量子计算与量子信息 - 计算

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量子电路模型计算总结

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量子傅里叶变换及其应用

量子傅里叶变换

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应用: 求阶与因子分解问题

量子傅里叶变换的一般应用

量子搜索算法

量子搜索算法

作为量子模拟的量子搜索

量子计数

NP 完全问题解的加速

无结构数据库的量子搜索

搜索算法的最优性

黑盒算法的极限

量子计算机: 物理实现

这一章比较鸡肋~ 物理实现种类多样, 工艺复杂, 对于非从业者, 意义不大. 且在可预见的未来存在很大变数! 估计成书之后, 已经有了些变化~ 但是, 概略性的介绍其实也是有意义的, 浏览下基础理论即可. 所以提前略读了这一章, 做为第一部分阅读 (Part 1) 的收尾!

• 实现量子计算有 4 项基本要求:
  1. 量子比特表示,
  2. 可控酉变换,
  3. 初始量子比特态的制备,
  4. 最终量子比特态的测量.

量子计算的条件

• 量子比特是一些二能级系统, 作为量子计算机最简单的建造单元, 它们为成对的量子态提供了方便的标志和物理实现.
  • 因此, 比如自旋 3/2 粒子的 4 个态, \(\mid m = + 3/2 \rangle\), \(\mid m = + 1/2 \rangle\), \(\mid m = - 1/2 \rangle\), \(\mid m = - 3/2 \rangle\), 可以用来代表两个量子比特.
• 以计算作为目的, 要实现的关键是可访问态的集合应该是有限的. 沿一维直线运动粒子的位置 x 通常不适合作为计算态的集合, 尽管粒子可能处于量子态 \(\mid x \rangle\), 乃至叠加态 \(\sum_{x} c_x \mid x \rangle\).
  • 这是由于 x 处于概率上的连续区域, 且具有无限大小的希尔伯特空间, 因此无噪声时其信息容量也是无限的.
  • 比如说, 在完美世界中, 莎士比亚全集可以存储到无限位的二进制小数中 \(x = 0.010111011001...\) (并读出).
  • 这显然是不现实的, 现实是噪声的存在把可分态数目降为有限个.
• 实际上, 通常需要把某些对称性献给态空间的有限性, 以便把退相干降到最小.
  • 比如说, 一个自旋 1/2 粒子的希尔伯特空间由 \(\mid \uparrow \rangle\) 和 \(\mid \downarrow \rangle\) 两个态张成;
  • 自旋态不能处于此二维空间之外, 当被很好地孤立之后, 就成为一个近乎完美的量子比特.

量子计算机的实现

具体的量子计算机实现粗略的浏览了下~ 介绍的也比较概括.

• 量子谐振子
• F-P 腔
• Jaynes-Cummings model

• 偏振

• 一般来说, 对一个物理系统而言能完成一个酉变换 U 的充要条件很简单, 即为系统的时间演化算子 \(T = exp(-i \mathbf{H} t)\), 由哈密顿量 H 来定义, 具有与 U 近乎相同的本征值谱.

也许最重要的, 是腔 QED 开启了对量子信息处理意义非凡的, 通向附加相互作用宝藏的大门.
我们也看到, 如何从量子信息的视角 -- 限定于单光子与单原子 -- 使我们能用最基本的腔
QED 相互作用 Jaynes-Cummings 哈密顿量, 构建出电磁波与物质相互作用的一些最基本的物理.

当离子具有自旋时, 它拥有磁矩, 就像是一个复合粒子, 其中有一些沿着环路运动的电流.
但是电子是基本粒子, 且已知组成原子核的夸克不会通过轨道运动产生自旋.
不仅如此, 一个粒子的自旋只能是整数或半整数.
不管怎样, 自旋是很真实的, 而且是日常物理学中的重要组分.

整数自旋粒子 -- 被称为玻色子 -- 包括光子.
它无静止质量, 某种程度上是特殊的, 只有自旋 ±1 的组分 (而没有零自旋),
对应于两个熟知的偏振正交态.

半整数自旋粒子, 被称为费米子, 包括电子, 质子和中子.
这些是 "自旋 1/2" 粒子, 它们的自旋分量要么是 +1/2 (自旋 "向上"),
要么是 -1/2 (自旋 "向下"). 当我们提到 "自旋", 通常是指自旋 1/2 粒子.

诸如位置和动量的连续变量, 以及其他无限的希尔伯特空间系统, 必须被人为地截断以便代表量子比特.
与它们不同, 自旋态为量子信息提供了一个良好的表示, 因为它们天然地存在有限的态空间.

• 声子

附录

B. 群论

• 隐藏子群问题

• 元素 \(g \in G\) 的阶是使得 \(g^r\) (g 自乘 r 次) 等于单位元 e 的最小正整数.
• 若 H 是 G 的子集, 且与 G 在相同乘法运算下构成群, 则称 H 是群 G 的子群.

• 拉格朗日定理 如果 H 是一个有限群 G 的子群, 那么 |H| 可以整除 |G|.

• 如果 \(g_1\) 和 \(g_2\) 是 G 中的元素, 那么 \(g_2\) 关于 \(g_1\) 的共轭为元素 \(g_1^{-1} g_2 g_1\).
  • 若 H 是 G 的子群, 且 \(g^{-1} H g = H\) 对所有 \(g \in G\) 成立, 则称其为正规子群.
  • 群 G 中的元素 x 的共轭类 \(G_x\), 定义为 \(G_x ≡ \{ g^{-1} x g | g \in G \}\).

• 生成元

• 循环群 G 包含一个元素 a, 使得任意元素 \(g \in G\) 能够表示为 \(a^n\), 其中 n 为某个整数.
  • a 称为 G 的生成元, 我们记 \(G = \langle a \rangle\).
  • 由 \(g \in G\) 生成的循环子群 H 是指由 \(\{ e, g, g^2, ..., g^{r-1} \}\) 构成的群, 其中 r 为 g 的阶. 即 \(H = \langle H \rangle\).
• 若 H 是 G 的一个子群, 由 g 所确定的 H 在 G 中的左陪集定义为集合 \(gH ≡ \{ gh | h \in H \}\).
  • 右陪集定义类似.
  • 陪集是左陪集还是右陪集可以从上下文看出.
  • 对像 \(\mathbb{Z}_n\) 的群运算为加法的群, 习惯上把子群 H 对 \(g \in \mathbb{Z}_n\) 的陪集写成 \(g + H\) 的形式.
  • 陪集 \(gH\) 的一个特定的元素被称为该陪集的代表元.

• 令 \(M_n\) 表示 \(n \times n\) 复矩阵的集合. 那么一个矩阵群是 \(M_n\) 的集合, 它在矩阵乘法下满足群的性质. 我们记这类群的单位元为 I. 一个群 G 的表示 \(ρ\) 定义为一个函数, 该函数将 G 映射到一个矩阵群, 且保持群的乘法运算.
  • 特别地, \(g \in G\) 被映射到 \(ρ(g) \in M_n\), 使得 \(g_1 g_2 = g_3\) 蕴含 \(ρ(g_1) ρ(g_2) = ρ(g_3)\).
  • 如果映射是多对一的, 则称之为同态;
  • 如果是一对一的, 则称之为同构.

• 一个映射到 \(M_n\) 的表示 \(ρ\) 具有维数 \(d_n = n\). 我们定义的表示也称为矩阵表示, 还有更一般的表示, 但是对我们来说矩阵表示足够用了.

• 矩阵群
  • 表示
  • 特征
• 有限群上的傅立叶变换

最后 4 页的信息量蛮大~

D. 数论