泛函分析导论及应用 - 空间

• 泛函分析导论及应用

度量空间

在这样的抽象研究方法中, 人们通常从满足某些公理的一个集合出发,
并且故意不指定集合元素的特征.
由这些公理导出的一些逻辑结果被作为定理反复使用.
这就意味着我们从公理体系出发得到了一个数学结构,
这个数学结构的理论又以抽象的方法得到讨论.
而后, 可把得到的通用定理应用到满足公理体系的各种特殊集合上去.

例如, 在代数中曾用这种方法研究域, 环和群; 在泛函分析中,
我们将用这种方法来研究抽象空间. 这些空间是基本的, 也是重要的,
我们将详细地研究其中的某些空间 (如巴拿赫空间, 希尔伯特空间).
以后我们还会看到, "空间"这个概念广泛得惊人.
抽象空间不过是满足有关公理体系的 (非特指的) 元素集合.
如果选用不同的公理体系, 便能得到不同类型的抽象空间.

• 目前所给出的度量空间的概念, 就是经过 60 多年的发展过程才确定的, 它在泛函分析及其应用中是基本的, 也是极为有用的.

• 定义 (度量空间, 度量) 所谓度量空间, 就是指对偶 \((X, d)\), 其中 \(X\) 是一个集合, \(d\) 是 \(X\) 上的一个度量 (或 \(X\) 上的距离函数), 即 \(d\) 是定义在 \(X \times X\) 上且对所有 \(x, y, z \in X\) 满足以下四条公理的函数.
  • \((M_1)\) \(d\) 是实值, 有限和非负的.
  • \((M_2)\) 当且仅当 \(x = y\) 时, \(d(x, y) = 0\).
  • \((M_3)\) \(d(x, y) = d(y, x)\) (对称性).
  • \((M_4)\) \(d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)\) (三角不等式).
• 为叙述方便, 我们给出下面几个有关的术语.
  • \(X\) 叫作 \((X, d)\) 的基集, \(X\) 的元素叫作空间 \((X, d)\) 的点.
  • 给定 \(x, y \in X\), 我们把非负实数 \(d(x, y)\) 叫作 \(x\) 和 \(y\) 之间的距离.
  • \(M_1\) 到 \(M_4\) 叫作度量公理.
• 在不引起混淆的情况下, 我们常将度量空间 \((X, d)\) 简写成 \(X\).
• 如果取子集 \(Y \subseteq X\) 且把 \(d\) 限制在 \(Y \times Y\) 上, 则可得 \((X, d)\) 的一个子空间 \((Y, \tilde{d})\); 因而 \(Y\) 上的度量就是限制
  • \(\tilde{d} = d \mid_{Y \times Y}\).
  • \(\tilde{d}\) 叫作 \(d\) 在 \(Y\) 上导出的度量.
• 符号 \(\times\) 表示集合的笛卡儿积: \(A \times B\) 是所有序偶 \((a, b)\) 的集合, 其中 \(a \in A\), \(b \in B\).
  • 因此, \(X \times X\) 是 \(X\) 的元素构成的所有序偶的集合.

读者将体会到, 这里考虑问题的方式与微积分大不相同.
在微积分中, 我们通常研究一个函数或同时研究几个函数.
而这里, 一个函数变成了更大的空间中的点.

• 赫尔德不等式
  • 共轭指数
• 柯西-施瓦茨不等式
• 闵可夫斯基不等式

开集, 闭集和邻域

• 若 \(M \subseteq X\) 是 \(x_0\) 的一个邻域, 则称 \(x_0\) 是集合 \(M\) 的一个内点. \(M\) 的所有内点构成的集合叫作 \(M\) 的内部, 可以记为 \(M^0\) 或 \(Int(M)\), 没有公认的记法.
  • \(Int(M)\) 是开集, 并且是包含在 \(M\) 中的最大开集.
• 若把 \(X\) 的所有开子集构成的集族记为 \(\mathcal{T}\), 则不难证明 \(\mathcal{T}\) 有如下性质:
  • (\(T_1\)) \(\varnothing \in \mathcal{T}\), \(X \in \mathcal{T}\);
  • (\(T_2\)) \(\mathcal{T}\) 中任意个成员之并仍属于 \(\mathcal{T}\);
  • (\(T_3\)) \(\mathcal{T}\) 中有限个成员之交仍属于 \(\mathcal{T}\).
• 据此, 我们定义: 给定集合 \(X\) 和 \(X\) 的满足公理 \(T_1 \sim T_3\) 的子集构成的集族 \(\mathcal{T}\), 则 \((X, \mathcal{T})\) 叫作拓扑空间.
  • 集合 \(\mathcal{T}\) 叫作 \(X\) 的一个拓扑. 从这个定义可知: 度量空间是拓扑空间.

• 重要而有趣的是, 连续映射能够用开集的术语表征如下. 定理: (连续映射) 度量空间 \(X\) 到度量空间 \(Y\) 中的映射 \(T\), 当且仅当 \(Y\) 的任意开子集的逆像是 \(X\) 中的开子集时, 才是连续的.

• 现在我们再引入两个互相关联的概念. 令 \(M\) 是度量空间 \(X\) 的一个子集. 若点 \(x_0 \in X\) 的每个邻域至少含有一个异于 \(x_0\) 的点 \(y \in M\), 则 \(x_0\) (它可以是, 也可以不是 \(M\) 的点) 叫作 \(M\) 的聚点 (或极限点).
  • \(M\) 的所有点和所有聚点构成的集合, 叫作 \(M\) 的闭包, 记为 \(\overline{M}\).
  • 它是包含 \(M\) 的最小闭集.
  • 在 \(R^3\) 中, 开球 \(B(x_0; r)\) 的闭包 \(\overline{B(x_0; r)}\) 就是闭球 \(\widetilde{B} (x_0; r)\), 而在一般度量空间中却未必如此.
• 定义 (稠密集, 可分空间) 度量空间 \(X\) 的子集 \(M\) 若满足 \(\overline{M} = X\), 则称 \(M\) 在 \(X\) 中稠密.
  • 若 \(X\) 有一个可数的稠密子集, 则称 \(X\) 是可分的.
  • 因此, 若 \(M\) 在 \(X\) 中稠密, 则 \(X\) 中的每一个球, 不管多小, 总含有 \(M\) 的点.
  • 换句话说, 在这种情况下不存在点 \(x \in X\) 满足有一个不含 \(M\) 的点的邻域.
  • 我们将会看到, 可分度量空间比不可分度量空间简单.

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收敛性, 柯西序列和完备性

• 若序列 \((x_n)\) 满足柯西准则的条件, 我们便把它叫作柯西序列. 柯西准则简单地说就是, 实数序列或复数序列在 \(R\) 上或 \(C\) 中收敛的充分必要条件是它是柯西序列.
  • 遗憾的是, 在一般的度量空间中, 情况变得复杂起来, 可能有不收敛的柯西序列.
  • 这种空间缺少一个极为重要的性质, 即所谓的完备性.
• 定义( 柯西序列, 完备性) 度量空间 \(X = (X, d)\) 中的序列 \((x_n)\), 如果对于给定的任意正数 \(ε\), 都存在 \(N = N(ε)\), 使得
  • 对于所有 \(m, n > N\) 有 \(d(x_m, x_n) < ε\),
  • 则称 \((x_n)\) 是柯西序列 (或基本序列).
  • 如果空间 \(X\) 中的每个柯西序列都是收敛序列 (即有属于 \(X\) 的极限), 则称 \(X\) 是完备度量空间.
• 用完备性来表述的话, 柯西收敛准则意义如下.
• 定理 (实直线, 复平面) 实直线和复平面都是完备度量空间.
  • 更一般地, 从定义可以直接看出, 完备度量空间是这样的空间, 在其中柯西条件是序列收敛的充分必要条件.
• 定理 (闭包, 闭集) 令 \(M\) 是度量空间 \((X, d)\) 的非空子集, \(\overline{M}\) 是闭包, 则
  • (a) \(x \in \overline{M}\), 当且仅当在 \(M\) 中存在收敛到 \(x\) 的序列 \((x_n)\).
  • (b) \(M\) 是闭集, 当且仅当 \(M\) 中的序列 \((x_n)\) 收敛到 \(x\) 蕴涵 \(x \in M\).

• 定理 (完备子空间) 完备度量空间 \(X\) 的子空间 \(M\) 是完备的, 当且仅当集合 \(M\) 在 \(X\) 中是闭的.

• 定理 (连续映射) 度量空间 \((X, d)\) 到度量空间 \((Y, \widetilde{d})\) 中的映射 \(T: X \rightarrow Y\) 在点 \(x_0 \in X\) 连续, 当且仅当
  • \(x_n \rightarrow x_0\) 蕴涵 \(T_{x_n} \rightarrow T_{x_0}\).

例子: 完备性的证明

度量空间的完备化

赋范空间和巴拿赫空间

向量空间

赋范空间和巴拿赫空间

赋范空间的其他性质

有限维赋范空间和子空间

紧性和有限维

线性算子

有界线性算子和连续线性算子

线性泛函

有限维空间中的线性算子和泛函

算子赋范空间和对偶空间

内积空间和希尔伯特空间

内积空间和希尔伯特空间

内积空间的其他性质

正交补与直和

规范正交集和规范正交序列

与规范正交序列和规范正交集有关的级数

完全规范正交集和完全规范正交序列

勒让德, 埃尔米特和拉盖尔多项式

希尔伯特空间中泛函的表示

希尔伯特伴随算子

自伴算子, 酉算子和正规算子

赋范空间和巴拿赫空间的基本定理

佐恩引理

哈恩-巴拿赫定理

复向量空间和赋范空间的哈恩-巴拿赫定理

应用到 C[a, b] 上的有界线性泛函

伴随算子

自反空间

范畴定理和一致有界性定理

强收敛和弱收敛

算子序列和泛函序列的收敛

在序列可和性方面的应用

数值积分和弱星收敛

开映射定理

闭线性算子和闭图定理

附录 A

集合

• \(A^C = X - A\), \(A\) 在 \(X\) 中的余集 (其中 \(A \subseteq X\)) (当省略 \(X\) 有可能产生混乱时, 记为 \(C_{X} A\))
  • \((A^C)^C = A\),
  • \(X^C = \varnothing\),
  • \(\varnothing^C = X\).

• 德·摩根定律是 (\(A\) 和 \(B\) 是 \(X\) 的任意子集)
  • \((A \bigcup B)^C = A^C \bigcap B^C\),
  • \((A \bigcap B)^C = A^C \bigcup B^C\).
  • 显然,
  • \(A \subseteq B \Longleftrightarrow A^C \supseteq B^C\),
  • \(A \bigcap B = \varnothing \Longleftrightarrow A \subseteq B^C \Longleftrightarrow B \subseteq A^C\),
  • \(A \bigcup B = X \Longleftrightarrow A^C \subseteq B \Longleftrightarrow B^C \subseteq A\).
• 给定的集合 \(S\) 的所有子集的集合, 叫作 \(S\) 的幂集, 记为 \(\mathcal{P}(S)\).
• 两个给定的非空集合 \(X\) 和 \(Y\) 的笛卡儿积 (或积) \(X \times Y\) 是所有序偶 \((x, y)\) 的集合, 其中 \(x \in X\) 且 \(y \in Y\).

若集合 M 是有限的 (有有限个元素), 或者 M 的每个元素唯一地对应一个正整数,
并且反过来每个正整数 1, 2, 3, ... 也唯一地对应 M 中的一个元素,
则称 M 是可数集合.