本书略读 (尤其前三章之后), 视为补充材料~ (不喜欢本书的公式符号, 并且第三版会重写公式符号和部分章节.) 不过不得不说, 本书的物理直觉确实不错! (仅仅前三章) 但凡能优化下公式符号, 我都觉得比格里菲斯优秀~ (仅仅前三章)

归一化

我们关心的是一个由可观测量 A 的 N 个本征右矢所张成的 N 维矢量空间.
厄米算符 A 的本征值均为实数, A 的相应于不同本征值的本征矢是正交的.

用自旋 1/2 作为引例很合适~

格里菲斯在他的书中点评了本书从自旋 1/2 开始这件事; 表明了不喜欢, 哈哈, 但我喜欢!

测量, 可观测量和不确定性关系

因此, 测量常常使状态改变. 唯一的例外是,
当该状态已经是被测量的可观测量的某个本征态时.

在本书, 相容的概念出现的较早~

相容的可观测量具有共同本征右矢.
不管是否有简并存在, A 测量与 B 测量互不干涉,
我们可以认为术语相容是恰当的.

基的改变

以基矢的变化, 看待演化算符~

U 算符的矩阵元由旧基左矢和新基右矢的内积构成.

这句话的翻译, 别有一番滑稽~

位置, 动量和平移

既然能够考虑这样的一个共同本征右矢,
我们就隐含地假定了位置矢量的三个分量能在任意精度下同时测量.

相容性

施温格讲授量子力学时曾经谈道:
"...对于一些基本性质, 我们将仅仅从经典物理中借用一些名字."
在目前的情况下, 我们希望从经典力学借用如下概念:
动量是一个无穷小平移的生成元.

无穷小平移: 一些共同的思想, 在不同的地方遇到, 总会有一种动容!

自旋角动量分量的对易关系可以使用转动性质推导出来,
就像使用平移性质推导出正则对易关系一样.

量子动力学

我们首先应当记住, 时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符.
特别指出, 时间不是前一章所说的可观测量.
像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的.
具有讽刺意味的是, 在波动力学发展的历程中,
德布罗意也好, 薛定谔也罢, 都受到过能量与时间为一方,
动量与位置 (空间坐标) 为另一方的二者之间协变类比的启发.
然而, 我们现在来看量子力学的最终形式时,
已见不到在时间与空间之间进行对称处理的踪迹.
场的相对论量子理论确实平等地处理了时间与空间坐标,
但它是基于把位置从可观测量的地位降低到只是一个参量的情况下做到这一点的.

时间演化和薛定谔方程

情况 1. 哈密顿量算符不依赖时间.
情况 2. 哈密顿量算符与时间相关, 但不同时间的 H 对易.
情况 3. 不同时刻的 H 不对易.
量子力学的基本任务被简化为寻找一个与 H 对易的可观测量并计算它的本征值.
一旦完成了这一步, 我们就可以用那个可观测量的本征右矢展开初始右矢,
然后只要用时间演化算符去作用即可.
最后的这一步只不过意味着, 改变每个展开系数的相位.

薛定谔绘景和海森堡绘景

一个通常的错误概念是随着时间的推移, 所有的右矢在薛定谔绘景中都是运动的,
而在海森堡绘景中都是固定的. 正如我们后面将阐明的, 情况并非如此.
重要之处在于区分态右矢的行为与基右矢的行为.
我们可以形象化地说, 不管我们是把态右矢逆时针方向转动还是把基右矢顺时针转动,
态右矢与基右矢之间夹角的余弦总是相同的.
这些考虑同样也适用于显示连续谱的基右矢, 特别是, 波函数可以看作是
(1) 固定的位置本征左矢与运动的态右矢 (薛定谔绘景) 的内积,
或者是
(2) 运动的位置本征左矢与固定的态右矢 (海森堡绘景) 的内积.
        薛定谔绘景  海森堡绘景
态右矢     运动的     固定的
可观测量   固定的     运动的
基右矢     固定的     反向运动的

传播子和费曼路径积分

经典力学与量子力学之间的基本差别现在应当清晰了. 在经典力学中,
在 xt 平面上有一条确定的路径与粒子的运动联系在一起,
而相比之下, 在量子力学中所有可能的路径都不可避免地起作用,
包括那些与经典路径没有任何共同之处的路径.
费曼基于路径积分的时空方法对于处理非相对论量子力学的实际问题并不太方便.
甚至对于简谐振子, 要明显地求出有关的路径积分也是相当麻烦的.
然而, 他的做法从概念观点上看是十分令人满意的.
通过把一组必然的合乎情理的要求强加到一个物理理论中,
我们必然被引导到一种等价于通常量子力学公式表示的形式. 这使得我们想知道,
是否完全可能构建一个合乎情理的可选理论使微观现象的解释同样的成功.

位势和规范变换

由于在一个粒子运动轨迹的方程中不出现质量,
在经典力学中引力经常称为纯几何理论.
在量子力学中情况全然不同.
波函数只不过是用位置本征右矢展开态右矢的展开系数.

回过头来再看这句话, 竟别有一番感触~ (2024-12-07, 周六, 夜) 此时, 已经有了对量子力学的一个认知, 当然是浅薄的, 但也隐隐约约有了个体系. 不过, 更多的更是面对庞大知识体量的敬畏 (无力感). 但是, 这一路, 收获, 值得! 带来的思考与认知绝不仅限于量子力学. 同样是看待机器学习的内核, 理解计算理论的方式, 认识这个世界的方法~ 道阻且长, 我自不辍.

角动量理论

本书中自始至终沿用的约定是一个转动算符影响物理系统本身, 而坐标轴保持不变.

自旋 1/2 系统和有限转动

泡利二分量形式: 利用泡利在 1926 年引入的二分量旋量形式,
可以很方便地处理自旋 1/2 系统的态右矢.

SO(3), SU(2) 和欧拉转动

密度算符和纯系综与混合系综

在处理直接来自热炉子的银原子所遇到的情况可以与一个毕业班中
50% 的毕业生是男生, 其余的 50% 是女生的情况相比.
当我们随机地挑选出一个学生时, 这位特定的学生是男生 (或女生) 的概率是 0.5.
有谁听说过一个学生可视为男生与女生以一种特定的相位关系线性相关叠加吗?

这个例子很幽默~

直接从炉子飞出来的银原子束流是一个完全随机系综的例子;
该束流被称为非极化, 因为其自旋取向没有优势方向. 相比之下,
通过了一个有选择的斯特恩-盖拉赫类测量的束流是一个纯系综的例子;
该束流称为极化束, 因为这个系综的所有成员由一个单一的共同右矢所表征,
它描述自旋指向某确定方向的一个态.
密度算符有两个性质值得记住.
首先, 密度算符是厄米的,
第二, 密度算符满足归一化条件.

角动量

量子力学中的对称性

在这样的位势中轨道的经典问题, 即开普勒问题,
当然在量子力学之前很早就已经充分研究过了. 它的解导致椭圆轨道都是闭合的,
这一事实意味着应当存在某个保持椭圆主轴取向不变的 (矢量) 运动常数.
即使对于 1/r 只有一个小的偏离也会导致这个轴的进动,
所以我们预期, 要找的这个运动常数事实上是 1/r 势所特有的.
这个新的对称性, 被称为 SO(4), 完全类似于研究过的 SO(3) 对称性.
这就是说, SO(4) 是四维空间的转动算符群.
等价地, 它是行列式为 1 的 4×4 正交矩阵群.
逐步建立起导致楞次矢量作为一个运动常数的这个对称性的性质,
那时我们将看到这些性质正是由 SO(4) 预期的.
术语时间反演是一个误称, 可以更合适地用术语运动反演来表征.

近似方法

  海森堡绘景 相互作用绘景 薛定谔绘景
态右矢 无变化 由 \(V_1\) 确定的演化 由 \(H\) 确定的演化
可观测量 由 \(H\) 确定的演化 由 \(H_0\) 确定的演化 无变化

全同粒子

在量子力学中, 全同粒子是真正无法分辨的.
这是因为对每个粒子, 都不能规定一个以上的对易可观测量完备集;
特别是, 无法标记粒子. 我们也不能跟踪径迹,
因为在每一瞬间都将需要位置的测量, 而这必然会扰动这个系统.
甚至更为引人注目的是, 粒子自旋和它所遵从的统计规律之间存在着一种联系:
半奇数自旋的粒子是费米子; 整数自旋的粒子是玻色子.
这里, 粒子可以是复合粒子.
据我们所知, 这个自旋-统计联系是自然界的一个精确的规律, 无任何已知的例外.
在非相对论量子力学的框架下, 这个原理必须作为经验的假设.
然而, 在相对论量子理论中,
可证明半奇数自旋粒子不可能是玻色子, 而整数自旋粒子不可能是费米子.
下面需谨慎. 对于态矢量的福克空间 (或 "占有数" 空间)
记号自身做了一个重要的假设, 即确实存在一组无相互作用态的基.
其实, 粒子间的相互作用原则上会影响它们的基本性质.
二次量子化的术语显然是在早年企图把量子力学扩展到量子场论时创造出来的.
这个想法是把波函数转换成算符, 它们转而服从其自身的正则量子化规则.
因此, 量子化 "第二" 次被强迫进行了.
麦克斯韦方程形成自由空间非相互作用电场和磁场的完备的经典描述.
把量子力学应用到这一描述是一件很困难的事, 但是可用几种方法做到.
在此, 基于在本章建立起来的多粒子形式体系,
我们再次采用 "凭直觉" 的方法于这个问题.
当然, 粒子是光子, 它的产生和湮灭算符遵从玻色-爱因斯坦对易关系.

由麦克斯韦方程的简要小结开始, 建立我们的记号和它们基于电磁波的解.
接着, 我们推导能量,
并将其与用玻色子产生和湮灭算符构建的哈密顿量的本征值联系起来.
我们现在面对着一个重要问题.
光子是玻色子还是费米子? 即光子的 "自旋" 是什么?
为了知道产生和湮灭算符服从哪类代数, 我们需要知道它是整数还是半奇数.
光子场的完全相对论处理证明光子的自旋为 1, 因此它是一个玻色子,
但当面对实际情况时有足够的准备吗? 是的, 我们已经有了足够的准备.

相对论量子力学

尽管这个密度是守恒的, 但它不是正定的!
这在相对论量子力学的发展中曾是一个极大的问题,
因为它使波函数的标准概率解释成为不可能了.
最终, 一个自洽的物理解释被找到了.
不过, 在讨论这个解释之前,
需要在相对论框架的范围内考虑电磁相互作用效应.
确实, 任何自旋自由度的缺失, 对氢原子的精细结构给出了错误的答案,
在相对论量子力学的发展过程中克莱因-戈尔登方程注定要被撇在一边.
这些, 以及 (当时) 还没有人曾看到过任何反粒子证据的事实,
意味着有太多的事情需要被编造出来以解释负能解所有的古怪特性.
创建一个在空间和时间的导数是线性的波动方程吸引了狄拉克,
激起他的信仰飞跃, 给我们指出了一个富有成效的方向.

克利福德代数出现; 参看 再读 通向实在之路 彭罗斯 (上).

为了解释负能解, 狄拉克使用了泡利不相容原理.
人们猜想有一个充满了电子的 "负能海".
(它代表了一个无穷大能量和无穷大电荷的 "背景",
但可以想象, 我们对这两者都不会敏感.)
由于这已填满了所有的负能态, 不可能再允许正能电子掉进负能态.
然而一个高能光子有可能把一个电子从海中提升到正能,
在那里它能被观测到. 在海中遗留的 "空穴" 也将可能被观测到,
它作为一个实体具有一个电子所有的性质, 但携带正电荷.

本书挂了樱井纯的名, 但其实就是前三章, 且保留了樱井纯的符号风格~ 所以本书其实前后割裂. 好在新的一版移除了樱井纯之名, 重新编写~