泛函分析导论及应用 - 空间

• 泛函分析导论及应用

度量空间

在这样的抽象研究方法中, 人们通常从满足某些公理的一个集合出发,
并且故意不指定集合元素的特征.
由这些公理导出的一些逻辑结果被作为定理反复使用.
这就意味着我们从公理体系出发得到了一个数学结构,
这个数学结构的理论又以抽象的方法得到讨论.
而后, 可把得到的通用定理应用到满足公理体系的各种特殊集合上去.

例如, 在代数中曾用这种方法研究域, 环和群; 在泛函分析中,
我们将用这种方法来研究抽象空间. 这些空间是基本的, 也是重要的,
我们将详细地研究其中的某些空间 (如巴拿赫空间, 希尔伯特空间).
以后我们还会看到, "空间"这个概念广泛得惊人.
抽象空间不过是满足有关公理体系的 (非特指的) 元素集合.
如果选用不同的公理体系, 便能得到不同类型的抽象空间.

• 目前所给出的度量空间的概念, 就是经过 60 多年的发展过程才确定的, 它在泛函分析及其应用中是基本的, 也是极为有用的.

• 定义 (度量空间, 度量) 所谓度量空间, 就是指对偶 (X, d), 其中 X 是一个集合, d 是 X 上的一个度量 (或 X 上的距离函数), 即 d 是定义在 \(X \times X\) 上且对所有 \(x, y, z \in X\) 满足以下四条公理的函数.
  • \((M_1)\) d 是实值, 有限和非负的.
  • \((M_2)\) 当且仅当 \(x = y\) 时, \(d(x, y) = 0\).
  • \((M_3)\) \(d(x, y) = d(y, x)\) (对称性).
  • \((M_4)\) \(d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)\) (三角不等式).
• 为叙述方便, 我们给出下面几个有关的术语.
  • X 叫作 (X, d) 的基集, X 的元素叫作空间 (X, d) 的点.
  • 给定 \(x, y \in X\), 我们把非负实数 d(x, y) 叫作 x 和 y 之间的距离.
  • \(M_1\) 到 \(M_4\) 叫作度量公理.
• 在不引起混淆的情况下, 我们常将度量空间 (X, d) 简写成 X.
• 如果取子集 \(Y \subseteq X\) 且把 d 限制在 \(Y \times Y\) 上, 则可得 (X, d) 的一个子空间 \((Y, \overset{\sim}{d})\); 因而 Y 上的度量就是限制
  • \(\overset{\sim}{d} = d \mid_{Y \times Y}\).
  • \(\overset{\sim}{d}\) 叫作 d 在 Y 上导出的度量.
• 符号 \(\times\) 表示集合的笛卡儿积: \(A \times B\) 是所有序偶 (a, b) 的集合, 其中 \(a \in A\), \(b \in B\). 因此, \(X \times X\) 是 X 的元素构成的所有序偶的集合.

读者将体会到, 这里考虑问题的方式与微积分大不相同.
在微积分中, 我们通常研究一个函数或同时研究几个函数.
而这里, 一个函数变成了更大的空间中的点.

开集, 闭集和邻域

收敛性, 柯西序列和完备性

例子: 完备性的证明

度量空间的完备化

赋范空间和巴拿赫空间

向量空间

赋范空间和巴拿赫空间

赋范空间的其他性质

有限维赋范空间和子空间

紧性和有限维

线性算子

有界线性算子和连续线性算子

线性泛函

有限维空间中的线性算子和泛函

算子赋范空间和对偶空间

内积空间和希尔伯特空间

内积空间和希尔伯特空间

内积空间的其他性质

正交补与直和

规范正交集和规范正交序列

与规范正交序列和规范正交集有关的级数

完全规范正交集和完全规范正交序列

勒让德, 埃尔米特和拉盖尔多项式

希尔伯特空间中泛函的表示

希尔伯特伴随算子

自伴算子, 酉算子和正规算子

赋范空间和巴拿赫空间的基本定理

佐恩引理

哈恩-巴拿赫定理

复向量空间和赋范空间的哈恩-巴拿赫定理

应用到 C[a, b] 上的有界线性泛函

伴随算子

自反空间

范畴定理和一致有界性定理

强收敛和弱收敛

算子序列和泛函序列的收敛

在序列可和性方面的应用

数值积分和弱星收敛

开映射定理

闭线性算子和闭图定理

附录 A

集合

• \(A^C = X - A\), A 在 X 中的余集 (其中 \(A \subseteq X\)) (当省略 X 有可能产生混乱时, 记为 \(C_{X} A\))
  • \((A^C)^C = A\),
  • \(X^C = \varnothing\),
  • \(\varnothing^C = X\).

• 德·摩根定律是 (A 和 B 是 X 的任意子集)
  • \((A \bigcup B)^C = A^C \bigcap B^C\),
  • \((A \bigcap B)^C = A^C \bigcup B^C\).
  • 显然,
  • \(A \subseteq B \Longleftrightarrow A^C \supseteq B^C\),
  • \(A \bigcap B = \varnothing \Longleftrightarrow A \subseteq B^C \Longleftrightarrow B \subseteq A^C\),
  • \(A \bigcup B = X \Longleftrightarrow A^C \subseteq B \Longleftrightarrow B^C \subseteq A\).
• 给定的集合 S 的所有子集的集合, 叫作 S 的幂集, 记为 \(\mathcal{P}(S)\).
• 两个给定的非空集合 X 和 Y 的笛卡儿积 (或积) \(X \times Y\) 是所有序偶 (x, y) 的集合, 其中 \(x \in X\) 且 \(y \in Y\).

若集合 M 是有限的 (有有限个元素), 或者 M 的每个元素唯一地对应一个正整数,
并且反过来每个正整数 1, 2, 3, ... 也唯一地对应 M 中的一个元素,
则称 M 是可数集合.