空间-时间-物质 外尔

读者在开始时所需要的理论储备是最少的. 狭义相对论不仅详尽地论述了相对论,
而且就连麦克斯韦理论和解析几何也在其主要内容中得到了发展.
这是整个计划的一部分. 张量微积分的建立 -- 仅仅依靠它,
就有可能充分地表达所讨论的物理知识 -- 占据了相当大的空间.

外尔
1918 年, 复活节

如果一个绝对孤立的物理系统 (即一个不受外部影响的系统)
再次恢复到与它在某个较早的时刻完全相同的状态,
那么同样状态的继承将及时地重复, 而整个事件系列将构成一个循环.
一般来说, 这样的系统叫作时钟. 循环的每个周期持续的时间等长.

通过测量时间来确定时间的数学基础是基于这两个关系,
"较早 (或较晚) 时间" 和 "相等时间" 计量的性质可简要说明如下:
时间是均匀的, 也就是说, 一个时间点只能通过单独指定才能给出.
不存在由时间的一般性质而产生的固有性质,
而时间的一般性质可归因于任何一点, 但不能归因于任何另一点;
或者, 从这两个基本关系中逻辑推导出来的每一个属性要么属于所有点,
要么不属于任何点. 同样的道理也适用于时间-长度和点对.

基于这两个关系并适用于一个点对的属性必须适用于每一个点对 AB (其中 A 早于 B).
然而, 在三个点对的情况下, 就会产生差异. 如果给定任意两个时间点 O 和 E,
使 O 早于 E, 则可以通过将它们引用单位距离 OE 在概念上来确定进一步的时间点 P.

测量的一个本质特征是:
通过个别规范"确定"一个对象与通过某些概念手段确定同一对象之间的区别.
后者可能只相对于必须直接定义的对象. 这就是为什么相对论总是与测量有关.
相对论提出的关于任意对象领域的一般问题的形式是:
(1) 必须给出什么, 以便相对于它 (以及任何期望的精度),
人们可以从所考虑的连续扩展的对象领域中, 从概念上挑出一个任意对象 P?
必须给出的 (对象的连续扩展域) 称为坐标系统,
概念的定义称为坐标系统中 P 的坐标 (或横坐标). 从客观的观点来讲,
两个不同的坐标系是完全等价的. 没有可以在概念上固定的属性,
它适用于一个坐标系, 但不适用于另一个坐标系;
那种只适用于一个坐标系而不适用于另一个坐标系的概念上固定的属性是不存在的;
因为如果那样的话, 就会有太多的东西必须直接给定了.
(2) 在两个不同的坐标系中, 同一个任意对象 P 的坐标之间存在什么关系?

我们可以说, 直线是由同一无穷小平移及其逆的无限重复的点导出的.
而平面则是通过将一条直线 g 沿另一条直线 h
的无穷小平移及其逆的无限重复导出的.
如果 g 和 h 是通过 A 点的两条不同的直线,
那么如果我们对 g 应用所有使 h 变换成其自身的变换,
所有由 g 产生的直线全体就形成 g 和 h 所确定的公共平面.

只有当我们首先将全等变换的一般概念缩小到平移的概念,
并以此作为公理基础时, 我们才能成功地将逻辑顺序引入几何学的结构中.
然而, 通过这样做, 我们就得出了一个只涉及变换的几何学, 即仿射几何,
在这种几何学的范围内, 一般全等概念必须重新引入.

如果我们首先从 O 点开始度量流形 M 的所有向量, 然后从另一任意点 O' 开始度量,
则得到的两个线性点的总体被称为是彼此平行的. 平行平面和平行直线的定义就包含在这里.

线性变换的概念在仿射几何中所起的作用与全等变换在一般几何中的作用相同,
故而它有着基本的重要性. 在仿射变换中, 线性无关向量仍转化为线性无关向量;
同样地, 一个 h-维线性结构变成一个相似的结构;
平行变换成平行; 一个坐标系转化为一个新的坐标系.

线性方程组的基本定理是:
那些满足 h 个独立线性方程组的点, 构成 (n - h) 维的点构型.

因此, 我们看到, 不是向量的长度, 而是向量长度的平方,
它以一种简单的有理方式依赖于向量本身; 它是二次型.
这就是毕达哥拉斯定理的真正内容.
标量积只不过是导出这种二次型的对称双线性形式.
因此, 我们制定如下的公理.

通过全等变换可以相互转换的两个几何图形是全等的.
全等的概念是由这些陈述在我们的公理方案中定义的.

如果我们有一个运算域, 则可以在其中选择任一正定的二次型,
把它 "提升" 到度量基本形式的位置, 并以此为基础,
如刚才所做的方法那样定义全等的概念.
然后, 这种形式赋予仿射空间以度量属性,
而欧几里得几何学整体上现在都成立.
我们所得到的公式并不局限于任何特殊的维数.

我们必须在这里遵循第一种方法,
以便能够在以后进行超越欧几里得几何学极限的推广.
这一计划从代数的角度来看似乎也是明智的,
因为对所有线性变换保持不变的表达式进行研究,
要比仅仅对正交变换保持不变的那些表达式进行研究要容易得多
(受次要限制的一类转换不容易定义).

每一个线性变换都对应着一个也是唯一的一个逆变换.

在笛卡儿坐标系中, 协变分量与逆变分量重合.
必须再次强调的是, 在仿射空间中,
只有逆变分量我们可以处理, 因此,
我们在没有更详细说明的情况下讨论位移的分量时,
就隐含了逆步变量的假定.

当变量被反向变换时, 单线性形式的系数是共变的,
而如果变量是共变的则其系数是反变的.
协变指标总是以后缀形式附加到系数后面,
而反变指标则作为后缀写在系数的顶部.
带下标的变量总是被共变地变换为坐标系的基本向量,
带上标的变量则被逆变地变换为坐标系的基本向量.
如果给出了坐标系统中的分量, 张量是完全已知的
(当然, 假定给出了坐标系统本身); 然而, 这些分量可以任意规定.
张量演算涉及与坐标系统无关的张量的性质和关系.

以下的准则显然与张量概念的阐述是等价的. 如果在每一种情况下, 即假定
(1) 当一个任意逆变向量的分量被替换为变量的逆变序列时;
(2) 当一个任意协变向量的分量被替换成一个变量的协变序列时,
它都有一个与坐标系无关的值, 则这个依赖于坐标系的多变量线性形式称为张量.

如果现在从仿射回到度量几何, 我们可以看到,
仿射几何中影响张量自身的协变和逆变之间的区别:
缩小到仅仅是表示方式上的差异.

因此, 我们不再讨论协变, 混合和逆变张量,
我们发现在这里只讨论一个张量的协变, 混合和逆变的分量会更为方便.
在上述注解之后, 很明显,
从一个张量到另一个具有不同的协变性质的张量的变换可以简单地表述如下.

如果我们把张量中的逆变变量解释为任意位移的逆变分量,
而协变变量解释为任意位移的协变分量,
那么张量就转化为几个独立于坐标系统的任意位移的线性形式.
通过以它们的协变或反变分量的方式表示这些论点,
这表明它本身是适当的, 我们接着要考虑的是相同张量的其他表示形式.

在度量空间中, 从所说的可以清楚地看到,
协变向量和逆变向量之间的区别消失了:
在这种情况下, 我们可以表示一个力, 根据我们的观点,
它本质上是一个协变矢量, 作为一个逆变向量, 也可以通过位移来表示.

几何量和物理量是标量, 矢量和张量:
这表达了这些量存在的空间的数学构成.
数学的对称性这一条件绝不仅仅局限于几何学,
相反, 它在物理学中实现了其完全的有效性.
由于自然现象发生在度量空间之中,
张量微积分是表达它们的统一性的自然数学工具.

在一般向量分析中, 用矢量代替反对称张量,
在表达简易性方面是合理的, 但在某些方面它却隐藏了本质特征;
它产生了众所周知的电动力学中的"游动规则", 在明智的意义上,
这并不意味着在发生电动力学事件的空间中有一个独特的扭曲方向;
它们之所以必要, 仅仅是因为磁场的强度被视为矢量, 而在现实中,
它是一个反对称的张量 (就像两个矢量的矢量乘积一样).
如果再给我们一个空间维度, 这个错误就不会发生.

这个定理使我们能够立即对张量进行一般运算,
称为 "缩并", 这是乘法的第二步.
通过使张量的混合分量中的一个确定的上指标与一个确定的下指标重合,
并对该指标进行求和, 我们从给定的张量中得到一个新的张量,
其阶比原来的张量少两阶.

无论在什么地方对某些指标进行求和,
求和指标在求和的成员中都出现两次,
一次为系数的上指标, 另一次为系数的下指标:
每一个这样的求和都是缩并的例子.

如果像这里假设的那样, 基本度量张量对应的二次型肯定是正的,
这些不变量都是正的, 因为在笛卡儿坐标系统中,
它们正好揭示了分量的平方和这一形式. 就像在向量的最简单情况下,
这些不变量的平方根可以称为一阶, 二阶, 三阶 ... 张量的度量或大小.

在这一点上, 我们将一劳永逸地制定一项惯例:
如果一个指标在一个附加指标的公式中出现两次
(一次为上指标, 一次为下指标),
则这始终意味着该求和是针对该指标进行的,
我们将认为不必要在其前面设置一个求和符号.

加法, 乘法和缩并的运算只需要仿射几何:
它们不是建立在 "基本度量张量" 的基础上的.
后者只是从协变分量到反变分量和其逆的变换过程所必需的.

多个变量序列的线性形式称为是对称的,
如果在这些变量序列中的任意两个变量互换后保持不变,
但如果进行这样的变换变成了负的,
也就是颠倒了它的符号, 则称为反对称的形式.
如果变量序列之间任意排列, 则对称线性形式不变;
当变量序列中的变量进行偶数置换时, 反对称线性形式不变,
但当置换为奇数时, 则改变其符号.

毕竟, 从物理学的角度来看, 麦克斯韦后期的理论连续不断地证明了,
从旧的超距作用观念向现代的无限近距离作用的观念转变而产生的丰硕成果.

正磁性和负磁性是不能彼此分离的. 在磁场中没有源, 只有双源.
磁体由无限小的基本磁体组成, 每个磁体本身都含有正负磁性.
在物质的每一部分, 磁力的数量实际上都是零;
这似乎意味着实际上没有磁力这样的东西.

当单个原子只因电场强度的作用而极化时 (即变成双源),
这发生在场强的方向上, 原子从一开始就是一个基本的磁铁,
因为其中存在旋转的电子 (至少在对磁性物质和铁磁性物质中如此).
然而, 所有这些基本磁铁, 只要它们是不规则排列的,
并且电子轨道上的所有位置平均发生的频率都是一样的,
就会相互抵消彼此的影响.
所施加的磁力仅仅实现了引导现有的双源的功能.

只要对流形没有更多的了解,
我们就无法区分任何一个坐标系和另一个坐标系.
因此, 对于任意连续流形的解析处理,
我们需要一个关于坐标任意变换的不变性理论,
而对于在前一章的仿射几何的发展来说,
我们只使用了关于线性变换情形的更为特殊的不变性理论.

高斯是第一个认识到度量基本形式是曲面上几何形状的决定性因素.
曲线的长度, 角度和曲面上给定区域的大小仅取决于它.

曲面的几何处理属于它的曲面的内在度量关系,
而不依赖于它在空间中的嵌入方式.
它们是可以由曲面本身实施的度量来确定的关系.

欧几里得几何的基本事实是两点之间距离的平方是两点相应坐标的二次型
(毕达哥拉斯定理). 但是, 如果把这个定律看作仅当这两个点无限接近时严格有效,
那么我们就进入了黎曼几何学的领域. 这同时允许我们更准确地定义坐标系,
因为用这种形式表示的毕达哥拉斯定律 (即无限小距离) 对于任意的变换是不变的.
从欧几里得 "有限的" 几何学到黎曼的 "无穷小" 几何学,
其方式与我们从 "有限的" 物理学到 "无限小" (或 "接触") 物理学的方式完全类似.
黎曼几何是为满足连续性要求而构造的欧几里得几何学, 因而它具有更广泛的性质.

三维黎曼空间的度量关系可直接应用于其中存在的任何曲面,
从而将其转化为二维黎曼空间. 而从欧几里得的观点来看,
空间从一开始就被假定为比其中的可能的曲面简单得多的特征,
即假设为长方形, 黎曼把空间的概念推广到了足以克服这种差异的程度.
从无穷小部分的行为中获得外部世界知识的原理,
是无穷小物理学中的知识理论的主要来源, 就像黎曼几何中的知识理论一样,
实际上, 这一原理也是黎曼所有杰出工作尤其是处理复函数理论工作的主要来源.

在不作人为限制的情况下,
我们可以很容易地将最初建立在欧几里得几何基础上的电磁场定律,
转化为黎曼空间的术语. 一旦做到这一点, 就没有理由怀疑:
为什么经验不能决定是欧几里得几何学的特殊观点,
还是更普遍的黎曼几何学观点将被支持.

黎曼的空间在表面的每个点的法线方向都有一个确定的曲率.
欧几里得空间的特征是它的曲率在每个点和每个方向上都是零.

受爱因斯坦理论的重大推论启发, 重新审视数学基础,
本书作者发现黎曼几何在实现纯无穷小几何理想方面只走了一半的路.
我们仍然要消除几何学中的最后一个元素: "距离", 欧几里得时代的遗迹.
黎曼假设在空间的不同点上也可以比较两个线元素的长度;
在 "无限邻近" 的几何图形中, 不允许在一定距离内进行比较.
只有一个原则是允许的, 通过这个,
长度的分割可以从一个点转移到它的无限邻接点.

在这些介绍性的评论之后,
我们现在进入纯无穷小几何的系统发展, 这一过程将经过三个阶段,
从通过仿射联络流形, 回避了更精确定义的连续统, 到度量空间.
在我看来, 这个理论是一系列逻辑上相互联系的思想的高潮,
这些思想的结果所形成的理论, 是一门真正的几何学, 是关于空间本身的学说,
而不仅仅像欧几里得和几乎所有以几何学的名义所做的一切那样,
这是一种关于空间中可能存在的构型的学说.

无限小位移在张量微积分的发展中所起的作用与第 1 章中的位移是一样的.
然而, 必须注意的是, 在这里, 一个位移本质上是固定在一个点上的,
说两个不同点的无穷小位移相等或不相等是没有意义的.

我们不能简单地说一个向量或张量, 而必须说在一点 P 处的向量或张量.

这里有逆变向量和协变向量.
当使用 "向量" 一词而没有更精确地定义时,
我们应把它理解为逆变向量.

速度在运动过程中始终保持不变的运动称为平移.
平移的轨迹是一条保持其方向不变的曲线, 它是一条直线或测地线.
根据平移的观点, 这是直线的固有属性.

如果让这样一个流形的所有点服从一个无限小的位移,
在每种情况下都可以用一个 "相等" 的无限小向量来表示,
那么这个空间就称为经历了一个无限小的全平移.
借助这一概念, 并遵循第 1 章的推理思路, 我们可以构造 "线性" 坐标系,
其特征是, 在这些坐标系中, 相同的向量在坐标系的不同点上具有相同的分量.
在一个线性坐标系中, 仿射关系的分量同等地消失.
任何两个这样的坐标系都是用线性变换公式连接起来的.
流形是第 1 章意义下的仿射空间:
向量转移的可积性是区分线性空间与仿射相关空间的无限小几何性质.

然而, 在物理学中, 使用张量微积分不是用来描述度量条件,
而是用来描述在度量空间中表达物理状态的场.
例如, 电磁场, 并建立其中的定律. 现在, 在研究结束时,
我们将发现物理学和几何学之间的这种区别是错误的,
物理学并没有超越于几何学之外.
我们的世界是一个 (3 + 1)-维的度量流形,
所有发生在其中的物理现象都只是度量场的表达方式.
特别是, 我们所处世界的仿射关系不过是引力场,
但它的度量特征是充满世界的 "以太" 状态的表达;
甚至物质本身也沦为这种几何形态, 失去了它作为永久物质的特性.

克利福德的预言在这里得到了非常准确的证实. 他说:
"空间曲率的理论暗示了一种可能性, 即仅用延伸来描述物质和运动."
然而, 这些都是对未来的梦想. 目前,
我们将坚持我们的观点, 即物理状态是空间中的外来状态.

在下面的决定 P 点上的度量结构的一般特征是旋转群.
如果在向量丛 (即向量的总和) 的线性变换中, 已知其自身的全等变换,
则在 P 点处的流形的度量构成即为已知. 有许多不同种类的度量测定,
就像有本质上不同的线性变换群一样
(本质上不同的群之间的区别不仅仅是通过选择坐标系来区分的).
在由毕达哥拉斯定理度量的空间 (该空间是我们迄今为止单独研究过的) 情形下,
这个旋转群由所有的线性变换组成, 这些线性变换把二次基本形式转换成它自己.
但是这个旋转群本身并不需要有一个不变量 (也就是说, 一个函数,
它依赖于一个任意向量, 并且在任意旋转后保持不变).

在不同种类的度量空间中, 根据毕达哥拉斯和黎曼的思想,
我们现在用简单的内在关系来指明实空间所属于的范畴.
作为一种现象形式, 不随位置变化的旋转群表现出一种属于空间的属性,
它体现了空间的度量性质.
然而, 从点到点的度量关系不是由空间的性质所决定的,
也不是由流形上各点的旋转群的相互的定向所决定的.
度量关系更依赖于物质内容的配置, 因此, 它本身是自由的,
能够进行任何 "实质上" 的改变.
我们将把它不受限制这一事实表述为我们的第一条公理.

I. 空间的性质对度量关系没有限制

对于给定的度量关系, 进一步的限制是 "平行位移" 必须同时是一个全等变换.
第二个公理就是上面提到的无穷小几何的基本定理; 对于给定的度量关系,
在矢量体的变换之间总是存在一个 "单一的" 平行位移系统.
我们只是暂时地把仿射关系当作空间的一个基本特征; 然而,
事实是, 由于平行位移的固有属性, 它们必须被排除在全等变换之外,
平行位移的概念是由度量关系决定的. 这个假设可以这样阐述.

II. 仿射关系是由度量关系唯一决定的

总之, 建议大家注意两点. 首先, 公理 I 与公理 II 的结果并不矛盾,
公理 II 的结果表明, 不仅度量结构, 而且度量关系在每一点上都是相同的,
即是可以想象到的最简单的类型. 对于每一点, 都有一个则地坐标系统,
以至于该点上所有矢量的移动, 其分量不变, 到邻近点, 始终是一全等的移动.
其次, 以这里所述的方式把握毕达哥拉斯空间的度量结构的独特意义的可能性,
完全取决于定量的度量条件允许相当大的实质变化的情况.
这种可能性取决于黎曼的动力学观点.
在爱因斯坦的万有引力理论 (第 4 章) 取得成功后, 其真理毋庸置疑,
正是这一观点开启了发现 "空间合理性" 的道路.

也就是说, 一个笛卡儿坐标系 (在空间中) 必须相对于另一个坐标系做匀速直线运动.
反过来, 很容易证明, 如果 C, C' 是两个这样的坐标系,
惯性原理和牛顿的力学原理对坐标系 C 成立, 那么对坐标系 C' 也成立.

牛顿力学定律在从一个坐标系 C 变换到另一个坐标系 C' 时并没有改变.
根据万有引力定律, 在某一时刻的一个质点作用于另一个质点的引力是一个矢量,
它在空间中是独立于坐标系的 (这也是同时连接两个质点的位置的矢量).
每一种力, 无论其物理来源是什么, 其大小必定是相同的;
这是牛顿力学的假设, 它要求物理学满足这一假设,
以便能够给力的概念一个内容. 例如, 我们可以在弹性理论中证明,
应力 (由于它们与变形量的关系) 就是所需要的那种力.

伽利略惯性原理 (牛顿第一运动定律) 是一个仿射定律,
它描述了什么运动实现了我们四维仿射空间 ("世界") 的直线,
也就是说, 这些是由不受外力作用下质点的运动实现的.