本书略读 (尤其前三章之后), 视为补充材料~ (不喜欢本书的公式符号) 不过不得不说, 本书的物理直觉确实不错! (尤其前三章) 但凡能优化下公式符号, 我都觉得本书妥妥的比格里菲斯优秀~
- 物理假定之一是
\(\mid α \rangle\)
和
\(c \mid α \rangle\)
在
\(c ≠ 0\)
时表示同一个物理态. 换句话说, 矢量空间中只有方向是有意义的.
- 数学家更喜欢说, 我们在这里处理的是射线而不是矢量.
即, 都是归一的
我们关心的是一个由可观测量 A 的 N 个本征右矢所张成的 N 维矢量空间.
厄米算符 A 的本征值均为实数, A 的相应于不同本征值的本征矢是正交的.
用自旋 1/2 作为引例很合适~
格里菲斯在他的书中点评了本书从自旋 1/2 开始这件事; 表明了不喜欢, 哈哈~ (但我喜欢)
- 在构造角动量算符的矩阵表示时,
惯用的做法是按照角动量分量减小的顺序标记列 (行) 指标.
这就是说, 排在第一位的是对应于最大的角动量分量,
第二位的是对应于次最大的, 等等. 在特定的自旋
\(\frac{1}{2}\)
系统中, 有
- \(\mid + \rangle \dot= \binom{1}{0}\), \(\mid - \rangle \dot= \binom{0}{1}\),
- \(S_z \dot= \frac{\hbar}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\), \(S_+ \dot= \hbar \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\), \(S_- \dot= \hbar \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).
- 在讨论泡利的二分量形式时, 将用到这些显式表示式.
测量, 可观测量和不确定性关系
因此, 测量常常使状态改变. 唯一的例外是,
当该状态已经是被测量的可观测量的某个本征态时.
- 当相应的算符对易时, 即
\([A, B] = 0\),
可观测量
\(A\)
和
\(B\)
被定义为
相容的, 而当 \([A, B] ≠ 0\) 时, \(A\) 和 \(B\) 被定义为不相容的.
在本书,
相容的概念出现的较早~
相容的可观测量具有共同本征右矢.
不管是否有简并存在, A 测量与 B 测量互不干涉,
我们可以认为术语相容是恰当的.
基的改变
以基矢的变化, 看待演化算符~
U 算符的矩阵元由旧基左矢和新基右矢的内积构成.
- 只要用方矩阵
\(U^{\dagger}\)
作用在老基中的列矩阵上, 即可得到新基中的列矩阵
- \[(新) = (U^{\dagger}) (老)\]
这句话的翻译, 别有一番滑稽~
- 定理 考虑由
\(U\)
算符联系着的两组正交归一基
\(\{ \mid a' \rangle \}\)
和
\(\{ \mid b' \rangle \}\).
知道了
\(U\),
我们可以构造
\(A\)
的一个
幺正变换, \(UAU^{-1}\), 则称 \(A\) 和 \(UAU^{-1}\) 为幺正等价可观测量. \(A\) 的本征值方程,- \(A \mid a^{(l)} \rangle = a^{(l)} \mid a^{(l)} \rangle\),
- 显然意味着
- \(UAU^{-1}U \mid a^{(l)} \rangle = a^{(l)} U \mid a^{(l)} \rangle\).
- 但是该式可以改写为
- \((UAU^{-1}) \mid b^{(l)} \rangle = a^{(l)} \mid b^{(l)} \rangle\).
- 这个看似简单的结果是相当深奥的. 它告诉我们, 这些 \(\mid b' \rangle\) 是 \(UAU^{-1}\) 的本征右矢, 它们有着与 \(A\) 的本征值完全相同的本征值. 换言之, 幺正等价可观测量具有全同的谱.
位置, 动量和平移
既然能够考虑这样的一个共同本征右矢,
我们就隐含地假定了位置矢量的三个分量能在任意精度下同时测量.
相容性
施温格讲授量子力学时曾经谈道:
"...对于一些基本性质, 我们将仅仅从经典物理中借用一些名字."
在目前的情况下, 我们希望从经典力学借用如下概念:
动量是一个无穷小平移的生成元.
无穷小平移: 一些共同的思想, 在不同的地方遇到, 总会有一种动容!
- 我们总结一下通过研究平移的性质导出的对易关系
- \([x_i, x_j] = 0\),
- \([p_i, p_j] = 0\),
- \([x_i, p_j] = i \hbar δ_{ij}\).
- 这些关系构成了量子力学的基石. 在狄拉克的书中,
他把它们称之为
基本的量子条件. 通常, 它们以正则对易关系或基本对易关系闻名于世.
自旋角动量分量的对易关系可以使用转动性质推导出来,
就像使用平移性质推导出正则对易关系一样.
量子动力学
我们首先应当记住, 时间在量子力学中只是一个参量而不是一个算符.
特别指出, 时间不是前一章所说的可观测量. 像谈论位置算符一样谈论时间算符是无意义的.
具有讽刺意味的是, 在波动力学发展的历程中, 德布罗意也好, 薛定谔也罢,
都受到过能量与时间为一方, 动量与位置 (空间坐标) 为另一方的二者之间协变类比的启发.
然而, 我们现在来看量子力学的最终形式时, 已见不到在时间与空间之间进行对称处理的踪迹.
场的相对论量子理论确实平等地处理了时间与空间坐标,
但它是基于把位置从可观测量的地位降低到只是一个参量的情况下做到这一点的.
时间演化和薛定谔方程
情况 1. 哈密顿量算符不依赖时间.
情况 2. 哈密顿量算符与时间相关, 但不同时间的 H 对易.
情况 3. 不同时刻的 H 不对易.
- 如果初始时系统是
\(A\)
和
\(H\)
的一个共同本征态, 它在所有的时刻都将保持如此. 最多可能发生的是相位的调制, 即
\(\exp(-i E_{a'} t / \hbar)\).
- 在这个意义上说, 一个与
\(H\)
相容的可观测量是一个
运动常数. 当讨论海森堡运动方程时, 我们将再次遇到这种联系的不同形式.
- 在这个意义上说, 一个与
\(H\)
相容的可观测量是一个
量子力学的基本任务被简化为寻找一个与 H 对易的可观测量并计算它的本征值.
一旦完成了这一步, 我们就可以用那个可观测量的本征右矢展开初始右矢,
然后只要用时间演化算符去作用即可.
最后的这一步只不过意味着, 改变每个展开系数的相位.
- 总之, 作为时间演化的结果, 一个物理系统的态右矢在量级为
\(\hbar / △E\)
的一段时间间隔之后, 不再保持它的原始形式.
在文献中, 这一点经常被说成阐明了
时间-能量不确定性关系- \(△t △E \simeq \hbar\).
- 然而, 这个时间-能量不确定性关系与先前讨论的, 两个不相容的可观测量间的不确定性关系本质非常不同.
薛定谔绘景和海森堡绘景
一个通常的错误概念是随着时间的推移, 所有的右矢在薛定谔绘景中都是运动的,
而在海森堡绘景中都是固定的. 正如我们后面将阐明的, 情况并非如此.
重要之处在于区分态右矢的行为与基右矢的行为.
我们可以形象化地说, 不管我们是把态右矢逆时针方向转动还是把基右矢顺时针转动,
态右矢与基右矢之间夹角的余弦总是相同的. 这些考虑同样也适用于显示连续谱的基右矢,
特别是, 波函数可以看作是 (1) 固定的位置本征左矢与运动的态右矢 (薛定谔绘景) 的内积,
或者是 (2) 运动的位置本征左矢与固定的态右矢 (海森堡绘景) 的内积.
薛定谔绘景 海森堡绘景
态右矢 运动的 固定的
可观测量 固定的 运动的
基右矢 固定的 反向运动的
- 历史上薛定谔是最早的一个把
\(|ψ|^2\)
解释为实际物质密度, 或者把
\(e |ψ|^2\)
解释为实际电荷密度的人. 如果我们采纳了这样的观点,
就会把我们引导到某些奇异的结果.
位置测量的一种典型的争论或许会如下所示.
- 原子的一个电子被看作是连续分布的物质充满在原子核周围一个有限的区域; 然而, 当进行了一次测量后, 肯定电子处于某个特殊点上, 这种连续分布的物质突然收缩为一个没有空间延展的类点粒子.
- 把 \(|ψ|^2\) 作为概率密度的较为满意的统计解释首先是由玻恩提出来的.
- 格林函数
传播子和费曼路径积分
- 给定了端点
\((x_1, t_1)\)
和
\((x_N, t_N)\)
的拉格朗日量, 在经典力学中并不去考虑任何连接
\((x_1, t_1)\)
和
\((x_N, t_N)\)
的路径. 相反, 存在一条
唯一的路径对应于经典粒子的实际运动.- 更为普遍的是, 按照哈密顿原理, 这条唯一的路径是使经典拉格朗日量的时间积分定义的作用量取最小值的路径.
经典力学与量子力学之间的基本差别现在应当清晰了. 在经典力学中,
在 xt 平面上有一条确定的路径与粒子的运动联系在一起,
而相比之下, 在量子力学中所有可能的路径都不可避免地起作用,
包括那些与经典路径没有任何共同之处的路径.
- 其中
\(S\)
的变化是由于在保持端点固定情况下路径的略微形变.
这正是由哈密顿原理所决定的经典路径.
现在试着把经典路径做一点小的形变. 得到的
\(S\)
在形变的第一级仍然等于
\(S_{最小}\).
- 这意味着即使 \(\hbar\) 很小, 当我们稍微偏离经典路径时, \(\exp [iS / \hbar]\) 的相位也不会变得太大.
- 作为一个结果, 只要我们停留在经典路径附近, 则相邻路径之间的相干相加就有可能. 在 \(\hbar \to 0\) 的极限下, 主要的贡献一定来自包含经典路径的一条非常狭窄的带子 (或者在更高维时的一根管子).
费曼基于路径积分的时空方法对于处理非相对论量子力学的实际问题并不太方便.
甚至对于简谐振子, 要明显地求出有关的路径积分也是相当麻烦的.
然而, 他的做法从概念观点上看是十分令人满意的.
通过把一组必然的合乎情理的要求强加到一个物理理论中,
我们必然被引导到一种等价于通常量子力学公式表示的形式. 这使得我们想知道,
是否完全可能构建一个合乎情理的可选理论使微观现象的解释同样的成功.
位势和规范变换
由于在一个粒子运动轨迹的方程中不出现质量,
在经典力学中引力经常称为纯几何理论.
在量子力学中情况全然不同.
- 在波动力学形式中, 质量不再相消了, 而是以组合
\(\hbar / m\)
的形式出现. 所以在一个有
\(\hbar\)
出现的问题中, 预期
\(m\)
也会出现.
- 这与哈密顿经典方法形成鲜明的对比, 在那里的 \(m\) 一开始就可以消掉.
- 从薛定谔方程出发, 我们可以导出埃伦费斯特定理. 然而, 在这里既不出现 \(\hbar\), 也不出现 \(m\). 要看到引力的非平凡量子力学效应, 我们必须研究 \(\hbar\) 显式出现的效应, 因此, 我们预期质量也在那里出现, 它与经典力学的纯引力现象相反.
波函数只不过是用位置本征右矢展开态右矢的展开系数.
回过头来再看这句话, 竟别有一番感触~ (2024-12-07, 周六, 夜) 此时, 已经有了对量子力学的一个认知, 当然是浅薄的, 但也隐隐约约有了个体系. 不过, 更多的更是面对庞大知识体量的敬畏 (无力感). 但是, 这一路, 收获, 值得! 带来的思考与认知绝不仅限于量子力学. 同样是看待机器学习的内核, 理解计算理论的方式, 认识这个世界的方法~ 道阻且长, 我自不辍.
角动量理论
本书中自始至终沿用的约定是一个转动算符影响物理系统本身, 而坐标轴保持不变.
-
在本书中, 我们强调并没有把角动量算符定义为 \(x \times p\). 这一点很重要, 因为自旋角动量, 我们的普遍形式也适用于它, 与 \(x_i\) 和 \(p_j\) 毫无关系.
- 一般说来, 当无穷小变换的生成元不对易时, 相应操作的群称为
非阿贝尔群. 三维转动群是非阿贝尔的. 相比之下, 三维平移群是阿贝尔的, 因为即使 \(i ≠ j\), \(p_i\) 和 \(p_j\) 也是对易的. 注意在获得对易关系时, 使用了以下两个概念- \(J_k\) 是绕第 \(k\) 轴转动的生成元.
- 绕不同轴的转动不对易.
- 毫不夸张地说, 对易关系式以一种紧凑的方式归纳了三维转动的一切基本性质.
自旋 1/2 系统和有限转动
泡利二分量形式: 利用泡利在 1926 年引入的二分量旋量形式,
可以很方便地处理自旋 1/2 系统的态右矢.
SO(3), SU(2) 和欧拉转动
- 一个
\(3 \times 3\)
正交矩阵有多少个独立参量呢? 一个实的
\(3 \times 3\)
正交矩阵有
\(9\)
个矩阵元, 但我们有正交性约束
\(R R^T = 1\).
- 它对应于 \(6\) 个独立的方程, 因为乘积 \(R R^T\) 和 \(R^T R\) 相同都是有 \(6\) 个独立元素的对称矩阵.
- 作为结果, \(R\) 中只有 \(3\) (即 \(9 - 6\)) 个独立的数, 同样的数字我们以前用更基本的方法得到过.
- 正交矩阵的所有乘法运算的集合构成一个群. 此时, 满足下列四个要求:
- 任何两个正交矩阵之积是另一个正交矩阵, 它之所以被满足是因为 \((R_1 R_2) (R_1 R_2)^T = R_1 R_2 R_2^T R_1^T = 1\).
- 结合律成立: \(R_1 (R_2 R_3) = (R_1 R_2) R_3\).
- 恒等矩阵 \(1\), 物理上对应没有任何转动, 由下式定义: \(R 1 = 1 R = R\), 它是所有正交矩阵类中的一个成员.
- 逆矩阵 \(R^{-1}\), 物理上对应于相反意义上的转动, 由 \(R R^{-1} = R^{-1} R = 1\) 定义, 也是一个群元.
- 这个群名为
\(SO(3)\),
其中的
\(S\)
代表
特殊, \(O\) 代表正交, \(3\) 代表三维.- 注意, 这里只考虑转动操作, 所以有 \(SO(3)\) 而不是 \(O(3)\) (它可以包括反演操作).
- 最一般的幺正幺模矩阵可以写成
- \(U(a, b) = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}\),
- 其中 \(a\) 和 \(b\) 都是复数, 满足幺模条件 \(|a|^2 + |b|^2 = 1\).
- 可以很容易地建立上式的幺正性质:
- \[U(a, b)^{\dagger} U(a, b) = \begin{pmatrix} a^{*} & -b \\ b^{*} & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix} = 1\]
- 很容易看到, 表征一个自旋 \(\frac{1}{2}\) 系统转动的 \(2 \times 2\) 矩阵可以写成 \(U(a, b)\). 我们确认
- \(Re(a) = \cos(\frac{ϕ}{2})\), \(Im(a) = -n_z \sin(\frac{ϕ}{2})\),
- \(Re(b) = -n_y \sin(\frac{ϕ}{2})\), \(Im(b) = -n_x \sin(\frac{ϕ}{2})\),
- 由此, 幺模性质立即可得. 反过来说, 形为最普遍的幺正幺模矩阵可以解释为表示一个转动.
- 无需借助转动来解释幺正幺模矩阵,
就可以直接检验幺正幺模矩阵乘法运算的群性质. 特别注意到
- \(U(a_1, b_1) U(a_2, b_2) = U(a_1 a_2 - b_1 b_2^{*}, a_1 b_2 + a_2^{*} b_1)\),
- 其中乘积矩阵的幺模条件是
- \(\mid a_1 a_2 - b_1 b_2^{*} \mid^2 + \mid a_1 b_2 + a_2^{*} b_1 \mid^2 = 1\).
- 对于 \(U\) 的逆, 我们有
- \(U^{-1}(a, b) = U(a^{*}, -b)\).
- 这个群常称
\(SU(2)\)
群, 其中的
\(S\)
代表
特殊, \(U\) 代表幺正, \(2\) 代表维数为 \(2\). - 相比之下, 由一般的 \(2 \times 2\) 幺正矩阵 (不必受幺模的限制) 的乘法定义的群称为 \(U(2)\) 群. 最普遍的 \(2\) 维幺正矩阵有 \(4\) 个独立参量, 可以写成 \(e^{iγ}\) (\(γ\) 为实数) 乘以一个幺正幺模矩阵:
- \(U = e^{iγ} \begin{pmatrix} a & b \\ -b^{*} & a^{*} \end{pmatrix}\), \(|a|^2 + |b|^2 = 1\), \(γ^{*} = γ\).
- \(SU(2)\) 称为 \(U(2)\) 的一个子群.
- 欧拉角
密度算符和纯系综与混合系综
在处理直接来自热炉子的银原子所遇到的情况可以与一个毕业班中
50% 的毕业生是男生, 其余的 50% 是女生的情况相比.
当我们随机地挑选出一个学生时, 这位特定的学生是男生 (或女生) 的概率是 0.5.
有谁听说过一个学生可视为男生与女生以一种特定的相位关系线性相关叠加吗?
这个例子很幽默~
直接从炉子飞出来的银原子束流是一个完全随机系综的例子;
该束流被称为非极化, 因为其自旋取向没有优势方向. 相比之下,
通过了一个有选择的斯特恩-盖拉赫类测量的束流是一个纯系综的例子;
该束流称为极化束, 因为这个系综的所有成员由一个单一的共同右矢所表征,
它描述自旋指向某确定方向的一个态.
- 一个完全随机系综和一个纯系综可以看成所谓混合系综的两个极端.
在一个混合系综中, 其成员的某个部分, 例如
70%由一个态右矢 \(\mid α \rangle\) 表征, 而其余的30%用 \(\mid β \rangle\) 表征. 在这样的情况下, 该束流称为部分极化.- 这里的
\(\mid α \rangle\)
和
\(\mid β \rangle\)
甚至不需要是正交的, 例如, 有
70%的自旋沿正 \(x\) 方向, 而30%的自旋沿负 \(z\) 方向.
- 这里的
\(\mid α \rangle\)
和
\(\mid β \rangle\)
甚至不需要是正交的, 例如, 有
- 注意, 概率概念是如何进来两次的:
- 第一次是在 \(A\) 的一个本征态 \(\mid a' \rangle\) 中找到态 \(\mid a^{(i)} \rangle\) 的量子力学概率 \(\mid \langle a' | a^{(i)} \rangle \mid^2\),
- 而第二次是在系综中找到一个由 \(\mid a^{(i)} \rangle\) 表征的量子力学态的概率因子.
密度算符有两个性质值得记住.
首先, 密度算符是厄米的,
第二, 密度算符满足归一化条件.
轨道角动量
- 通过定义角动量为一个无穷小转动的生成元引入了角动量的概念. 当自旋角动量为零或者可以忽略时, 还有另一种处理角动量问题的方法. 那时, 一个单粒子的角动量 \(J\) 与定义为 \(L = x \times p\) 的轨道角动量是一样的.