若将一个均匀体系虚拟地划分成两部分 A 和 B, 满足关系式
F(A) + F(B) = F(A + B)
的量 F 称为广延量. 能量与熵都是广延量.

这个词被粗鲁地汉译了, 请允许我这里不提它.
Robust (robur, robus), 来自一种 "红" 心的橡木,
故同源词会指一些红色的存在, 试比较 ruby (红宝石) 和 rust (红铁锈).
Robust 作为形容词的意思是象那种树的树皮一样格外坚韧.

黑体辐射研究始于基尔霍夫,
他于 1859 年提出热辐射的基尔霍夫定律,
1860 年给出证明并顺带提出了黑体的概念.

进一步地, 基尔霍夫说 "容易证明, 对于同样温度下相同波长的辐射,
发射能力与吸收能力之比对所有物体是一样的".
基尔霍夫的黑体, 后来会经由普朗克进一步发展而为基尔霍夫-普朗克意义下的黑体,
其不会返还任何落于其上的辐射. 所有来自黑体的辐射都纯粹是其发射的辐射.

强调一句, 黑体的概念除了要求吸收率 A = 1 以外,
还要强调其把所吸收的辐射全部转化成热而非引起化学反应,
轰击出电子或者引发荧光. 黑体还是物质发射能力的极限.
黑体是一个理想概念.

黑体的辐射, 热平衡时空腔的辐射, 以及热平衡时内有发射体的空腔的辐射,
都应该表现出同样的谱特征. 这是黑体辐射所涉及的模型研究的思想基础.
黑体辐射 1859 年被提出不久, 热力学因为熵概念的提出而深入发展,
与此同时电力照明和钢铁工业也迎来了蓬勃发展,
黑体辐射注定会是接下来的研究主题.

任意材料围成的空腔从来都不是黑体.
那么, 空腔里的辐射不是完美的黑体辐射, 这事儿重要吗? 一点也不.
当它不断地给我们带来新物理,
并且新物理在其他地方会以其他方式被证明是正确的时候,
那些错误或者不严谨有什么要紧呢. 物理只在应该正确的地方正确.
一个哪怕错到底的理论, 如果为我们带来了新的, 正确的物理, 它也是有价值的.
它的出现就证明了它的意义.

物理只在应该正确的地方正确.

维恩考察处于热平衡下内有辐射的空腔的绝热膨胀,
空腔缓慢收缩时腔壁反射能量的变化和频率变化一致,
从而得出是绝热不变量的结论
(这时候, 普朗克常数的引入就是必然了),
进一步地得到了所谓的维恩谱分布公式.

凑固然未必严谨, 但知道往哪里凑很重要. 凑多了就能凑出正确的内容了.

哈哈哈! 赞!

我负责任地说, 英, 德, 法三种文本的物理教科书的风格, 侧重点绝对不一样.
大体说来, 德语的更重视实验细节, 法语的更重视数学思想,
来自不列颠的英文物理书各方面比较均衡得体.

如前所述, 1859 年基尔霍夫确定了黑体辐射的强度只依赖于温度和波长的结论.
基尔霍夫写道 (大意): "当一个等温物体围成的空间没有辐射泄露出去,
则在此空间内部的射线束从各方面来说可看作是由完全黑体发射的, 只和温度有关."
找到这个普适函数具有高度的重要性.

庞特里亚金自传和惰者集分别批判了苏联和日本在 20 世纪的中学数学教育改革的失败. 均是过早引入集合论等现代化数学概念. 但是, 庞特里亚金在本书开始便指名道姓罪魁祸舍: 柯尔莫戈洛夫! 嗯, 看来本书值得一看!

看了部分后, 发现与预期的数学家传记有些差异: 没有那么伟光正, 倒是多了些人性的真实! 时代的背景也是个蛮有启发价值的地方~

这样, 理论的结点由一些中间命题构成,
且每两个中间命题之间包含着几个细小的逻辑环节.
如果这样的步骤序列已经设定好,
那么从每个结点过渡到下一个结点就变得更简单和更显而易见.
数学家使用自己的经验和联想记忆来设定这些中间结论,
联想记忆可以让他通过类比捕捉不同数学命题之间的相似之处,
并在从每一步骤过渡到下一步骤看似毫无把握的情况下增强信心.
如果设定的步骤选择得很成功并确实通向目标,
那么之后就能逐渐完成整个路径的各个分段.

跟潜意识思维的作用有关的还有一个问题, 就是数学直觉是何物.
数学直觉通常被理解为一个人看穿真相或解题时选择正确路径的能力.
可我想, 直觉在某种程度上是大量实践中积累的自动化的思维经验.
有些联系很远的数学概念在人的脑子里建立联想却能如此顺利,
以至于从一个概念过渡到另一个并不需要简短联想构成的链条,
而是以飞跃的方式完成的. 这种飞跃的能力是数学思维经验的结果.
通过大量的实践建立起大量的联想 -- 这就是数学创造的基础.

极大值原理在变分法领域也得到了应用,
因为变分法的所有结果都可以从极大值原理得出.
直到现在, 仍然有大量涉及或引用极大值原理的数学出版物发表,
但其数量增长在 20 世纪 60 年代末和 70 年代初时尤为迅猛.

拓扑~ 好难!

其实, 数学中并不存在被称为元数学的分支 (领域),
将数学划分为 "形式数学" 和 "内容数学" 也同样是完全荒谬的.
我绝不是贬低将研究活动划分为理论和应用的意义.
然而有了更深入的了解后就不难看出,
基础研究与其应用领域之间的相互作用和相互交织是多么密切.
现代数学的高度抽象对那些一知半解的人有种催眠效果,
而且显然会在他们的圈子中产生无谓的见解, 错误的认识,
他们对神秘费解的措辞情有独钟 (类似于我从中学课本中举的那个例子),
对真正的科学命题所具有的那种明确和简洁却反而充满怀疑.
正是这种由于在专业领域不求甚解又眼界狭窄而产生的态度,
成为实践决策的不利土壤.

正是这种由于在专业领域不求甚解又眼界狭窄而产生的态度, 成为实践决策的不利土壤.

说得好!

数学中的确有一个领域叫作数理逻辑,
其研究对象是规范的数学命题及其构造方法, 推导法则,
以及类似的在严格数学意义上精确定义的各种操作.
然而, 这并不意味着似乎在数学中存在一个完整的
(像上文引用的作者所描述的, 被其称为 "形式数学" 的那种)
专门研究如何构建没有实用价值的各种 "命题" 的分支.
这位作者将 "纯数学" 划分成 "形式数学和内容数学" 没有任何意义,
令数学家无法理解.
看到他这样把本已很难的数学概念和云山雾罩的哲学措辞 "搅合" 在一起,
还采用了这些站不住脚的归纳概括, 你会惊奇地发现,
多么无聊的废话也能被当作科学出现在大众读物中.

在数学发展的特定阶段, 高度抽象的集合论思想曾作为新生事物而成为时尚,
而对集合论的沉迷超越了具体研究本身.
但集合论思想仅对专业数学家们来说是一种方便的学术研究语言.
数学发展的真正趋势是面向具体的问题, 面向实践.
所以说, 当前的中学数学教科书是在阐释数学学科方面的倒退,
它们在实质上经不起推敲, 因为它们阉割掉了数学方法的本质.

下面是书籍末尾, 他人的评述

在青年时期, 他开始研究当时最有前景的数学分支之一 -- 拓扑学.
众所周知, 数学有许多分支, 但通常是其中的某一个分支占据特殊地位,
在这一分支中产生的思想, 观点, 一般概念在其他分支中也能得到应用,
对其他分支的发展有着特别强大的影响.
数学家们通常把这样的分支称为当前的 "流行" 分支.
这种 "思想实验室" 的角色每二三十年会从一个数学分支转移至另一个分支.
20 世纪三四十年代的流行分支正是拓扑学.
在一本现代长篇小说中, 主人公这样回忆他在数学系所学的东西:
"拓扑学 ... 是人类思维的平流层."
列夫·谢苗诺维奇·庞特里亚金就是这个 "平流层" 的几位创造者之一.

为什么列夫·谢苗诺维奇能有如此多的成就?
我想是因为他从来也不问自己是否有足够的能力去做某件事.
事情一旦做起来, 能力自然会有的. 他总在不断地跨越可能的界限.

他总在不断地跨越可能的界限.

也就是说, 数学运算支配了作为量子力学对象的物理现象.
这种数学运算与物理现象的关系,
并非是通过解析叠加的物理意义而将其用数学公式表现出来,
而是将 "波函数的线性组合可以描述状态的叠加" 视为公理,
然后依据数学运算来确定叠加的意义.
正如费曼所言, 除了数学之外, 没有其他方法能说明态叠加原理了.
我们只能认为量子力学基于数学的无穷魔法,
因此我认为物理现象的背后存在着固有的数学现象.

抑或能否建立一门以回答此类问题为目标, 研究数学现象的学科, 即数学现象学呢?
这些问题, 我也不清楚. 不过我确信, 如果能够建立这门学科, 那它一定会非常有趣.
不过从一开始会有一个明显的难题, 那就是在开始研究数学的现象学前,
首先必须对数学的主要领域有一个全面的, 大概的了解.
正如我在上文中提到的, 解决这个难题需要花费大量的时间.
这也是无法撰写数学现代史的原因所在.

20 世纪 40 年代盛行研究巴拿赫空间, 希尔伯特空间等函数解析,
普林斯顿高等研究院的许多年轻研究员都以此作为自己的研究领域,
外尔和西格尔仿佛在数学研究上完全与其他人独立.
我曾经在研究院正面的院子里遇到日本数学家 K, 至今还清楚地记得他说过:
"外尔和西格尔两个人乐此不疲地在挑战古老复杂的数学, 那是种反动行为."
进入 20 世纪 50 年代后, 代数几何, 流形论, 微分拓扑等迅速发展,
数学出现了天翻地覆的变化.

翻译欠佳~

全局单播地址是世界上唯一的地址.
它是互联网通信及各个组织内部通信中最常用的 IPv6 地址.

现在的 IPv6 网络中所使用的格式为,
全局路由前缀 n = 48, 子网 ID m = 16,
接口 ID 128 - n - m = 64,
即前 64 位为网络标识, 后 64 位为主机标识.

通常, 接口 ID 中保存着基于 64 位的 MAC 地址产生的值.
不过, 由于 MAC 地址属于设备固有的信息, 因此有时不希望让对端知道.
这时的接口 ID 可设置为与 MAC 地址没有关系的"临时地址".
这种临时地址通常随机产生, 并会定期更新.

链路本地单播地址是同一数据链路内唯一的地址.
它用于不经过路由器, 在同一数据链路中的通信.
通常, 接口 ID 保存 64 位的 MAC 地址.

在 IPv6 中, 从 IP 地址到 MAC 地址的协议从 ARP 转为 ICMP 的邻居探索消息.
邻居探索消息融合了 IPv4 的 ARP, ICMP 重定向及
ICMP 路由器选择消息等功能于一体, 甚至还提供自动设置 IP 地址的功能.

ICMPv6 中将 ICMP 大致分为两类: 一类是错误消息, 另一类是信息消息.
类型 0~127 属于错误消息, 类型 128~255 属于信息消息.
若 IP 包未能到达目标主机, 感知到错误的主机或路由器会发送类型 0~127 的错误消息.
类型 133~137 的消息属于特殊的信息消息, 称为邻居探索消息.

执行不可逆运算就会丢失信息, 因为这相当于对系统的状态进行了测量.
这样一个计算周期便完成了, 程序无法继续执行.
相反, 如果使用可逆逻辑门, 只要保持系统的相干性, 就可以继续将算子作用于量子比特.

不可逆运算, 相当于测量~

只有当所考虑的向量的项全为实数时, 点积和内积才是一致的.

数字向量构成阿贝尔群.

注: 加法