自旋 1/2 和二能级体系
- 我们将会看到, 一个顺磁性中性原子的角动量 (或磁矩) 沿
\(O_z\)
方向的分量只能取某一离散集合中的若干个数值.
- 例如, 就一个基态的银原子而言, 其角动量的分量 \(S_z\) 只有两个可能值 (\(+ \frac{\hbar}{2}\) 和 \(- \frac{\hbar}{2}\)).
- 因此, 我们说一个基态银原子是自旋为 \(\frac{1}{2}\) 的粒子.
自旋为 1/2 的粒子: 角动量的量子化
- 自旋态空间
\(\mathcal{E}_S\)
中的最一般的 (归一化的) 右矢, 是
\(\mid + \rangle\)
和
\(\mid - \rangle\)
的某种线性叠加:
- \[\mid ψ \rangle = α \mid + \rangle + β \mid - \rangle\]
- 其中 \(α\) 与 \(β\) 应满足下列关系式:
- \[|α|^2 + |β|^2 = 1\]
- 在基
\(\{ \mid + \rangle, \mid - \rangle \}\)
中, 表示可观察量
\(S_z\)
的矩阵显然是对角的, 可将它写作:
- \[(S_z) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\]
- 观察算符 \(S_x\) 和 \(S_y\) 分别与 \(\mathcal{L}\) 的分量 \(\mathcal{L}_x\) 和 \(\mathcal{L}_y\) 相联系. 在基 \(\{ \mid + \rangle, \mid - \rangle \}\) 中, 算符 \(S_x\) 和 \(S_y\) 应该用 \(2 \times 2\) 的厄米矩阵来表示.
\(\mathcal{L}\) 貌似并不是原书采用的符号, 但我也没找到相似的~
- 到
量子力学中角动量的普遍性质一章我们将会看到, 在量子力学中, 一个角动量的三个分量并不互相对易, 而是满足完全确定的对易关系式. 根据这一点, 我们可以证明, 在目前所研究的自旋 \(\frac{1}{2}\) 的情况下, 在 \(S_z\) 的本征矢 \(\mid + \rangle\) 和 \(\mid - \rangle\) 所构成的基中, \(S_x\) 和 \(S_y\) 的矩阵是:- \[(S_x) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
- \[(S_y) = \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}\]
-
算符 \(S_x\), \(S_y\) 和 \(S_u\) 的本征值都与 \(S_z\) 的相同, 即 \(+ \frac{\hbar}{2}\), \(- \frac{\hbar}{2}\). 从物理上看, 这个结果是可以预期的; 由于空间的一切方向的性质都相同.
- 拉莫尔进动
二能级体系的一般研究
在物理学中还有很多别的问题, 如果只需一级近似, 也可用同样简单的方式来处理.
譬如, 我们考虑一个具有两种状态的物理体系, 对应于这两个状态的能量相差很小,
但这两个能量值与体系的一切其他状态的能量值却又相差很大.
现在我们希望计算外界微扰 (或以前被忽略了的内部相互作用) 对这两个能级的影响.
当扰动的强度足够弱时, 可以证明, 如果只需要一级近似,
那么要计算扰动对这两个能级的影响, 可以完全不考虑该体系的所有其他能级.
这样一来, 我们就可以在态空间的一个二维子空间中进行全部运算.
- 假设现在我们要考虑在
\(H_0\)
中原来忽略不计的外界微扰或体系内部的相互作用, 则哈密顿算符变为:
- \[H = H_0 + W\]
- 我们用 \(\mid ψ_{±} \rangle\) 和 \(E_{±}\) 表示 \(H\) 的本征态和本征值:
- \[H \mid ψ_+ \rangle = E_+ \mid ψ_+ \rangle\]
- \[H \mid ψ_- \rangle = E_- \mid ψ_- \rangle\]
- \(H_0\)
通常叫做未微扰的哈密顿算符,
\(W\)
叫做微扰或耦合. 在这里, 我们假定
\(W\)
不依赖于时间. 在由
\(H_0\)
的本征态 (叫做未微扰的态) 组成的基
\(\{ \mid φ_1 \rangle, \mid φ_2 \rangle \}\)
中,
\(W\)
由一个厄米矩阵表示:
- \[(W) = \begin{pmatrix} W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & W_{22} \end{pmatrix}\]
- \(W_{11}\) 和 \(W_{22}\) 都是实数. 此外 \(W_{12} = W_{21}^{*}\)
-
没有耦合时, \(E_1\) 和 \(E_2\) 是体系的可能的能量值, 而态 \(\mid φ_1 \rangle\) 和 \(\mid φ_2 \rangle\) 都是定态 (就是说, 如果使体系处于这两个态中的一个, 则它将永远处于这个态). 现在的问题是要计算引入耦合 \(W\) 之后出现的修正.
- 耦合的后果
- α. \(E_1\) 和 \(E_2\) 不再是体系的可能的能量值
- β. \(\mid φ_1 \rangle\) 和 \(\mid φ_2 \rangle\) 不再是定态
静态方面: 耦合对体系的定态的影响
- \(H\)
的本征值及本征态的表示式
- 在基 \(\{ \mid φ_1 \rangle, \mid φ_2 \rangle \}\) 中, 我们可将 \(H\) 的矩阵写作:
- \[(H) = \begin{pmatrix} E_1 + W_{11} & W_{12} \\ W_{21} & E_2 + W_{22} \end{pmatrix}\]
- 下面我们将要讨论的一切有趣的效应都起源于微扰
\(W\)
具有非对角矩阵元
\(W_{12} = W_{21}^{*}\)
(如果
\(W_{12} = 0\),
那么,
\(H\)
的本征态就和
\(H_0\)
的相同, 新的本征值就是
\(E_1 + W_{11}\)
和
\(E_2 + W_{22}\)).
- 为简单起见, 我们从现在起假设矩阵 \((W)\) 纯粹是非对角的, 也就是说, \(W_{11} = W_{22} = 0\).
- 现在我们讨论耦合
\(W\)
对于能量
\(E_+\)
及
\(E_-\)
(作为
\(E_1\)
和
\(E_2\)
的函数) 的影响. 为此, 我们假设
\(W_{12}\)
是固定的, 并引入下列两个参量
- \[E_m = \frac{1}{2} (E_1 + E_2)\]
- \[△ = \frac{1}{2} (E_1 - E_2)\]
- 立即可以看出, \(E_+\) 及 \(E_-\) 随 \(E_m\) 的变化是非常简单的: 改变 \(E_m\) 就归结为移动能量轴的原点. 此外, 可以证实矢量 \(\mid ψ_+ \rangle\) 和 \(\mid ψ_- \rangle\) 并不依赖于 \(E_m\). 于是, 我们需要注意的仅仅是参量 \(△\) 的影响.
- 我们将四个能量 \(E_1\), \(E_2\), \(E_+\) 和 \(E_-\) 作为 \(△\) 的函数画在同一张图上. 对于 \(E_1\) 和 \(E_2\), 我们得到两条直线, 其斜率为 \(+1\) 和 \(-1\).
- 进一步有:
- \[E_+ = E_m + \sqrt{△^2 + \mid W_{12} \mid^2}\]
- \[E_- = E_m - \sqrt{△^2 + \mid W_{12} \mid^2}\]
- 当 \(△\) 变化时, \(E_{+}\) 和 \(E_{-}\) 的值描绘出相对于坐标轴为对称的双曲线的两支, 它们的渐近线就是对应于未微扰能级的两条直线, 它们的顶点间的距离为 \(2 \mid W_{12} \mid\).
Page 411, 参考图
- 此外, 我们还可以看出, 不论
\(△\)
的值如何, 恒有:
- \[\mid E_{+} - E_{-} \mid > \mid E_1 - E_2 \mid\]
- 于是我们得到在物理学其他领域中 (例如在电路理论中) 常见的一个规律: 耦合使固有频率互相远离.
当两个未微扰能级的能量相等时, 耦合的影响尤其重要.
动态方面: 体系在两个未微扰态之间的振荡
-
对于弱耦合 \((E_1 - E_2 \gg \mid W_{12} \mid)\), 微扰态与未微扰态的差异不大. 实际上, 除了总的相位因子 \(e^{-i φ/2}\) 以外, \(\mid ψ_+ \rangle\) 几乎等于 \(\mid φ_1 \rangle\), 因为态 \(\mid φ_2 \rangle\) 的微小贡献仅引起轻微的修正.
- 反之, 对于强耦合 \((E_1 - E_2 \ll \mid W_{12} \mid)\), 态 \(\mid ψ_+ \rangle\) 和 \(\mid ψ_- \rangle\) 完全不同于态 \(\mid φ_1 \rangle\) 和 \(\mid φ_2 \rangle\); 这是因为, 前者是后者的线性叠加, 其系数具有相同的模.
- 于是, 我们看到, 与能量的情况相似, 在两个未微扰态的交点附近, 本征态受到重大修正.
一维谐振子
- 这种体系的最简单的例子, 就是处在下述势场中的一个质量为
\(m\)
的粒子, 此势场只依赖于
\(x\),
其形式为:
- \[V(x) = \frac{1}{2} k x^2\]
- (\(k\) 是一个正的实常数). 粒子受到的恢复力为:
- \[F_x = - \frac{dV}{dx} = - kx\]
- 这个力正比于粒子与平面 \(x = 0\) 之间的距离 \(x\), 在这个力的作用下, 粒子总是被拉向平面 \(x = 0\) (\(V(x)\) 为极小值的位置, 对应于稳定平衡位置). 我们知道, 在经典力学中, 此粒子的运动在 \(Ox\) 轴上的投影是围绕着点 \(x = 0\) 的正弦型振荡, 其角频率为:
- \[ω = \sqrt{\frac{k}{m}}\]
- 在这一章里还要引入算符 \(a^{\dagger}\) 和 \(a\), 特地用它们来描述从能级 \(n\) 到能级 \(n + 1\) 或能级 \(n - 1\) 的过渡. 这两个算符分别叫做产生算符, 湮没算符, 是量子统计力学和量子场论中经常用到的算符.
经典力学中的谐振子
- 粒子的运动遵从下列的动力学方程:
- \[m \frac{d^2 x}{dt^2} = - \frac{dV}{dx} = -kx\]
- 这个方程的通解具有下列形式:
- \[x = x_M \cos (ωt - φ)\]
- 积分常数
\(x_M\)
和
\(φ\)
由运动的初始条件所确定. 由此可见, 粒子在原点
\(O\)
附近作
正弦型振荡, 振幅是 \(x_M\), 角频率是 \(ω\).
- 粒子的动能为
- \[T = \frac{1}{2} m (\frac{dx}{dt})^2 = \frac{p^2}{2m}\]
- 其中 \(p = m \frac{dx}{dt}\) 是粒子的动量. 因而总能量为:
- \[E = T + V = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} m ω^2 x^2\]
- 进一步得到:
- \[E = \frac{1}{2} m ω^2 x_M^2\]
- 由此可见, 粒子的能量与时间无关 (这是保守体系的普遍性质); 而且由于 \(x_M\) 可取任意值, 故能量可以为任意正数或零.
- 我们来考虑任意的势
\(V(x)\),
它的极小值位于
\(x = x_0\)
处. 将函数
\(V(x)\)
在点
\(x_0\)
附近展为泰勒级数.
- 因为点 \(x_0\) 对应于 \(V(x)\) 的极小值, 故 \((x - x_0)\) 的一次项等于零.
- 点 \(x = x_0\) 就是粒子的稳定平衡位置. 这是因为, 在 \(x = x_0\) 处, \(F_x\) 为零; 对于充分小的 \((x - x_0)\), \(F_x\) 与 \((x - x_0)\) 是反号的.
- 如果粒子在 \(x_0\) 附近运动的振幅足够小, 以致式中的 \((x - x_0)^3\) 项 (从而, 式中与之对应的 \((x - x_0)^2\) 项) 与前面的项相较可以忽略. 那么, 我们要处理的就是一个谐振子的问题了.
- 由于运动的振幅始终很小, 故谐振子的能量将是很小的.
- 如果能量
\(E\)
的值较大, 那么粒子将在两个极端位置
\(x_1\)
和
\(x_2\)
之间进行
周期性的但非正弦型的运动. 如果将表示粒子位置的函数 \(x(t)\) 展为傅里叶级数, 我们得到的将不是一个而是一系列正弦项, 各项的频率都是前项频率的倍数.- 这时我们称这体系为
非谐性振子.
- 这时我们称这体系为
哈密顿算符的一般性质
- 在量子力学中, 经典量
\(x\)
和
\(p\)
应分别用观察算符
\(X\)
和
\(P\)
来代替, 它们满足关系:
- \[[X, P] = i \hbar\]
- 于是, 我们很容易得到体系的哈密顿算符:
- \[H = \frac{P^2}{2m} + \frac{1}{2} m ω^2 X^2\]
- 由于 \(H\) 与时间无关 (保守体系), 对谐振子的量子研究便归结为求解本征值方程:
- \[H \mid φ \rangle = E \mid φ \rangle\]
- 在 \(\{ \mid x \rangle \}\) 表象中, 此式可以写作:
- \[[ - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + \frac{1}{2} m ω^2 x^2 ] φ(x) = E φ(x)\]
- 在详细研究之前, 我们先指出可从势函数得到的一些重要性质:
- (i) 哈密顿算符的本征值都是正的. 事实上, 我们可以普遍证明, 如果势函数 \(V(x)\) 具有下界, 则哈密顿算符 \(H = \frac{P^2}{2m} + V(x)\) 的各本征值都大于 \(V(x)\) 的极小值, 即若 \(V(x) ≥ V_m\), 则 \(E > V_m\), 对于现在所要讨论的谐振子, 我们已经选择能量的原点使得 \(V_m\) 为零.
- (ii) \(H\) 的本征函数具有确定的宇称. 这是因为势 \(V(x)\) 为一个偶函数: \(V(-x) = V(x)\). 因此, 我们可以在具有确定宇称的那些函数中去寻找 \(H\) 在 \(\{ \mid x \rangle \}\) 表象中的本征函数 (事实上, 我们将会看到, \(H\) 的本征值都是非简并的; 因而, 定态波函数一定或为偶函数或为奇函数).
- (iii) 能谱是离散的. 实际上, 不论总能量的数值如何, 粒子的经典运动总是局限在 \(Ox\) 轴上的一个有界区间内, 我们可以证明, 在这种情况下, 哈密顿算符的本征值构成一个离散集合.
哈密顿算符的本征值
谱的确定
本征值的简并度
哈密顿算符的本征态
与定态相联系的波函数
讨论
基态的性质
平均值随时间变化
量子力学中角动量的普遍性质
角动量所特有的对易关系式
轨道角动量
推广: 角动量的定义
角动量的普遍理论
应用于轨道角动量
中心势场中的粒子; 氢原子
中心势场中粒子的定态
变量的分离
中心势场中粒子的定态
在有相互作用的双粒子体系中质心的运动和相对运动
经典力学中的质心运动和相对运动
量子力学中变量的分离
氢原子
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