- 从矢量到张量
- 副标题: 细说矢量与矢量分析, 张量与张量分析
- 封面人物不错, 我最喜爱的数学家
黎曼
关于印刷错误, 倒也无伤大雅! 除非校对特别投入, 或者篇幅较短. (比如:
狄拉克讲广义相对论) 否则, 角标出错, 几乎必然. 类似题材书籍大多如此~
向量空间的定义: 类似于域的定义, 定义基于数域的向量空间. 两个运算: 向量加法, 向量数乘.
矢量的矢量混合积和矢量三重积
这里有一点与主流说法的差异: 本书的
混合积其实是标量三重积; 而三重积其实是矢量三重积.
-
引入符号 \([\mathbf{A} \mbox{ } \mathbf{B} \mbox{ } \mathbf{C}] = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C})\), 则最后有
- \[[\mathbf{A} \mbox{ } \mathbf{B} \mbox{ } \mathbf{C}] = \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}\]
矢量三重系
-
矢量三重系, 或简称
三重系, 是指通常的三维空间中的任意三个线性无关的矢量 \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\), \(\mathbf{e}_3\), 而且我们还要求它们是正向的, 即 \([\mathbf{e}_1 \mbox{ } \mathbf{e}_2 \mbox{ } \mathbf{e}_3] > 0\), 因此它们就形成一个广义的右手系. - 对于矢量三重系
\(\mathbf{e}_1\),
\(\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{e}_3\),
用矢量的内积可构成
- \(g_{ij} ≡ \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j\), \(i, j = 1, 2, 3\)
- 由于
\(i = 1, 2, 3\),
\(j = 1, 2, 3\),
所以一共有
9个量, 这9个量称为 \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\), \(\mathbf{e}_3\) 给出的度规. 由于- \(g_{ji} = \mathbf{e}_j \cdot \mathbf{e}_i = \mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_j\), \(i, j = 1, 2, 3\)
- 所以
\(g_{ij}\)
关于它的
2个下标是对称的.- 这样
\(g_{ij}\)
就有
6个独立量: \(g_{11}\), \(g_{22}\), \(g_{33}\), \(g_{12}\), \(g_{13}\), \(g_{23}\).
- 这样
\(g_{ij}\)
就有
- 因为
- \[\mathbf{V} = \sum_{i=1}^{3} v^{i} \mathbf{e}_i = \sum_{j=1}^{3} v^{j} \mathbf{e}_j = \sum_{k=1}^{3} v^{k} \mathbf{e}_k = ...\]
- 即求和指标可以用任意字母来表示, 而不影响结果, 我们就把这一类指标称为
哑标.- 今后我们会频繁地使用求和号 \(\sum\), 因此我们再作一步简化: 略去求和号.
- 于是上式就成为
- \[\mathbf{V} = v^{i} \mathbf{e}_i = v^{j} \mathbf{e}_j = v^{k} \mathbf{e}_k = ...\]
- 这约定称为
爱因斯坦规约.
- 利用
\(\mathbf{e}_1\),
\(\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{e}_3\)
以及矩阵
\((\mathbf{g}^{ij})\),
我们定义
- \(\mathbf{e}^{i} = \mathbf{g}^{ij} \mathbf{e}_{j}\), \(i = 1, 2, 3\)
- 这样, 我们就得出了
\(\mathbf{e}^1\),
\(\mathbf{e}^2\),
\(\mathbf{e}^3\)
\(\longleftrightarrow\)
\(\mathbf{e}_1\),
\(\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{e}_3\)
的
对偶系.
- \([\mathbf{e}_1 \mbox{ } \mathbf{e}_2 \mbox{ } \mathbf{e}_3] = \sqrt{g}\),
\([\mathbf{e}^1 \mbox{ } \mathbf{e}^2 \mbox{ } \mathbf{e}^3] = 1 / \sqrt{g}\)
g是 \(g_{ij}\) 的行列式- 即 \(g = det \mid g_{ij} \mid\) 和 \(\frac{1}{g} = det \mid g^{ij} \mid\)
-
\(\mathbf{e}_1 = \sqrt{g} (\mathbf{e}^2 \times \mathbf{e}^3)\), \(\mathbf{e}_2 = \sqrt{g} (\mathbf{e}^3 \times \mathbf{e}^1)\), \(\mathbf{e}_3 = \sqrt{g} (\mathbf{e}^1 \times \mathbf{e}^2)\)
- 设定三重系
\(\mathbf{e}_1\),
\(\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{e}_3\)
和它的对偶系
\(\mathbf{e}^1\),
\(\mathbf{e}^2\),
\(\mathbf{e}^3\),
于是对任意矢量
\(\mathbf{V}\)
有
- \[\mathbf{V} = v^i \mathbf{e}_i = v_i \mathbf{e}^i\]
- 这样, 客观量 \(\mathbf{V}\) 在 \(\mathbf{e}_1\), \(\mathbf{e}_2\), \(\mathbf{e}_3\) 的构架中用分量 \((v^1, v^2, v^3)\) 来描述, 而在 \(\mathbf{e}^1\), \(\mathbf{e}^2\), \(\mathbf{e}^3\) 的构架中用分量 \((v_1, v_2, v_3)\) 来描述. 那么这两种描述之间有怎样的联系呢?
- 用矩阵形式表示就有
- \[\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v^1 \\ v^2 \\ v^3 \end{pmatrix}\]
- 利用
\((g_{ij})\)
的逆矩阵
\((g^{ij})\),
可得
- \[\begin{pmatrix} v^1 \\ v^2 \\ v^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} g^{11} & g^{12} & g^{13} \\ g^{21} & g^{22} & g^{23} \\ g^{31} & g^{32} & g^{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix}\]
- 我们把
\(v^1\),
\(v^2\),
\(v^3\),
也即由
\(\mathbf{V} = v^i \mathbf{e}_i\)
得出的分量称为
\(\mathbf{V}\)
的
逆变分量, 而把 \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\), 也即由 \(\mathbf{V} = v_i \mathbf{e}^i\) 得出的分量称为 \(\mathbf{V}\) 的协变分量.- 不过, \(v_1\), \(v_2\), \(v_3\) 不必用对偶系的线性表示得出, 而直接可以用 \(\mathbf{V}\) 与三重系的内积得出, 即
- \[v_j = \mathbf{e}_j \cdot \mathbf{V}\]
三重系变换下的张量
- 三重系变换下的张量定义 设量
\(\mathbf{T}\)
在坐标基矢
\(\mathbf{e}_1\),
\(\mathbf{e}_2\),
\(\mathbf{e}_3\)
下的分量为
\(\mathbf{T}_{j_1 ... j_q}^{i_1 ... i_p},
1 ≤ i_1, ... i_p; j_1, j_2, ... j_q ≤ 3\),
而在坐标基矢
\(\mathbf{e}_{1'}\),
\(\mathbf{e}_{2'}\),
\(\mathbf{e}_{3'}\)
下的分量为
\(\mathbf{T}_{j_{1'} ... j_{q'}}^{i_{1'} ... i_{p'}},
1 ≤ i_{1'}, ... i_{p'}; j_{1'}, j_{2'}, ... j_{q'} ≤ 3\),
若
\(\mathbf{e}_{i'} = a_{i'}^{j} \mathbf{e}_j\),
则有
- \[\mathbf{T}_{j_{1'} ... j_{q'}}^{i_{1'} ... i_{p'}} = a_{j_{1'}}^{l_1} ... a_{j_{q'}}^{l_q} a_{k_1}^{i_{1'}} ... a_{k_p}^{i_{p'}} \mathbf{T}_{l_1 ... l_q}^{k_1 ... k_p}\]
- 那么称量
\(\mathbf{T} = (T_{j_1 ... j_q}^{i_1 ... i_p})\)
是一个逆变
p阶, 协变q阶的m = p + q阶张量.- 如果同时有
\(p ≠ 0\),
\(q ≠ 0\),
则称
\(\mathbf{T}\)
为
混合张量.
- 如果同时有
\(p ≠ 0\),
\(q ≠ 0\),
则称
\(\mathbf{T}\)
为
- 由于各指标均可取值
1,2,3, 所以m阶张量共有 \(3^m = 3^p · 3^q = 3^{p + q}\) 个分量. 当两个张量具有相同的p和q时, 则称它们是同类张量. - 当
q = 0时, 有逆变p阶, 协变0阶的张量, 简称为 (p阶) 逆变张量, 如前面的 \(\mathbf{V} = (v^i)\) 就是1阶逆变张量, 即1阶逆变矢量, 而 \(\mathbf{G}^{'} = (g^{ij})\) 就是2阶逆变张量.- 当
p = 0时, 有逆变0阶, 协变q阶的张量, 简称为 (q阶) 协变张量. - 如前面的
\(\mathbf{V}^{'} = (v_i)\)
就是
1阶协变张量, 即1阶协变矢量, 而 \(\mathbf{G} = (g_{ij})\) 就是2阶协变张量, 因此 \((g_{ij})\) 称为度规张量.
- 当
- 当
p = q = 0时, 我们得到只有1个分量的张量即是标量或不变量.