狄拉克量子力学原理 & 狄拉克讲广义相对论

根据处理问题过程中所强调物理对象的不同, 量子力学有两种不同的命名:
如果强调系统的状态, 则叫"波动力学"; 如果强调动力学变量, 则叫"矩阵力学".

如果对应于某个态的右矢量乘上了任一非零的复数,
那么所得到的右矢量对应于相同的态. 所以,
态是由右矢量的方向确定的, 而给右矢量规定的任何长度无关紧要.

线性算符是复的量, 因为可以用复数乘上某一算符而得到具有相同性质的其他算符.
因此它们必然对应于复的动力学变量, 或者说对应于坐标, 速度等的复变函数.
我们需要进一步发展该理论, 看看哪种类型的线性算符对应于实的动力学变量.

在实动力学变量是一个数的特例中,
每个态都是其本征态且这一动力学变量是可观测量.
它的任何测量总给出相同的结果,
所以它只是一个物理常数, 如电子的电荷.
量子力学中的物理常数可以被当作具有单一本征值的可观测量,
或者出现在方程中的一个数, 这两种观点是等价的.

一般情况下, 我们不能说可观测量对某一特定态有一个值,
但是我们可以说它对这个态有一个平均值.
我们还可以进一步说, 可观测量对这个态有任一确定值的概率,
其含义是当我们测量这个可观测量时, 我们得到这个确定值的概率.

一个本征态属于连续区域内的某一本征值,
是实际上所能获得情况的一种数学的理想化.
虽然如此, 这样的本征态在理论上起着非常有益的作用,
而且我们没有它是不行的. 科学中包含了许多理论概念的例子,
这些概念是实际中碰到的事物的极限, 虽然它们在实验上无法实现,
但对于自然规律的准确表述是有用的, 而这恰好是又一个例子.
那些无法实现的态所对应的右矢量的长度无穷大, 这可能是它们无法实现的原因;
而所有可实现的态都对应于那些可以归一化的右矢量, 这些右矢量形成一个希尔伯特空间.

共同本征态的概念可以推广到两个以上的可观测量,
并且上述定理以及其逆定理仍然成立, 也就是说,
如果任意一组可观测量中的每一个都与所有其他的对易,
那么它们的共同本征态形成完全集; 反之亦然.
两个可观测量情况下的论证, 对于普遍的情况完全适用.

适用于共同本征右矢的正交性定理告诉我们,
一组对易可观测量的两个本征右矢,
如果它们所属的两组本征值有任何的不同, 它们则正交.

如果某些可观测量对易, 那么就存在一些态,
这些可观测量对这些态全都有确定的值, 这些态就是共同本征态.
因此, 我们就能给出几个对易的可观测量同时有值的意义. 此外,
对任何态我们能给出同时测量几个可观测量而得到一组具体结果的概率的含义.
这个结论是重要的新发展.

一般来说, 对处于确定状态的系统进行观测, 不扰动系统状态是办不到的;
此外, 为了进行第二次观测而不破坏系统状态, 也是做不到的.
于是我们无法给两个同时进行的观测以任何意义. 但是,
上述结论告诉我们, 在特殊情况下, 也就是当这两个可观测量对易的情况下,
两次观测可以看成是互不干涉的或相容的, 用这种方式,
我们不仅能给同时进行的两个观测以意义, 还能讨论得到任何一组具体结果的概率.

事实上, 这两个观测可以看作是一个较复杂类型的单一观测,
其结果可以用两个数而不是单个数来表示.
从普遍理论的观点看, 任意两个或者更多的对易可观测量,
可以当作单个的可观测量, 它们的测量结果包括两个或更多的数.
这种测量能够确定地得到特定结果的那些态都是共同本征态.

1 正交表象的基左矢是对易可观测量完全集的共同本征左矢.
2 如果对易可观测量的完全集已知,
  则可以用这个完全集的共同本征左矢作为基左矢建立一个正交表象.
3 任意一个对易可观测量的集合,
  都可以通过再增加某些可观测量的方法使之成为一个完全集.
4 标记正交表象的基左矢的一个方便的方法是使用对易可观测量的完全集的本征值,
  这个对易可观测量的完全集是以这些基左矢作为共同本征左矢的.

我们还没有考虑基矢量的长度. 对一个正交表象,
自然的做法是把基矢量归一化而不让其有任意的长度,
这样就会对表象进行进一步简化. 然而,
只有当标记基矢量的变量取分立值时, 归一化才可能.
如果这些变量中的任何一个可以取某一范围的连续值,
则基矢量是某一可观测量属于连续本征值的本征矢量;
基矢量的长度因而是无限的.
这就需要某种另外的方法来确定那些乘到本征矢量上的数值因子.

在量子理论中, 只要出现非正规函数, 它最终会用在一个被积函数中.
因此, 可以用一种形式重写这一理论, 在这一形式中,
非正规函数只出现于被积函数中.
这样我们可以完全地消除非正规函数. 因此,
使用非正规函数不会损害理论的严格性, 而仅仅是一种方便的记号,
它使我们能把某些关系表示得更简明.
如果必要的话, 我们也能用不含有非正规函数的形式重写这些关系,
只不过表达式很复杂而使得推理不易被看清.

我们为了可以在分立与连续两种情况下用相同的术语,
把这样的函数称作"矩阵", 使用广义的矩阵这一名词可以带来便利.
这种广义的矩阵, 当然不能像普通矩阵那样写成二维阵列的形式,
因为它的行与列的数目如同一条线上点的数目那样无穷大,
而它的矩阵元的数目则如同一个面积内点的数目那样无穷大.
我们先列出关于这些广义矩阵的若干定义,
以使得上面对分立情况所有的规则 (i)-(v) 对连续情况同样成立.

这些量全部放一起, 可以被看成是形成一种更普遍的矩阵,
它既有一些分立的行和列, 也有一个连续范围的行和列.
对这种更一般类型的矩阵, 我们也定义单位矩阵, 厄米矩阵,
对角矩阵以及两个矩阵的乘积以使得 (i)-(v) 的规则仍然成立.

由于这一原因, 形成归一化右矢 (或左矢) 的表示的这些数被称作概率幅.
概率幅的模平方是一个普通的概率, 或者对于有连续取值区间的那些变量,
它是单位区域内的概率.

量子力学实际问题中计算出的概率, 几乎总是由概率幅或相对概率幅的模平方而得到.
甚至当我们关心的只是对易可观测量的不完全集有具体值的概率时,
通常有必要首先引入某些附加的对易可观测量来形成一个完全集,
并获得这个完全集有具体值的概率 (即概率幅的模平方),
然后再对附加可观测量的所有可能值进行求和或积分. 为了引入一个可实现的表象,
1 我们要找到一些可观测量, 它们像我们所希望那样是对角的,
  这或者是因为我们关心它们的概率, 又或者是由于数学上的简单;
2 我们必须看到它们对易, 一个必要条件是因为对角矩阵总对易;
3 我们还要看到它们形成一个完全对易集, 如果不是,
  需加入另外的一些对易可观测量, 使之成为完全对易集;
4 我们建立一个能够使这个完全对易集是对角的正交表象.

经典类比在量子力学中的价值依赖于这样的事实:
即经典力学为一些条件下的动力学系统提供了有效的描述, 这些条件是,
构成系统的粒子和物体有足够大的质量以至于能够忽略伴随着观测的扰动.
因而经典力学必定是量子力学的一种极限情形. 我们因此期望发现,
经典力学中的重要概念对应于量子力学中的重要概念;
而且, 通过理解经典力学和量子力学之间类比的普遍性质,
我们希望看到量子力学中的定律和定理以经典力学中已知结果的简单推广的形式出现;
我们特别希望得到的量子条件,
其出现形式是以所有动力学变量都对易这一经典规则的简单推广.

波包是一个函数, 它在一定区域外的任何地方的取值都很小,
区域有一定宽度, 在区域内, 该函数是近似周期的, 有一确定的频率.
如果对这样的波包进行傅里叶分析, 除了在此确定频率的邻近区域,
区域之外所有傅里叶分量的振幅都很小.

海森伯不确定度原理. 它清楚地表明,
当两个不对易的可观测量是正则坐标和正则动量时,
对任意特定的态, 给这两个可观测量同时赋值的可能性所受的限制;
同时为量子力学中可观测量如何地不相容提供了清楚的例证.
它还表明, 当 h 可以看成小到足以忽略时,
假定对所有可观测量都可以同时赋值的经典力学如何成为一个有效的近似.

我们现在可以断言, 右矢, 左矢和动力学变量之间的任何符号的方程,
其中每个符号都进行平移的情况下, 方程保持不变,
原因在于方程具有某种物理意义, 而该物理意义不因平移而改变.

幺正变换将可观测量变换成可观测量,
并且使得可观测量之间的任何函数关系保持不变.

对于有经典类比的量子动力学系统,
量子理论中的幺正变换是经典理论中切变换的类比.
幺正变换比切变换更加普遍,
因为幺正变换适用于量子力学中一些没有经典类比的系统,
但对于量子力学中那些可以用正则坐标和正则动量描述的系统,
两种变换之间的类比是成立的.

任意时刻的动力学系统的物理条件包含着动力学变量与态之间的联系,
而物理条件随时间的变化可以归因于态的变化而保持动力学变量固定,
这就给出薛定谔图像;
或者也可以归因于动力学变量的变化而保持态固定,
这就给出海森伯图像.

量子力学中, 当一个动力学系统的能量由一组对易关系已知的动力学变量给定之后,
我们就在数学上定义了这个动力学系统, 因为这就足以决定其运动方程
(包括薛定谔形式的与海森伯形式的).
我们需要表示成薛定谔动力学变量的 H 或者表示成海森伯动力学变量的 H(t),
两种情况下的函数关系当然是一样的.
量子力学中, 我们把用这种方式表示的能量叫作动力学系统的哈密顿量,
以保持与经典力学之间的类比性.

量子力学中的系统总有哈密顿量, 无论系统是否有经典类比,
或者系统是否可以用正则坐标与正则动量描述. 然而, 如果系统确实有经典类比,
那么它与经典力学的关系就特别紧密, 而且我们通常可以假定,
哈密顿量作为正则坐标与正则动量的函数形式在量子力学和在经典力学中一样.
当然, 如果经典哈密顿量包含几个因子的乘积, 而这些因子的量子类比又不对易,
那么这里就会出现困难, 因为我们不知道在量子哈密顿量中如何安排这些因子的次序,
但是大多数初等的动力学系统 (这些系统的研究对原子物理很重要) 中并不出现这种情况.
这样的结果是, 我们能够大量地应用与经典理论中相同的语言来描述量子理论中的动力学系统
(例如, 能够讨论具有已知质量的粒子在给定的力场中运动),
并且当经典力学中给定了一个系统, 我们通常可以在量子力学中给"相同的"系统以意义.

对孤立系统而言, 能量, 动量与角动量的守恒定律,
在量子力学的海森伯图像中与在经典力学中一样都成立.
量子力学中运动方程的两种形式都已经给出. 其中,
薛定谔形式对实际问题更有用, 因为它提供了较简单的方程.
薛定谔波动方程中的未知数是那些形成右矢量表示的数;
而动力学变量的海森伯运动方程如果用表象来表示,
它所包含的未知数就是形成动力学变量表示的那些数.
而后者比薛定谔运动方程的未知数更多, 也因而更难于计算.
运动方程的海森伯形式的价值在于, 它提供了与经典力学的直接类比,
并且让我们看到, 经典力学中的各种特征
(比如上面提到的守恒律) 是如何转化为量子理论的.

经典力学中的做法就是引入所谓吉布斯系综, 它的思想如下.
我们把所有的动力学坐标和动量当作某一空间中的直角坐标,
该空间叫作相空间, 相空间的维数是系统自由度的两倍.
系统的任何状态可由该空间中的一点表示. 这个点将按照经典运动方程移动.
现在假定, 我们已知的并不是系统在任意时刻所处的确定的状态,
而仅仅是系统按一定的概率规律处于大量状态中的这个或那个状态.
那么, 我们可以用相空间的流体来表示它, 任意相空间体积内流体的质量,
是系统处于其代表点在这一体积内的任意状态的总概率.
流体中的每个粒子都按照运动方程移动.

有了这一密度, 我们可以图像地把这一流体看成代表 k 个相同动力学系统,
它们独立地坚持各自的运动, 它们即使在相同的地点也无相互影响和扰动.
这样, 任意一点的密度就是系统处于任意态的相邻单位相空间体积内的可能数或平均数.
这样的动力学系统的集合, 即吉布斯提出的系综, 通常在实际中无法实现,
仅作为粗略的近似, 但它仍然成为有效的理论抽象.
我们将会看到, 量子力学中有一相应的密度 ρ 有与上述性质类似的性质.
它由冯诺依曼首先提出. 由于量子力学中不可能对 q 与 p 同时赋值,
相空间在量子力学中没意义, 由这个事实出发, 相应的密度的存在是令人惊异的.

任意数目粒子的总角动量 M 的各分量所满足的对易关系,
与单个粒子角动量的完全相同.

我们曾引入线性算符 D 表示平移,
这里用同样的方法引入线性算符 R 表示绕原点的转动.

如果一个态的总角动量为零, 则动力学系统沿各个方向的可能性相同,
球对称因而出现. 这与下述表述类似:
总动量为零的态, 出现于空间任何地方的可能性相同.
上述命题的逆命题也正确, 即一个球对称的态, 其总角动量为零.
这个结论物理上是明显的, 因为角动量具有矢量的性质,
如果它不为零, 其存在必定破坏球对称性.

自旋的存在可以看作是在态的表示中引入一个新变量,
或者可以看作是把这个表示写成二分量.

微扰理论中有两种不同的方法.
其中一种是把微扰当作是引起了对未微扰系统运动态的修正.
另一种方法中, 并不考虑对未微扰系统的态进行任何修正,
而是假定微扰系统在微扰的影响下, 不再永久保持在这些态中的一个,
而是不断地从一个态变到另一个态, 或者说发生跃迁.
具体情况下采用哪一种方法, 由待解决问题的性质决定.
只有当微扰能量 (对未微扰系统哈密顿量的修正) 不显含时间时,
第一种方法通常才有用, 此时该方法应用于定态.
它可以用来计算一些不与任何确定时间相关的物理量, 例如微扰系统的定态能级,
或者在碰撞问题的情况中沿某一给定角度的散射概率.
另一方面, 要解决所有含时问题, 必须要用第二种方法, 例如,
当突然加上微扰时出现的与瞬态现象相关的那些问题, 或者更一般地,
微扰按各种方式随时间变化的问题 (即微扰能量显含时间的问题).

在不同的跃迁过程: 直接的过程与那些包含中间态的各个跃迁过程,
之间存在干涉, 并且不能给这些跃迁过程中的任何一个本身以概率的意义.
然而, 这些过程中的每一个都有一个概率幅.
如果把这个微扰方法推进到更高的精度, 得到的结果可以同样地进行解释,
只是要借助于包含一系列中间态的更复杂的跃迁过程.

事实上, 促使海森伯在 1925 年发现量子力学的,
正是这种用矩阵代替经典的傅里叶分量的思想. 海森伯假定,
量子理论中表述系统与辐射相互作用的公式可由经典公式得到,
方法是把系统的总电位移的傅里叶分量都用相应的矩阵元代替.

光子的偏振这一可观测量与它的动量对易, 而与它的位置不对易.

可以在系集的任意右矢中互换前两个粒子的角色, 而得到系集的另一个右矢.
互换前两个粒子的过程是可以作用于系集右矢上的算符, 而且显然是线性算符.
同样地, 互换任意一对粒子的过程是一线性算符, 并且通过这些互换的重复使用,
我们得到, 这些粒子的任意置换都表现为作用于系集右矢的线性算符.
根据一个置换是通过偶数次或奇数次互换来实现, 我们称之为偶置换或奇置换.

在薛定谔图像中, 与系集的态对应的右矢按照薛定谔运动方程随时间变化.
如果开始时它是对称的, 则它一定总保持对称,
因为哈密顿量是对称的, 且没有什么扰动对称性.
同样地, 如果开始时右矢是反对称的, 则它一定总保持反对称.

出现在自然界的所有粒子, 要么是费米子, 要么就是玻色子, 因此,
对实际上所遇到的同类粒子的系集, 只有反对称态或对称态.
其他更复杂的对称类型只是数学上有可能, 不适用于任何已知的粒子.
对特定种类的粒子, 只允许反对称态或对称态的理论中,
人们无法区分这样的两个态, 即它们的差别仅仅在粒子的置换上.

由同类玻色子系集组成的动力学系统等效于由一组振子组成的动力学系统:
这两个系统其实是从不同的观点看待同一个系统.
每一个独立的玻色子态伴随着一个振子.
这里我们有了量子力学的最基本的结果之一,
它使光的波动性理论与微粒理论的统一得以实现.

一个简谐振子的集合等价于一个没有相互作用且处于定态的玻色子系集.
如果该集合中的一个振子处于其第 n' 个量子态,
那么就等价于有 n' 个玻色子处于相关的玻色子态.

在费米子理论与玻色子理论之间有一深刻的类比, 当我们从其中一种转到另一种时,
只需在理论形式的一般方程中做一些小的改变即可.
然而, 费米子理论有一个发展没有玻色子的类比. 对费米子, 一个态只有两种可能,
即被占据或不被占据, 而且这两种可能之间存在对称性.
我们可以从数学上展示这种对称性, 方法是做一个变换,
使 "被占据" 与 "不被占据" 这两个概念互换.

相应于矩阵的四行四列, 波函数 ψ 所含变量也需取四个值, 以使矩阵能与之相乘.
或者, 波函数可视作有四个分量, 而每个分量只是 x 的一个函数.
我们知道电子的自旋要求其波函数具有两个分量. 现在又要求有四个分量,
这是因为波动方程的解两倍于其应该有的 -- 其中一半的解对应于负能态.

我们必须确认, 如果在另一洛伦兹参照系中写下波动方程,
其解必须和原方程的解一一对应且对应的解表示相同的态.
不管在哪个洛伦兹参照系中, 波函数的模方 (对四个分量求和)
应给出电子在那个洛伦兹参照系中处于某个确定位置的单位体积的概率.
我们称之为概率密度.
计算不同洛伦兹参照系下表示同一个态的波函数的概率密度,
其值之间的关联类似于这些参照系下某些 4-矢量的时间分量之间的关联.
另外, 这一 4-矢量的四维散度应该为 0, 表示电子的守恒,
或者说电子不能未经其边界就在某个空间凭空出现或消失.

相对论理论中直接测量速度的一个分量一定得到 ±c 的结果,
该结果可由不确定度关系的基本应用直接得到. 要测量速度,
必须测量两个略微不同时刻的位置, 再用位置改变除以时间间隔.
(测量动量然后用公式来计算速度的方法是不行的,
因为速度与动量之间的普通关系并不成立.)
为了使速度的测量近似等于瞬时速度, 两次位置测量之间的时间间隔必须很短,
而这些测量必须很精确. 在此时间间隔内, 我们知道了电子的精确位置,
根据不确定度原理, 这必定导致电子的动量几乎完全不确定.
这一点的含义是, 几乎所有的动量值都是等概率的, 所以动量几乎肯定是无穷大.
无穷大的动量分量值, 其相应的速度分量值是 ±c.

补充条件: 右矢必须满足这个条件才对应于真实的态.
理论中存在补充条件并不意味着对量子力学普遍原理的背离或修正.
只要对线性算符加上更多的要求, 使得线性算符表示可观测量,
那么当存在补充条件时, 先前所给出的态叠加原理,
以及关于态, 动力学变量与可观测量的整个普遍理论仍然成立.
如果一个线性算符作用于任一满足补充条件的右矢,
得到另一个满足补充条件的右矢, 具有这样性质的线性算符被定义为物理变量.
一个线性算符若要能表示一个可观测量,
除了要满足先前章节的要求之外, 显然还必须满足物理变量的要求.

在含有多个同类粒子系统的理论中, 我们已经有过补充条件的例子.
自然界只出现对称波函数或反对称波函数所表示的态,
这一条件与我们称之为补充条件的属于严格相同的类型. 该理论中,
一个线性算符是物理变量的要求是, 它在同类粒子之间是对称的.

如果要在一个理论中引入补充条件, 我们必须验证,
这些条件不能太严格而没有任何符合条件的右矢. 如果补充条件多于一个,
可以通过构造补充条件中算符的泊松括号而得到新的补充条件.

要验证这些补充条件的一致性,
我们需考察由这个手续所得的全部补充条件是否都得以满足,
这个条件是可以实现的, 可以证明在某个点之后,
新出的补充条件要么恒等地满足, 要么只是先前补充条件的重复.

我们把相互作用引入理论的方法不是相对论性的,
因为相互作用能包含了在某一洛伦兹参照系中某一特定时刻的动力学变量.
因而, 含相互作用的理论是不是相对论性的理论, 是有疑问的.
场方程显然是相对论性的, 补充条件也是相对论性的.
不确定的是, 量子条件是不是洛伦兹不变的.

可以看到, 相互作用不影响量子条件的原因是, 相互作用很简单,
只含有基本动力学变量而不含它们的导数. 泊松括号与反对易子的值,
相较于无相互作用情况下是一样的, 这要求有一条件,
即它所联系的时空中两点的变量, 必须对某个观测者来说是同时的.
其意义是, 这两点必须互相处于对方的光锥之外,
而且这两点只能通过光锥外面的路径接近才可趋于重合.

一个给出无穷大跃迁概率的理论当然不会正确. 我们可以断定,
量子电动力学一定哪里出错了. 我们无需对这一结果感到吃惊,
因为量子电动力学并没有提供自然界的一个完整描述.
我们知道实验上有其他种类的粒子, 它们在高能量条件下产生.
我们所能预期的是, 量子电动力学理论能够成立的过程中,
不足以提供这么高的能量 (几百 MeV) 以产生其他种类的粒子.
所以, 相互作用能的高能部分是不可靠的, 而正是高能部分才导致无穷大.

看来必须修正相互作用的高能部分. 现在, 关于其他种类粒子的详细理论尚不存在,
所以不可能知道如何修正. 我们能做的只有把高能的部分全部截断掉, 这样消除发散.
截断的准确形式以及在多大能量处截断都不明确. 当然,
截断破坏了理论的相对论不变性. 由于我们对于高能过程的无知, 这是无法回避的缺陷.

即使采取了截断, 无粒子态 Q 仍不是近似的定态. 因而无粒子态与真空态差别巨大.
真空态必定含有很多粒子, 它被图像地看成伴有剧烈涨落的瞬态.

因此, 我们得到了一个对量子力学基本思想的一个剧烈变动,
即用线性算符而不是右矢量表示一个态.
导致这一变动的原因是由于量子力学应用于场的复杂性,
以及我们对高能过程的不了解.

这些计算的整个过程都采用海森伯图像. 有人尝试用薛定谔图像处理量子电动力学,
通过选取无粒子右矢来寻找薛定谔方程的解,
或者选取对应于少量粒子存在的右矢作为微扰方法初始右矢, 再使用标准的微扰技巧.
人们发现微扰项很大且严重依赖于截断, 如果没有截断就发散.
在这一情况下, 微扰方法并不是逻辑上有效的.
然而, 人们还是发展了这个方法并设计了计算规则来系统地丢弃发散
(在一个没有截断的理论中), 而保留有限的剩余效应.

我无法理解, 在薛定谔图像中, 补充上几条计算规则的这些计算,
是如何作为量子力学标准原理的逻辑发展的.
薛定谔图像不适合用来处理量子电动力学,
因为薛定谔图像中的真空涨落起着显著的作用.
这些涨落带来了巨大的数学困难, 但没有什么物理意义.
如果采用海森伯图像, 这些涨落就被略过了,
人们可以集中关注那些有物理意义的量.

量子力学可以被定义为把运动方程应用于原子尺度的粒子.
玻尔建立的氢原子理论第一次展示了原子尺度的粒子遵从运动方程.
在海森伯发现了非对易乘法的必要性之后, 量子力学获得巨大发展.
该理论的主要应用领域是, 处理通过电磁场相互作用的电子,
以及其他带电粒子, 这个领域包括了主要的低能物理与化学.

现在高能物理中有其他类型的相互作用, 是描述原子核的关键.
这类相互作用现尚未充分理解, 所以不能纳入运动方程系统.
这些相互作用的理论已经建立并有较大发展, 而且还获得了一些有用的结果.
但由于缺少运动方程, 这些理论尚不能形成原理的逻辑体系,
就像本书所建立的逻辑体系. 就这些相互作用而言, 我们相当于处在前玻尔时代.

爱因斯坦广义相对论需要用弯曲空间来描述物理世界.
如果我们希望不限于对物理关系作肤浅的讨论,
就必须建立一些精确的方程来处理弯曲空间.
有一种成熟但相当复杂的数学技巧能够做到这一点,
任何读者想要了解爱因斯坦的理论, 就必须掌握这种数学技巧.

P.A.M. 狄拉克
1975 年 2 月

张量有下述性质: 如果其全部分量在某一坐标系中等于零,
则在一切坐标系中均等于零. 非张量可以不具备这一性质.
对于非张量, 我们可以用与张量相同的规则来升高或降低其附标.

我们可以很容易地把二维弯曲空间想象为三维欧几里得空间中的一个曲面.
同样, 我们可以把四维弯曲空间浸没于更高维的平坦空间之中.
这样的弯曲空间叫作黎曼空间. 黎曼空间中的微小区域是近似平坦的.

让我们作如下物理假设: 不受引力以外的任何力作用的一个质点,
其世界线是一条类时测地线. 这个假设代替了牛顿第一运动定律.

物理学定律必须在一切坐标系中都有效, 它们必须表示成张量方程.
当张量方程包含场量的导数时, 此导数必定是协变导数.
物理学的场方程必须全部写成用协变导数替代普通导数.

即使我们对平空间 (即忽略引力场) 求解, 采用曲线坐标,
如果要使方程在一切坐标系中成立, 我们就必须用协变导数写出那些方程.

在引力场为弱场和静态场时, 爱因斯坦引力定律就变为牛顿引力定律,
因此爱因斯坦理论保留了牛顿理论在解释行星运动中的成功之处.
因为行星速度较之光速都是很小的, 所以静态近似是很好的近似.
因为空间非常接近平坦的, 故弱场近似也是很好的近似.

谐和坐标提供给我们在弯曲空间中所能采用的最接近直线坐标的近似.
只要愿意, 我们可以在任何问题中使用谐和坐标,
但一般坐标的张量形式在实际使用上更为方便,
因此采用谐和坐标常常是不值得的. 然而在讨论引力波时, 谐和坐标非常有用.

在弯曲空间中能量-动量守恒只是近似的,
这种误差来源于物质的引力场以及引力场本身具有若干能量和动量.

我们不可能得到同时满足下列两个条件的引力场能量表达式:
(i) 把它加到其他形式的能量上, 总能量是守恒的;
(ii) 在某一时刻, 在一确定 (三维) 区域内的能量与坐标系无关.
因此, 一般地说, 引力能不可能是定域的.
我们只好利用满足条件 (i) 但不满足条件 (ii) 的赝能量.
它使我们得到有关引力能的近似知识, 这种知识在某些特殊情况下可能是精确的.