在时刻 \(t\) 的位置是 \(z(t)\). 其实, 不必用 \(L\) 的很短的弦这种很小的向量做黎曼和, 我们同样可以用切于 \(L\) 的很小的向量.
  • 使用切向的复速度 \(v = \frac{dz}{dt}\) 就可以做到这一点: 弦本来是表示 \(δ t\) 这一时间段的位移的, 现在改用切向量 \(v δ t\) 来代替它.
  • 这样, 如果在时间区间 \(a ≤ t ≤ b\) 中, 这个动点画出了 \(L\), 则
  • \[\int_{L} f(z) dz = \int_{a}^{b} f[z(t)] v dt\]

一般的柯西定理

定义所谓 "内" 就是使环绕数不为零的所有点的集合,
而 "外" 就是使环绕数为零的所有点的集合.
有了这些定义以后, 柯西定理的完全一般的形式就简单得令人吃惊了.
若一解析映射在一环路之 "内" 没有奇点, 则它绕此环路的积分为零.

若一闭回路可以缩为一点而不遇到奇点, 则解析函数沿此回路的积分为 0.

霍普夫映射度定理现在告诉我们:
上面所说的收缩过程当且仅当回路不包围任意奇点时才是可能的.

• 我们这样就得出了解析函数在环路上的积分的完全一般的公式:
  • \(\oint_K f(z) dz = \sum_{j} ν(K, s_j) I_j\).
  • 这就是本章的宏伟的终曲.
• 最后还需要计算这些 \(I_j\) 的有效方法. 在下一章我们要证实以前宣布过的事情, 即在每个 \(s_j\) 附近都存在唯一的洛朗级数, 而复反演项的系数则为留数 \(Res[f(z), s_j]\) (这就是留数的定义).
  • 有了这些以后, 我们就看到 \(I_j = 2πi Res[f(z), s_j]\).
  • 这样 \(\oint_{K} f(z) dz = 2πi \sum_{j} ν(K, s_j) Res[f(z), s_j]\).
  • 这就是一般留数定理. 注意, 它包含了一般柯西定理作为各个 \(ν(K, s_j) = 0\) 时的特例.

柯西公式及其应用

• 若 \(f(z)\) 在简单环路 \(L\) 之上及其内域均是解析的, 而 \(a\) 为 \(L\) 内域中的一点, 则
  • \(\frac{1}{2πi} \oint_{L} \frac{f(z)}{z - a} dz = f(a)\).
  • 此式称为柯西公式. 这个公式说的就是: \(f\) 在 \(L\) 上的值, 刚性地决定了它在 \(L\) 内各处之值.

• 若 \(f(z)\) 在一个以 \(a\) 为中心的圆周 \(C\) 上及其内部均为解析的, 则 \(f\) 在 \(C\) 上的平均值等于它在圆心处的值: \(\langle f \rangle_{C} = f(a)\).
  • 如果把 \(f\) 分成实部和虚部: \(f = u + iv\), 则立即有 \(\langle u \rangle_{C} + i \langle v \rangle_{C} = u(a) + i v(a)\),
  • 所以 \(\langle u \rangle_{C} = u(a)\) 而且 \(\langle v \rangle_{C} = v(a)\).
• 所以若一个实函数 \(ϕ\) 是一个解析复函数的实部或虚部, 则它在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值. 但是若我们已知一个实函数, 怎么知道是否存在一个解析复函数, 使其实部或虚部恰好就是 \(ϕ\)?
  • 我们已经证明过, 必要条件是 \(ϕ\) 为调和函数, 亦即它满足拉普拉斯方程
  • \(△ ϕ ≡ (\partial_{x}^2 + \partial_{y}^2) ϕ = 0\).
  • 其实我们将在流与调和函数一章中看到, 它也是一个充分条件, 这就给出了高斯平均值定理:
  • 调和函数在一个圆周上的平均值等于它在圆心处的值.
• 若 \(f(z)\) 为解析的, 而 \(a\) 既非奇点又非支点, 则 \(f(z)\) 可以表示为以下的幂级数, 它在这样一个圆盘中收敛于 \(f(z)\), 其半径是 \(a\) 到 \(f(z)\) 最近的奇点或支点的距离:
  • \(f(z) = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n (z - a)^n\), 其中 \(\frac{f^{(n)} (a)}{n!} = c_n = \frac{1}{2πi} \oint_L \frac{f(z)}{(z - a)^{n + 1}} dz\).

留数计算

• 若解析函数 \(f(z)\) 在 \(a\) 点有 \(m\) 阶极点, 则在此极点附近 \(f(z)\) 具有以下形式的洛朗级数
  • \[f(z) = \frac{c_0}{(z - a)^{m}} + \frac{c_1}{(z - a)^{m - 1}} + ... + \frac{c_{m - 1}}{(z - a)} + c_m + c_{m + 1} (z - a) + ...\]
  • 回忆一下, \(1 / (z - a)\) 的系数 \(c_{m - 1}\) 称为 \(f(z)\) 在 \(a\) 点的”留数”, 记为 \(Res [f, a]\).
  • 也请回忆一下留数在计算积分中的关键作用: 若 \(L\) 是一个简单环路, 包围 \(a\) 但不包围 \(f\) 的其他奇点, 则
  • \(\oint_{L} f(z) dz = 2πi Res [f, a]\).
  • 一般地说, 不要求 \(L\) 为简单环路, 而且 \(a_1\) 和 \(a_2\) 等几个点都是 \(f(z)\) 的极点.
  • 若已证明 \(f\) 在每个极点附近均有洛朗级数, 我们也已经证明了一般留数定理:
  • \(\oint_L f(z) dz = 2πi \sum_{n} ν [L, a_n] Res [f, a_n]\).

从历史上看, 柯西在计算原来无法处理的积分上取得的成功,
是其发现的力量的第一个切实的信号.
许多现代教材仍然详细讨论怎样把留数定理用于实积分, 继续来庆祝这个成就.
然而毫无疑问, 这项应用已经远不如过去那么重要了.
今天, 一个物理学家, 工程师或者数学家, 如果遇到难办的积分,
不太可能从计算留数开始, 而更可能去求助于计算机.

• 若 \(f(z)\) 是一个解析函数, 而且对于充分大的 \(| z |\) 满足不等式 \(| f(z) | < (常数) / | z |^2\), 则
  • \(\sum_{n = - \infty}^{\infty} f(n) = -π \sum Res [f(z) \cot (πz)]\) (对 \(f(z)\) 的极点求和).
  • 当然如果 \(f(z)\) 有一些极点为整数, 那么, 这些整数 \(n\) 应该从上式左方除去.
  • 请注意, 正是由于有对称性才能用上式来计算 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^2)\) 与 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^4)\) 这样的和, 但是, 不能用它来计算 \(\sum_{n = 1}^{\infty} (1 / n^3)\) 这样的和. 你可能会问这个级数的和是多少? 答案是: 谁也不知道!

环形域中的洛朗级数

洛朗级数是泰勒级数的自然推广, 即: 将展开式的中心由非奇异点变为极点.

• 可去奇点定理 设 \(f(z)\) 在 \(a\) 点附近, 但不包括 \(a\) 点的区域 \(D\) (例如 \(0 < \mid z - a \mid < ρ\), 其中 \(ρ\) 是一个适当正数) 中解析而且有界. 则必可找到一个在区域 \(\widetilde{D}: \mid z - a \mid < ρ\) 中解析的 \(F(z)\), 使得在 \(D\) 中 \(f(z) = F(z)\).
  • 这里的 \(F(z)\) 是 \(f(z)\) 的解析延拓. 本来 \(f(z)\) 在 \(a\) 点没有定义而 \(a\) 可能是奇点. 现在用 \(F(a)\) 作为 \(f(a)\) 的补充定义以后, \(a\) 就不会再是奇点了.
  • 先前说 \(F_a (z)\) 在 \(z = a\) 处为解析, 原因即在这里. 可去奇点一词, 也就由此而来.

读者可能感觉这就是微积分中定未定式的洛比达法则.
其实不全一样. 在微积分中, 定未定式以后,
一般只能得到适当可微的函数, 现在得到的是解析函数.

• 如果 \(f(z)\) 在一个以 \(a\) 为中心的环形区域 \(A\) 中解析, 则 \(f(z)\) 在 \(A\) 中可以表示为洛朗级数. 事实上, 如果 \(K\) 是一个位于 \(A\) 中的简单环路, 而且绕行 \(a\) 一周, 则
  • \(f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n\), 其中 \(c_n = \frac{1}{2πi} \oint_{K} \frac{f(Z)}{(Z - a)^{n + 1}} dZ\).
• 这就是洛朗定理. 对它的意义做如下说明.
  • 这个结果的惊人之处, 在于洛朗级数的存在性, 而不在于它是收敛于一个环形之中. 之所以如此是因为我们已经知道 \((z - a)\) 的幂级数收敛于一个以 \(a\) 为中心的圆盘中, 所以 \(1 / (z - a)\) 的幂级数将收敛于一个以 \(a\) 为中心的圆盘外. 既然一个洛朗级数按定义就是一个 \((z - a)\) 的幂级数和一个 \(1 / (z - a)\) 的幂级数之和, 它自然是在一个环形区域中收敛.
  • 如果在 \(D\) 中没有奇点, 则环形的内边缘可以完全塌缩, 而圆环变成圆盘. 这时, \(f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n (z - a)^n\) 不包含负幂. 这是因为, 当 \(n\) 为负整数时 \(f(z) / (z - a)^{n + 1}\) 在 \(K\) 的内域解析, 所以 \(c_n = 0\). 这样我们又得到泰勒级数的存在性, 它是洛朗定理的特例.
  • 设 \(a\) 为奇点, 且对充分小的 \(ε\), 在距 \(a\) 不到 \(ε\) 处, 没有其他奇点. 这时就说 \(a\) 是 \(f(z)\) 的孤立奇点. 对圆环 \(0 < \mid z - a \mid < ε\) 应用洛朗定理, 就看到恰好有两个基本不同的可能性: 洛朗级数的主部 (即负幂部分) 或者有有限多项, 或者有无限多项. 前一种情况下 \(a\) 点是极点; 后一种情况下, 由定义, \(a\) 点是”本性奇点”. 我们曾给出一个经典的例子 \(e^{1 / z} = 1 + \frac{1}{1! z} + \frac{1}{2! z^2} + \frac{1}{3! z^3} + ...\).
  • 总结起来我们有: 解析函数的孤立奇点, 或为极点, 或为本性奇点.
• 关于一致收敛的解析函数序列的魏尔斯特拉斯定理: 如果在开区域 \(Ω\) 中有一个一致收敛的解析函数序列 \(\{ f'_n (z) \} \to F(z)\), 则极限函数也在 \(Ω\) 中解析, 这个序列可以逐项求导, 而且在每一个位于 \(Ω\) 内的紧集 \(K\) 中, 导函数序列仍然一致收敛到极限函数的导函数, \(\{ f'_n (z) \} \to f'(z)\).

向量场: 物理学与拓扑学

即将进入全书的正题!

• 一个复映射可以决定一个向量场, 一个向量场也决定一个复映射: 这两个概念是等价的. 更明确地说, 已知一个由 \(z\) 发出的 (即以 \(z\) 为起点的) 向量 \(V\), 可以对它做平移, 把起点搬到原点, 则其终点就定义了 \(z\) 的象 \(f(z)\).

相图很容易为人们可视化地接受, 所以是表示向量场的常用方法.
由定义, 向量场处处切于流线, 所以从相图上很容易找到其方向.
另一方面, 看起来似乎相图一定不能包含有关向量长度的信息.
一般说来, 这是对的, 但是对于物理学中出现的许多向量场,
有一个特殊的画相图的方法, 使得流的强度表现在流线拥挤的程度上:
流线越靠近, 流的强度就越大.

强度相同的源与汇的组合, 称为一个偶极子.

在一般关于向量场的奇点的文献中, 奇点并不指向量失去了光滑性的地方,
例如某个分量成为无穷的点. 奇点专指向量的方向无法定义之点,
本书做此改变可能是为了把解析函数的极点也纳入讨论.
因为所谓极点无非是使向量各个分量之值落到了黎曼球面北极上,
这时方向也无法定义. 这个变化, 虽然对本书的讨论有利, 却不常见.

-- 译者注

简单环路的指数就是它所包围的奇点的指数之和.

闭曲面上的流

• 如果 \(S\) 是空间中的一个”光滑”曲面, 即指在其每一点上都有切平面, 这样, 说一个向量场在各点都切于 \(S\) 是有意义的.
  • 直观地说, 我们可以形象地把一个向量场描绘为流体在 \(S\) 上形成的速度场.
• 光滑不仅是指有切平面存在, 而且要求切平面的方向在一定程度上是连续可微的. 可微的程度, 各书讲法不一. 最方便的是设为 \(C^{\infty}\) 的, 就是需要微分多少次都是可以的.
  • 如果没有这个条件, 后面许多论证都会出毛病. 本书的特点是不去涉及这类问题. 这里我专门做了提示, 是为了读者在进一步研究时的方便. (译者注)

在球面情况下, 庞加莱-霍普夫定理指出, 如果把球面上任意向量场的指数加起来,
结果一定得到 2. 其实, 它讲的是, 对于任意拓扑上为一球面的曲面都会得到这个答案.

• 在亏格为 \(g\) 的封闭曲面上, 任意向量场只要奇点的数目有限, 则它们的指数之和必为 \((2 - 2g)\).
  • 这就是著名的庞加莱-霍普夫定理, 其中出现的常数 \(χ ≡ (2 - 2g)\) 称为此曲面的欧拉示性数.

向量场与复积分

终于进入全书的正题!

流量与功

• 在简单环路 \(K\) 的情况下, 对于流量还有一种有趣的看法:
  • \(\mathcal{F} [X, K] = [\mbox{单位时间流出 } R \mbox{ 的流体总量}] - [\mbox{单位时间流入 } R \mbox{ 的流体总量}]\).
• 以下我们恒设流体是不可压缩的. 这样只要在 \(R\) 内没有源和汇, 流入 \(R\) 的流体必定都会流出 \(R\), 所以
  • \(\mathcal{F} [X, K] = 0\).
  • 其实我们还要反过来应用此式来给出一个定义: 如果对于区域 \(R\) 内的所有简单环路, 流量均为零, 就说这个区域内的流体是无源的. 这种没有任何有限的源或汇的流的最简单例子就是 \(X = \mbox{常数}\).
  • 如果环路中包含了 (例如) 一个源, 则不可压缩性就指出, 流量就是这个源的强度.

虽然我们只讨论二维流, 至少也应该提一下三维流量的概念.
如果流体在通常的空间中流动, 谈论穿越一条曲线的流量是没有意义的,
但是确实可以讨论流体穿越一个曲面的总量对于时间的变化率.

• 如果现在 \(N\) 表示曲面的单位法线向量, 则穿过曲面的无穷小面积 \(d \mathcal{A}\) 的流量又可由 \((X · N) d \mathcal{A}\) 来表示.
  • 于是穿过曲面的总流量就是此量在此曲面上的积分. 和二维情况一样, 三维流的不可压缩性等价于说: 若一封闭曲面不包含源或汇, 则必有零流量.
• 迄今为止, 我们只讨论了 \(X\) 的法向分量, 现在转到切向分量. 为此, 我们现在把 \(X\) 想象为一个力场而不是流体的流场. 如果一个质点受到某个力场 \(X\) 的作用而得到无穷小位移, 则由初等物理知道, 此力场所做的功 (即所耗能量) 等于 \(X\) 在位移方向的分量乘以移动的距离.
  • 这样, 如果此质点沿 \(K\) 运动一个距离 \(ds\), 则 \(X\) 所做的功为 \((X · T) ds\).
  • 和流量一样, 这是一个有符号的量. 如果质点沿整个环路 \(K\) 运动, 则向量场 \(X\) 所做的总功为
  • \(\mathcal{W} [X, K] = \int_K (X · T) ds\).

• 注意, 和流量 \(\mathcal{F}\) 不同, 如果想把这个概念推广到三维力场, 对 \(\mathcal{W}\) 无须做任何修正: 考虑力场对于沿空间曲线运动的质点所做的功是完全有意义的, 而且公式也和二维情况一样.

• 正如我们可以把流量概念用于并不表示流动物质的向量场, 我们也可以把功的概念用于并不表示力的向量场. 然而, 在这种一般的背景下, 标准的说法是把 \(\mathcal{W} [X, K]\) 称为 \(X\) 沿 \(K\) 的环流, 而不称为功.
  • 和”流量”一词一样, 这个词也来自于把 \(X\) 想象为表示一个流.
• 如果对每一个闭环环流都是零, 就说这个流是无旋流. 正如”环流”就是指的 \(\mathcal{W} [X, K]\) 而不问 \(X\) 的物理本质是什么一样, “无旋”也同样一般地只是数学命题的简称而已.
  • 这样保守力场也就可以说是无旋力场.
• 现在我们关于无源和无旋向量场 \(X\) 的定义是
  • \(\mathcal{F} [X, \mbox{ 任意闭环}] = 0\) 以及 \(\mathcal{W} [X, \mbox{ 任意闭环}] = 0\).
  • 我们的下一个目标是证明 \(X\) 还有两个非常简单的局部性质等价于上面两个非局部的性质.
• 量 \(\nabla · X\) 称为 \(X\) 的散度 (许多书上记作 \(\mbox{div} X\)), 利用这个概念就有
  • \(\mathcal{F} [X, ◻] = [\nabla · X(z)] (◻ \mbox{ 的面积})\).
  • 我们将看到, 即使将 \(◻\) 代以任意形状的无穷小环路, 上式仍然成立.
  • 这个重要结果还可以解释”散度”一词的来由, 因为这个公式说的就是 \(\nabla · X\) 即为穿过每个包围着 \(z\) 的单位面积流出 (即散出) 的局部流量. 以后我们就把”单位面积的局部流量”简单地说成”流量密度”.
• 对于功, 我们就会得到
  • \(\mathcal{W} [X, ◻] = [\nabla \times X(z)] (◻ \mbox{ 的面积})\),
  • 这里的形式叉积定义为
  • \(\nabla \times X = \binom{\partial_x}{\partial_y} \times \binom{P}{Q} = \partial_x Q - \partial_y P\).
• 量 \(\nabla \times X\) 称为 \(X\) 的旋度 (许多书上记作 \(\mbox{curl } X\)). 几何上说, 它量度 \(X\) “绕着 \(z\) 点旋转”的程度. 在物理上, 如果用力场来讲, 旋度就是绕单位面积运动所做的功, 或者说是”功密度”.
  • 用流体来讲也有一个很生动的解释. 如果我们把剪成小圆盘的小纸片, 丢在流体表面的 \(z\) 点处, 一般说来, 它不仅会随着过 \(z\) 的流线以速度 \(\mid X(z) \mid\) 运动 (平动), 还会绕圆心以某个角速度 \(ω(z)\) 旋转.
  • 可以证明, \(X\) 的决定角速度的方面就是其旋度:
  • \(ω(z) = \frac{1}{2} [\nabla \times X(z)]\).
  • 正因为如此, curl 在许多书上记作 rot, 即旋转 (rotation) 的简写.
• 叉积本来是向量, 这个概念内蕴地只能用于三维空间. 但是在我们的情况下二维向量场 \(X\) 可以看作三维向量的特例: \(X = (X_1(x, y), X_2(x, y), 0)\), \(\nabla = (\partial_x, \partial_y, \partial_z)\).
  • 按三维叉积的定义, 应该有 \(\nabla \times X = ( \partial_y 0 - \partial_z X_2, \partial_z X_1 - \partial_x 0, \partial_x X_2 - \partial_y X_1 ) = (0, 0, \partial_x X_2 - \partial_y X_1)\). 这里我们本质地应用了各个分量都只依赖于二维变量 \((x, y)\), 即 \(z\).
  • 这样 \(\nabla \times X\) 就成了”标量” (更准确地说应该是一个”赝标量”, 因为若采用了左手坐标系, 它将为反号). 所以在复分析的框架下, 叉积成了一个标量.
  • 所以这里只是泛称 \(\nabla \times X\) 为一个”量”. 如果想要更加协调地解释这个问题, 或者想要推广到更高维的空间, 通用的也是最简单的方法, 是应用外代数理论. (译者注)
• 若 \(X\) 在某区域 \(R\) 中为无源且无旋的, 则在 \(R\) 的每一点均有
  • \(\nabla \cdot X = 0\) 以及 \(\nabla \times X = 0\).
  • 这时我们就说 \(X\) 在 \(R\) 中是零散度和零旋度的.

一向量场在一单连通区域中无源且无旋,
当且仅当它具有零散度和零旋度.

若回路只扫过散度为零的点, 则流量不变.
若回路只扫过旋度为零的点, 则功不变.

从向量场看复积分

• 现在考虑一个新向量场, 即在 \(z\) 点不画出 \(H(z)\) 而画出其共轭 \(\bar{H}(z) = \mid H \mid e^{-i β}\), 这样我们提出的从向量场的观点来考察积分的问题, 就可以得到一个更简单更漂亮的解决.
  • 我们称这个新向量场为 \(H\) 的波利亚向量场.
• 黎曼和每一项的实部与虚部正分别是其波利亚向量场对于回路的相应元素的功与流量. 我们就这样发现了, \(H\) 在一个回路上的复积分, 可以用其波利亚向量场在此回路上的功与流量给出生动的解释:
  • \(\int_K H(z) dz = \mathcal{W}[\bar{H}, K] + i \mathcal{F} [\bar{H}, K]\).
• \(H\) 的波利亚向量场具有零散度和零旋度当且仅当 \(H\) 为解析的.
  • 证明只不过是简单的计算:
  • \(\nabla · \bar{H} = \binom{\partial_x}{\partial_y} · \binom{u}{-v} = \partial_x u - \partial_y v\),
  • 以及
  • \(\nabla \times \bar{H} = \binom{\partial_x}{\partial_y} \times \binom{u}{-v} = -(\partial_x v + \partial_y u)\).
  • 这样, \(\bar{H}\) 的散度和旋度均为零, 当且仅当 \(H\) 满足柯西-黎曼方程. 为了将来的应用, 请注意这两个方程只是一个复方程的两个侧面:
  • \(i \partial_x H - \partial_y H = \nabla \times \bar{H} + i \nabla · \bar{H}\),
  • 令其左方为零就是 CR 方程的紧凑写法.
• 有必要弄清有关向量场 \(z\) 的一个悖论似的特点: 流体是均匀地穿过平面输入的, 然而又只从一个点, 即原点, 放射出去. 这一点的解释在于, 平凡的恒等式 \(z = z_0 + (z - z_0)\) 表明, 从原点发出的流其实是两个流的叠加:
  • 一个是无源且无旋的向量场 \(z_0\), 另一个是原来的流, 但是以 \(z_0\) 为中心而不是以原点为中心.
• 总结起来说, 洛朗级数和留数定理可以从物理上这样来理解: 会生成非零的环流和流量的唯一一项是 \(\bar{(ρ / z)}\), 它又可以分解成一个强度为 \(\mathcal{W} = -2πi \mbox{Im} (ρ)\) 的涡旋和一个强度为 \(\mathcal{F} = 2π \mbox{Re} (ρ)\) 的源的组合.
  • 所有其他的项则相应于既不生成环流又不生成流量的多极子, 其中有限多个位于各个极点处, 其余的则位于无穷远处.

复位势

相图用起来这样方便, 以致时常让人忘记, 一般说来它们不能表示向量的长度.
我们会看见, 如果一个向量场或者无源或者无旋, 或者二者兼备,
则有一种画相图的特殊方法, 使得长度也能表示出来.

当且仅当流函数为调和函数时, 无源场才是无旋的.

等势线是力线的正交轨迹.

保守力场为无源的, 当且仅当其势函数为调和的.

• 每个 \(k\) 胞腔都含有相同数量的能量, 要计算某个区域中的总能量, 只需计算此区域中所含的 \(k\) 胞腔的数目即可.

• 复位势映流线为水平直线, 映等势线为铅直直线. 进一步看, 它映每一个正方形的 \(k\) 胞腔为边长为 \(k\) 的正方形.

  • 这样, \(Ω\) 是解析映射.

通过对无源性和无旋性的意义分别考虑, 我们就能理解非解析函数的波利亚向量场:
它们可能有流函数或者势函数, 但不能二者兼有.
如果我们从一开始就限于研究解析函数的波利亚向量场,
则可以更快地得到复位势如下 (但是稍欠启发性).

• 若 \(L\) 是从任意定点 \(a\) 到动点 \(z\) 的回路, 我们可以定义
  • \(Ω_L (z) = \int_L H(w) dw = \mathcal{W} [\bar{H}, L] + i \mathcal{F} [\bar{H}, L]\).
  • 但是我们已经看到, 若 \(H\) 为解析的, 则此积分与路径 \(L\) 无关, 而为适当定义的函数
  • \(Ω(z) = \int_{a}^{z} H(w) dw = Φ(z) + i Ψ(z)\), 它在事实上是 \(H\) 的原函数.
  • 更明确地说, 由 \(p\) 点到 \(q\) 点的回路 \(L\) 的象 \(Ω(L)\) 就是 \(H\) 沿 \(L\) 的积分之黎曼和所走的路径. 于是, 积分值是连接 \(Ω(L)\) 的起点到终点的向量, 就是 \(Ω(q) - Ω(p)\).
• 一般说来, 如果 \(D\) 是一个单连通区域, \(H\) 在其中解析而且没有奇点, 则它的波利亚向量场 \(\bar{H}\) 在 \(D\) 中必有单值的复位势.

流与调和函数

调和对偶

我不知道流的共轭和我们通常说的复数的共轭, 在数学上有什么联系.
进一步说, 我们使用了波利亚向量场 (其中倒是有真正的复数的共轭),
更使得共轭一词的这两种用法直接冲突,
因为共轭流并不是把原来的流中的复数取其共轭复数而得到的.
幸而, 在数学的其他分支 (例如在拓扑学) 中,
通常使用另外一个名词来描述这个情况, 这就是使用对偶一词.

• 所以, 我们建议称 \(\bar{\hat{H}}\) 为 \(\bar{H}\) 的对偶流.
  • 类似于此, 我们也称对偶流的位势和流函数为对偶位势和对偶流函数.
• 在介绍波利亚向量场时就已指出, 它并不是在共轭的点 \(\bar{z}\) 取共轭向量值 \(\bar{H}\) 所得的向量场. 原书定义 \(\bar{\hat{H}}\) 是指在同一个 \(z\) 点取共轭复数为向量值而得到的向量场.
  • 如果我们把 \(z\) 称为自变量, 向量的值称为函数值, 则波利亚向量场是指自变量不变, 而函数值变为原来函数值的共轭复数.
  • 原书说波利亚向量场的引入造成了这两种用法的直接冲突, 就是指本应把自变量与函数分开, 可是按照我们通常的习惯用法, 则容易混淆不清.
  • 至于说到拓扑学, 在那里 (还有在泛函分析里) 会把例如函数 \(w = f(z)\) 写成 \(\langle w, z \rangle = \langle f, z \rangle\) 而把 \(w\) 看成一个泛函作用在 \(z\) 上. 前者属于另一个空间, 称为 \(z\) 空间的对偶空间.
  • 把这个思想用于波利亚向量场, 则应该把 \(\bar{H}\) 所在的空间看成 \(z\) 空间的对偶空间. 这样就有了 \(z\) 不变而 \(H\) 变为其共轭复数, 从而得到波利亚向量场. 所以原书作者申明, 自己是借用了拓扑学的思想.
  • (译者注)
• 如果已知一个复位势 \(Ω = Φ + i Ψ\), 我们既可以把 \(Ψ\) 看成流函数, 又可以把它看作对偶流的势函数. 类似于此, 我们既可以把 \(Φ\) 看成势函数, 又可以把它看作对偶流的流函数反号.
  • 因为任意一个解析函数 \(f = u + iv\) 都可以看成复位势, 我们可以把这里的用语转用于解析函数, 而说 \(v\) 对偶于 \(u\), \(-u\) 对偶于 \(v\).
• 我们知道, 解析函数的实部和虚部都自动地是调和的. 所以自然会问, 其逆是否成立, 即每个调和函数是否必为一个解析函数的实部或虚部? 我们将会看到情况确实如此.
  • 就是说, 若已给一个调和函数 \(u\), 我们一定能找到另一个调和函数 \(v\), 即 \(u\) 的所谓调和对偶, 使得 \(f = u + iv\) 是解析的. (注意, 标准的用语, 则称 \(v\) 为 \(u\) 的调和共轭.)
  • 在继续往下以前, 我们先做两点说明. 第一点: 若 \(v\) 是 \(u\) 的一个调和对偶, 则 \(v + \mbox{常数}\) 也是. 所以, 为了唯一地确定 \(v\), 还需要加上附加的条件, 例如要求它在某个特定的点为零. 第二点: 单值函数的调和对偶, 可以是多值的.
• 已知调和函数 \(Φ\) 的调和对偶就是向量场 \(\nabla Φ\) 的流函数.

调和函数在圆周上的平均值必等于它在圆心上的值.

若一个函数在某连通区域中调和, 除非它恒等于一常数,
否则它必定只能在此区域的边界上达到最大值.
对于调和函数的非零最小值, 也有同样的结果.

• 下面, 我们给出在连通区域中构造 \(Φ\) 的调和对偶 \(Ψ\) 的显式公式. 为使 \(Ψ\) 为唯一的, 我们要求它在某定点 \(a\) 处为零. 这样, 如果 \(K\) 是由 \(a\) 到 \(p\) 的路径, 我们就会有流量公式
  • \(Ψ(p) = \int_K (\nabla Φ) \cdot Nds\).
  • 换成用复积分来表示, 就是
  • \(Ψ(p) = \mbox{Im} [\int_K \bar{(\nabla Φ)} dz]\).
  • 正如我们所看到的, 如果限制于一个单连通区域, \(Φ\) 在其中调和, 则这些积分必为单值的. 然而, 若区域不是单连通的, 或者 \(Φ\) 在其中有奇点, 则 (一般说来) \(Ψ\) 将是多值函数.

共形不变性

• 令 \(w = f(z)\) 为 \(z\) 的复解析函数. 我们把它看成由 \(z\) 平面到 \(w\) 平面的一个共形映射 (而不看成向量场). \(z\) 平面上的任意一个实函数 \(Φ(z)\) 都可以用 \(f\) 摹写 (或移植) 为 \(w\) 平面上的函数 \(\widetilde{Φ} (w)\) 如下:
  • \(\widetilde{Φ} [f(z)] ≡ Φ(z)\).
  • 换言之, 对于两个平面上的对应点, 赋予同样的函数值.
• 调和性是共形不变的, 即当且仅当 \(Φ(z)\) 为调和时, \(\widetilde{Φ} (w)\) 才是调和的.

一个强有力的计算工具

回顾复曲率

绕障碍物的流

黎曼映射定理的物理学

狄里希莱问题