狄拉克量子力学原理 & 狄拉克讲广义相对论

根据处理问题过程中所强调物理对象的不同, 量子力学有两种不同的命名:
如果强调系统的状态, 则叫"波动力学"; 如果强调动力学变量, 则叫"矩阵力学".

如果对应于某个态的右矢量乘上了任一非零的复数,
那么所得到的右矢量对应于相同的态. 所以,
态是由右矢量的方向确定的, 而给右矢量规定的任何长度无关紧要.

线性算符是复的量, 因为可以用复数乘上某一算符而得到具有相同性质的其他算符.
因此它们必然对应于复的动力学变量, 或者说对应于坐标, 速度等的复变函数.
我们需要进一步发展该理论, 看看哪种类型的线性算符对应于实的动力学变量.

在实动力学变量是一个数的特例中,
每个态都是其本征态且这一动力学变量是可观测量.
它的任何测量总给出相同的结果,
所以它只是一个物理常数, 如电子的电荷.
量子力学中的物理常数可以被当作具有单一本征值的可观测量,
或者出现在方程中的一个数, 这两种观点是等价的.

一般情况下, 我们不能说可观测量对某一特定态有一个值,
但是我们可以说它对这个态有一个平均值.
我们还可以进一步说, 可观测量对这个态有任一确定值的概率,
其含义是当我们测量这个可观测量时, 我们得到这个确定值的概率.

一个本征态属于连续区域内的某一本征值,
是实际上所能获得情况的一种数学的理想化.
虽然如此, 这样的本征态在理论上起着非常有益的作用,
而且我们没有它是不行的. 科学中包含了许多理论概念的例子,
这些概念是实际中碰到的事物的极限, 虽然它们在实验上无法实现,
但对于自然规律的准确表述是有用的, 而这恰好是又一个例子.
那些无法实现的态所对应的右矢量的长度无穷大, 这可能是它们无法实现的原因;
而所有可实现的态都对应于那些可以归一化的右矢量, 这些右矢量形成一个希尔伯特空间.

共同本征态的概念可以推广到两个以上的可观测量,
并且上述定理以及其逆定理仍然成立, 也就是说,
如果任意一组可观测量中的每一个都与所有其他的对易,
那么它们的共同本征态形成完全集; 反之亦然.
两个可观测量情况下的论证, 对于普遍的情况完全适用.

适用于共同本征右矢的正交性定理告诉我们,
一组对易可观测量的两个本征右矢,
如果它们所属的两组本征值有任何的不同, 它们则正交.

如果某些可观测量对易, 那么就存在一些态,
这些可观测量对这些态全都有确定的值, 这些态就是共同本征态.
因此, 我们就能给出几个对易的可观测量同时有值的意义.
此外, 对任何态我们能给出同时测量几个可观测量而得到一组具体结果的概率的含义.
这个结论是重要的新发展.
一般来说, 对处于确定状态的系统进行观测, 不扰动系统状态是办不到的;
此外, 为了进行第二次观测而不破坏系统状态, 也是做不到的.
于是我们无法给两个同时进行的观测以任何意义, 但是,
上述结论告诉我们, 在特殊情况下, 也就是当这两个可观测量对易的情况下,
两次观测可以看成是互不干涉的或相容的, 用这种方式,
我们不仅能给同时进行的两个观测以意义, 还能讨论得到任何一组具体结果的概率.
事实上, 这两个观测可以看作是一个较复杂类型的单一观测,
其结果可以用两个数而不是单个数来表示.
从普遍理论的观点看, 任意两个或者更多的对易可观测量,
可以当作单个的可观测量, 它们的测量结果包括两个或更多的数.
这种测量能够确定地得到特定结果的那些态都是共同本征态.

1 正交表象的基左矢是对易可观测量完全集的共同本征左矢.
2 如果对易可观测量的完全集已知,
  则可以用这个完全集的共同本征左矢作为基左矢建立一个正交表象.
3 任意一个对易可观测量的集合,
  都可以通过再增加某些可观测量的方法使之成为一个完全集.
4 标记正交表象的基左矢的一个方便的方法是使用对易可观测量的完全集的本征值,
  这个对易可观测量的完全集是以这些基左矢作为共同本征左矢的.

爱因斯坦广义相对论需要用弯曲空间来描述物理世界.
如果我们希望不限于对物理关系作肤浅的讨论,
就必须建立一些精确的方程来处理弯曲空间.
有一种成熟但相当复杂的数学技巧能够做到这一点,
任何读者想要了解爱因斯坦的理论, 就必须掌握这种数学技巧.

P.A.M. 狄拉克
1975 年 2 月

张量有下述性质: 如果其全部分量在某一坐标系中等于零,
则在一切坐标系中均等于零. 非张量可以不具备这一性质.
对于非张量, 我们可以用与张量相同的规则来升高或降低其附标.

我们可以很容易地把二维弯曲空间想象为三维欧几里得空间中的一个曲面.
同样, 我们可以把四维弯曲空间浸没于更高维的平坦空间之中.
这样的弯曲空间叫作黎曼空间. 黎曼空间中的微小区域是近似平坦的.

让我们作如下物理假设: 不受引力以外的任何力作用的一个质点,
其世界线是一条类时测地线. 这个假设代替了牛顿第一运动定律.

物理学定律必须在一切坐标系中都有效, 它们必须表示成张量方程.
当张量方程包含场量的导数时, 此导数必定是协变导数.
物理学的场方程必须全部写成用协变导数替代普通导数.

即使我们对平空间 (即忽略引力场) 求解, 采用曲线坐标,
如果要使方程在一切坐标系中成立, 我们就必须用协变导数写出那些方程.

在引力场为弱场和静态场时, 爱因斯坦引力定律就变为牛顿引力定律,
因此爱因斯坦理论保留了牛顿理论在解释行星运动中的成功之处.
因为行星速度较之光速都是很小的, 所以静态近似是很好的近似.
因为空间非常接近平坦的, 故弱场近似也是很好的近似.

谐和坐标提供给我们在弯曲空间中所能采用的最接近直线坐标的近似.
只要愿意, 我们可以在任何问题中使用谐和坐标,
但一般坐标的张量形式在实际使用上更为方便,
因此采用谐和坐标常常是不值得的. 然而在讨论引力波时, 谐和坐标非常有用.

在弯曲空间中能量-动量守恒只是近似的,
这种误差来源于物质的引力场以及引力场本身具有若干能量和动量.

我们不可能得到同时满足下列两个条件的引力场能量表达式:
(i) 把它加到其他形式的能量上, 总能量是守恒的;
(ii) 在某一时刻, 在一确定 (三维) 区域内的能量与坐标系无关.
因此, 一般地说, 引力能不可能是定域的.
我们只好利用满足条件 (i) 但不满足条件 (ii) 的赝能量.
它使我们得到有关引力能的近似知识, 这种知识在某些特殊情况下可能是精确的.