- 空间-时间-物质
- 一般不会阅读久远前的书籍, 但是
外尔之大名, 总是不绝于耳! 于我等凡俗之人而言, 爱因斯坦, 薛定谔等先贤, 已是世间传奇. 而外尔在这些群星璀璨的大家之中, 尤又谓之: 数学物理之巨擘! - 此生, 怎可不读外尔? (然后, 估计也只能读懂这一本咯~)
- 再者, 20 世纪的物理的数学形式的进化 (比如: 群), 于此书便可见发展之脉络~
- 一般不会阅读久远前的书籍, 但是
读者在开始时所需要的理论储备是最少的. 狭义相对论不仅详尽地论述了相对论,
而且就连麦克斯韦理论和解析几何也在其主要内容中得到了发展.
这是整个计划的一部分. 张量微积分的建立 -- 仅仅依靠它,
就有可能充分地表达所讨论的物理知识 -- 占据了相当大的空间.
赫尔曼·外尔
1918 年, 复活节
注: 此处的公式会忽略格式的细节, 比如原书的粗体小写字母表示向量, 一律偷懒忽略加粗. 因为公式并非本书的重点~
欧几里得空间
我们可以说, 直线是由同一无穷小平移及其逆的无限重复的点导出的.
而平面则是通过将一条直线 g 沿另一条直线 h
的无穷小平移及其逆的无限重复导出的.
如果 g 和 h 是通过 A 点的两条不同的直线,
那么如果我们对 g 应用所有使 h 变换成其自身的变换,
所有由 g 产生的直线全体就形成 g 和 h 所确定的公共平面.
只有当我们首先将全等变换的一般概念缩小到平移的概念,
并以此作为公理基础时, 我们才能成功地将逻辑顺序引入几何学的结构中.
然而, 通过这样做, 我们就得出了一个只涉及变换的几何学, 即仿射几何,
在这种几何学的范围内, 一般全等概念必须重新引入.
仿射几何基础
向量 \(e_1\) (乘以实数) -> 直线; 引入另一个非共线向量 \(e_2\), 线性组合 -> 平面; 再引入另一个平面外向量 \(e_3\) 线性组合 -> (三维) 空间.
如果我们首先从 O 点开始度量流形 M 的所有向量, 然后从另一任意点 O' 开始度量,
则得到的两个线性点的总体被称为是彼此平行的. 平行平面和平行直线的定义就包含在这里.
线性变换的概念在仿射几何中所起的作用与全等变换在一般几何中的作用相同,
故而它有着基本的重要性. 在仿射变换中, 线性无关向量仍转化为线性无关向量;
同样地, 一个"h-维线性结构"变成一个相似的结构;
平行变换成平行; 一个坐标系转化为一个新的坐标系.
线性方程组的基本定理是:
那些满足 h 个独立线性方程组的点, 构成 (n - h) 维的点构型.
为了完成从仿射几何到完备度量几何的过渡,
我们还需要一些在线性代数中出现的概念和事实,
这些概念和事实涉及双线性和二次型的概念.
任意两个向量 x 和 y 的函数 Q(x, y),
如果对于 x 和 y 中都是线性形式, 则称为双线性形式.
- 如果
\(Q(y, x) = Q(x, y)\),
则称双线性形式为
对称形式. 这在系数中由对称性质 \(a_{ki} = a_{ik}\) 体现出来. 每一个双线性型 \(Q(x, y)\) 都产生一个二次型, 它仅依赖于一个可变向量 \(x\)- \(Q(x) = Q(x, x) = \sum_{i, k = 1}^{n} a_{ik} ξ_i ξ_k\).
- 这样, 每一个二次型一般都是由一个而且只由一个
对称的双线性形式导出. - 我们刚刚得到的二次型 \(Q(x)\) 也可以由对称形式 \(\frac{1}{2} \{ Q(x, y) + Q(y, x) \}\) 通过令 \(x\) 与 \(y\) 恒等而产生.
度量几何基础
- 任意两个向量的标量乘积 \(x \cdot y\) 是对称的双线性形式, 由此产生的二次型是正定的.
因此, 我们看到, 不是向量的长度, 而是向量长度的平方,
它以一种简单的有理方式依赖于向量本身; 它是二次型.
这就是毕达哥拉斯定理的真正内容.
标量积只不过是导出这种二次型的对称双线性形式.
因此, 我们制定如下的公理.
- 度量公理: 如果选定非零的单位向量
\(e\),
则任意两个向量
\(x\)
和
\(y\)
唯一地确定一个数
\((x \cdot y) = Q(x, y)\);
后者依赖于两个向量, 是一个对称的双线性形式. 由此产生的二次型
\((x \cdot x) = Q(x)\)
是正定的, 且
\(Q(e) = 1\).
- 我们称
\(Q\)
为
度量基本形式. 因此我们有, 一个仿射变换将向量 \(x\) 变换为 \(x'\), 一般地, 如果它使得向量的度量基本形式保持不变, 即 \(Q(x) = Q(x')\), 则称该仿射变换是全等变换. - 通过全等变换可以相互转换的两个几何图形是全等的. 全等的概念是由这些陈述在我们的公理方案中定义的.
- 我们称
\(Q\)
为
- 对应于每一个非退化二次型
\(Q\),
可以引入坐标系
\(e_i\),
使得
- \(Q(x) = ε_1 x_1^2 + ε_2 x_2^2 + ... + ε_n x_n^2\) \((ε_i = ±1)\).
- \(Q(e_i) = ε_i\), \(Q(e_i, e_k) = 0 (i ≠ k)\).
- \(x_i = ε_i \cdot Q(e_i, x)\).
- 全等变换的行列式
\(△ = | a_i^k |\)
与其逆变换的行列式是相等的, 因为其乘积必等于
\(1\),
因此
\(△ = ±1\).
- 正号或负号将取决于全等变换是实像变换还是镜像变换 (“横向反演”).
- 度量几何的解析处理有两种可能性.
任何一种方法对所使用的仿射坐标系都没有限制:
接下来的问题是发展一种关于任意线性变换的不变性理论,
然而, 在这种理论中, 与仿射几何的情况相反,
我们有一个确定的不变二次型, 即度量基本形式
- \[Q(x) = \sum_{i, k = 1}^{n} g_{ik} ξ_i ξ_k\]
- 将一劳永逸地作为绝对的数据.
- 或者, 我们可以从一开始就使用笛卡儿坐标系: 在这种情况下, 我们关注正交变换的不变性理论, 即线性变换, 其中系数满足正交条件.
我们必须在这里遵循第一种方法,
以便能够在以后进行超越欧几里得几何学极限的推广.
这一计划从代数的角度来看似乎也是明智的,
因为对所有线性变换保持不变的表达式进行研究,
要比仅仅对正交变换保持不变的那些表达式进行研究要容易得多
(受次要限制的一类转换不容易定义).
虽然这么说不太好, 但还是忍不住拿 从矢量到张量 做个对比, 简直云泥之别! 外尔的娓娓道来, 行云流水, 一气呵成; 而另者, 词条罗列, 资料汇编罢了~