自旋 1/2 和二能级体系
- 我们将会看到, 一个顺磁性中性原子的角动量 (或磁矩) 沿
\(O_z\)
方向的分量只能取某一离散集合中的若干个数值.
- 例如, 就一个基态的银原子而言, 其角动量的分量 \(S_z\) 只有两个可能值 (\(+ \frac{\hbar}{2}\) 和 \(- \frac{\hbar}{2}\)).
- 因此, 我们说一个基态银原子是自旋为 \(\frac{1}{2}\) 的粒子.
自旋为 1/2 的粒子: 角动量的量子化
- 自旋态空间
\(\mathcal{E}_S\)
中的最一般的 (归一化的) 右矢, 是
\(\mid + \rangle\)
和
\(\mid - \rangle\)
的某种线性叠加:
- \[\mid ψ \rangle = α \mid + \rangle + β \mid - \rangle\]
- 其中 \(α\) 与 \(β\) 应满足下列关系式:
- \[|α|^2 + |β|^2 = 1\]
- 在基
\(\{ \mid + \rangle, \mid - \rangle \}\)
中, 表示可观察量
\(S_z\)
的矩阵显然是对角的, 可将它写作:
- \[(S_z) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
- 观察算符 \(S_x\) 和 \(S_y\) 分别与 \(\mathcal{L}\) 的分量 \(\mathcal{L}_x\) 和 \(\mathcal{L}_y\) 相联系. 在基 \(\{ \mid + \rangle, \mid - \rangle \}\) 中, 算符 \(S_x\) 和 \(S_y\) 应该用 \(2 \times 2\) 的厄米矩阵来表示.
\(\mathcal{L}\) 貌似并不是原书采用的符号, 但我也没找到相似的~
- 到
量子力学中角动量的普遍性质一章我们将会看到, 在量子力学中, 一个角动量的三个分量并不互相对易, 而是满足完全确定的对易关系式. 根据这一点, 我们可以证明, 在目前所研究的自旋 \(\frac{1}{2}\) 的情况下, 在 \(S_z\) 的本征矢 \(\mid + \rangle\) 和 \(\mid - \rangle\) 所构成的基中, \(S_x\) 和 \(S_y\) 的矩阵是:- \[(S_x) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
- \[(S_y) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\]
- 算符 \(S_x\), \(S_y\) 和 \(S_u\) 的本征值都与 \(S_z\) 的相同, 即 \(+ \frac{\hbar}{2}\), \(- \frac{\hbar}{2}\). 从物理上看, 这个结果是可以预期的; 由于空间的一切方向的性质都相同.