泛函分析导论及应用 - (上)

• 泛函分析导论及应用
  • 本书可称优秀教材, 行文工整; 但未见奇思妙语, 亦即: 难显宗师风范~
  • 然后, 建议先系统的学习一些量子力学, 这样对于这一套理论的存在意义就不用困惑了~

度量空间

在这样的抽象研究方法中, 人们通常从满足某些公理的一个集合出发,
并且故意不指定集合元素的特征.
由这些公理导出的一些逻辑结果被作为定理反复使用.
这就意味着我们从公理体系出发得到了一个数学结构,
这个数学结构的理论又以抽象的方法得到讨论.
而后, 可把得到的通用定理应用到满足公理体系的各种特殊集合上去.

例如, 在代数中曾用这种方法研究域, 环和群; 在泛函分析中,
我们将用这种方法来研究抽象空间. 这些空间是基本的, 也是重要的,
我们将详细地研究其中的某些空间 (如巴拿赫空间, 希尔伯特空间).
以后我们还会看到, "空间"这个概念广泛得惊人.
抽象空间不过是满足有关公理体系的 (非特指的) 元素集合.
如果选用不同的公理体系, 便能得到不同类型的抽象空间.

目前所给出的度量空间的概念, 就是经过 60 多年的发展过程才确定的,
它在泛函分析及其应用中是基本的, 也是极为有用的.

• 定义 (度量空间, 度量) 所谓度量空间, 就是指对偶 \((X, d)\), 其中 \(X\) 是一个集合, \(d\) 是 \(X\) 上的一个度量 (或 \(X\) 上的距离函数), 即 \(d\) 是定义在 \(X \times X\) 上且对所有 \(x, y, z \in X\) 满足以下四条公理的函数.
  • \((M_1)\) \(d\) 是实值, 有限和非负的.
  • \((M_2)\) 当且仅当 \(x = y\) 时, \(d(x, y) = 0\).
  • \((M_3)\) \(d(x, y) = d(y, x)\) (对称性).
  • \((M_4)\) \(d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)\) (三角不等式).
• 为叙述方便, 我们给出下面几个有关的术语.
  • \(X\) 叫作 \((X, d)\) 的基集, \(X\) 的元素叫作空间 \((X, d)\) 的点.
  • 给定 \(x, y \in X\), 我们把非负实数 \(d(x, y)\) 叫作 \(x\) 和 \(y\) 之间的距离.
  • \(M_1\) 到 \(M_4\) 叫作度量公理.
• 在不引起混淆的情况下, 我们常将度量空间 \((X, d)\) 简写成 \(X\).
• 如果取子集 \(Y \subseteq X\) 且把 \(d\) 限制在 \(Y \times Y\) 上, 则可得 \((X, d)\) 的一个子空间 \((Y, \tilde{d})\); 因而 \(Y\) 上的度量就是限制
  • \(\tilde{d} = d \mid_{Y \times Y}\).
  • \(\tilde{d}\) 叫作 \(d\) 在 \(Y\) 上导出的度量.
• 符号 \(\times\) 表示集合的笛卡儿积: \(A \times B\) 是所有序偶 \((a, b)\) 的集合, 其中 \(a \in A\), \(b \in B\).
  • 因此, \(X \times X\) 是 \(X\) 的元素构成的所有序偶的集合.

读者将体会到, 这里考虑问题的方式与微积分大不相同.
在微积分中, 我们通常研究一个函数或同时研究几个函数.
而这里, 一个函数变成了更大的空间中的点.

• 赫尔德不等式
  • 共轭指数
• 柯西-施瓦茨不等式
• 闵可夫斯基不等式

开集, 闭集和邻域

• 若 \(M \subseteq X\) 是 \(x_0\) 的一个邻域, 则称 \(x_0\) 是集合 \(M\) 的一个内点. \(M\) 的所有内点构成的集合叫作 \(M\) 的内部, 可以记为 \(M^0\) 或 \(Int(M)\), 没有公认的记法.
  • \(Int(M)\) 是开集, 并且是包含在 \(M\) 中的最大开集.
• 若把 \(X\) 的所有开子集构成的集族记为 \(\mathcal{T}\), 则不难证明 \(\mathcal{T}\) 有如下性质:
  • (\(T_1\)) \(\varnothing \in \mathcal{T}\), \(X \in \mathcal{T}\);
  • (\(T_2\)) \(\mathcal{T}\) 中任意个成员之并仍属于 \(\mathcal{T}\);
  • (\(T_3\)) \(\mathcal{T}\) 中有限个成员之交仍属于 \(\mathcal{T}\).
• 据此, 我们定义: 给定集合 \(X\) 和 \(X\) 的满足公理 \(T_1 \sim T_3\) 的子集构成的集族 \(\mathcal{T}\), 则 \((X, \mathcal{T})\) 叫作拓扑空间.
  • 集合 \(\mathcal{T}\) 叫作 \(X\) 的一个拓扑. 从这个定义可知: 度量空间是拓扑空间.

• 重要而有趣的是, 连续映射能够用开集的术语表征如下. 定理: (连续映射) 度量空间 \(X\) 到度量空间 \(Y\) 中的映射 \(T\), 当且仅当 \(Y\) 的任意开子集的逆像是 \(X\) 中的开子集时, 才是连续的.

• 现在我们再引入两个互相关联的概念. 令 \(M\) 是度量空间 \(X\) 的一个子集. 若点 \(x_0 \in X\) 的每个邻域至少含有一个异于 \(x_0\) 的点 \(y \in M\), 则 \(x_0\) (它可以是, 也可以不是 \(M\) 的点) 叫作 \(M\) 的聚点 (或极限点).
  • \(M\) 的所有点和所有聚点构成的集合, 叫作 \(M\) 的闭包, 记为 \(\overline{M}\).
  • 它是包含 \(M\) 的最小闭集.
  • 在 \(R^3\) 中, 开球 \(B(x_0; r)\) 的闭包 \(\overline{B(x_0; r)}\) 就是闭球 \(\widetilde{B} (x_0; r)\), 而在一般度量空间中却未必如此.
• 定义 (稠密集, 可分空间) 度量空间 \(X\) 的子集 \(M\) 若满足 \(\overline{M} = X\), 则称 \(M\) 在 \(X\) 中稠密.
  • 若 \(X\) 有一个可数的稠密子集, 则称 \(X\) 是可分的.
  • 因此, 若 \(M\) 在 \(X\) 中稠密, 则 \(X\) 中的每一个球, 不管多小, 总含有 \(M\) 的点.
  • 换句话说, 在这种情况下不存在点 \(x \in X\) 满足有一个不含 \(M\) 的点的邻域.
  • 我们将会看到, 可分度量空间比不可分度量空间简单.

收敛性, 柯西序列和完备性

• 若序列 \((x_n)\) 满足柯西准则的条件, 我们便把它叫作柯西序列. 柯西准则简单地说就是, 实数序列或复数序列在 \(R\) 上或 \(C\) 中收敛的充分必要条件是它是柯西序列.
  • 遗憾的是, 在一般的度量空间中, 情况变得复杂起来, 可能有不收敛的柯西序列.
  • 这种空间缺少一个极为重要的性质, 即所谓的完备性.
• 定义( 柯西序列, 完备性) 度量空间 \(X = (X, d)\) 中的序列 \((x_n)\), 如果对于给定的任意正数 \(ε\), 都存在 \(N = N(ε)\), 使得
  • 对于所有 \(m, n > N\) 有 \(d(x_m, x_n) < ε\),
  • 则称 \((x_n)\) 是柯西序列 (或基本序列).
  • 如果空间 \(X\) 中的每个柯西序列都是收敛序列 (即有属于 \(X\) 的极限), 则称 \(X\) 是完备度量空间.

用完备性来表述的话, 柯西收敛准则意义如下.

• 定理 (实直线, 复平面) 实直线和复平面都是完备度量空间.

更一般地, 从定义可以直接看出, 完备度量空间是这样的空间,
在其中柯西条件是序列收敛的充分必要条件.

• 定理 (闭包, 闭集) 令 \(M\) 是度量空间 \((X, d)\) 的非空子集, \(\overline{M}\) 是闭包, 则
  • (a) \(x \in \overline{M}\), 当且仅当在 \(M\) 中存在收敛到 \(x\) 的序列 \((x_n)\).
  • (b) \(M\) 是闭集, 当且仅当 \(M\) 中的序列 \((x_n)\) 收敛到 \(x\) 蕴涵 \(x \in M\).

• 定理 (完备子空间) 完备度量空间 \(X\) 的子空间 \(M\) 是完备的, 当且仅当集合 \(M\) 在 \(X\) 中是闭的.

• 定理 (连续映射) 度量空间 \((X, d)\) 到度量空间 \((Y, \widetilde{d})\) 中的映射 \(T: X \rightarrow Y\) 在点 \(x_0 \in X\) 连续, 当且仅当
  • \(x_n \rightarrow x_0\) 蕴涵 \(T_{x_n} \rightarrow T_{x_0}\).

完备性的例子

• \(R^n\) 和 \(C^n\) 的完备性: 欧几里得空间 \(R^n\) 和酉空间 \(C^n\) 是完备的.

• \(l^∞\) 的完备性: 空间 \(l^∞\) 是完备的.

• \(c\) 的完备性: 空间 \(c\) 是所有收敛的复数序列 \(x = (ξ_j)\) 构成的, 其度量是由空间 \(l^∞\) 的度量导出的.
  • 空间 \(c\) 是完备的.

• \(l^p\) 的完备性: 空间 \(l^p\) 是完备的, 其中 \(p\) 是固定的实数且 \(1 ≤ p < +∞\).

• \(C[a, b]\) 的完备性: 函数空间 \(C[a, b]\) 是完备的, 其中 \([a, b]\) 是 \(R\) 上给定的任意闭区间.

• 定理 (一致收敛性) 在空间 \(C[a, b]\) 中收敛性 \(x_m \to x\) 是一致收敛的. 也就是说, \((x_m)\) 在 \([a, b]\) 上一致收敛到 \(x\).
  • 因此, \(C[a, b]\) 上的度量描述了 \([a, b]\) 上的一致收敛性. 为此, 有时把它叫作一致度量.

下面是不完备的例子

• 多项式 令 \(X\) 是所有多项式的集合, 而每个多项式看作定义在某个有限闭区间 \(J = [a, b]\) 上的 \(t\) 的函数. 在 \(X\) 上定义度量 \(d\) 如下:
  • \(d(x, y) = \max_{t \in J} \mid x(t) - y(t) \mid\).
  • 这个度量空间 \((X, d)\) 是不完备的. 事实上, 能构造一个多项式序列, 它在 \(J\) 上一致收敛到不是多项式的连续函数. 这就给出了在 \(X\) 中没有极限的柯西序列.
• 连续函数 令 \(X\) 是 \(J = [0, 1]\) 上所有连续实值函数的集合, 且定义
  • \(d(x, y) = \int_0^1 \mid x(t) - y(t) \mid dt\).
  • 这个度量空间 \((X, d)\) 是不完备的.

度量空间的完备化

• 定义 (等距映射, 等距空间) 令 \(X = (X, d)\) 和 \(\widetilde{X} = (\widetilde{X}, \widetilde{d})\) 是两个度量空间, 则
  • (a) 如果映射 \(T: X \to \widetilde{X}\) 保持距离不变, 也就是说对于所有 \(x, y \in X\) 有 \(\widetilde{d}(Tx, Ty) = d(x, y)\), 则称 \(T\) 是等距映射或等距, 其中 \(Tx\) 和 \(Ty\) 分别是 \(x\) 和 \(y\) 的像.
  • (b) 若存在一个 \(X\) 到 \(\widetilde{X}\) 上的等距一一映射, 则称空间 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 是等距的. 空间 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 称为等距空间.

因此, 在等距空间之间, 至多是它们的元素的特征有所不同,
但从度量的角度来看, 是没有什么区别的.
而在抽象的研究中, 点的特征不是本质的.
所以可把两个等距空间视为同一个空间, 或同一个抽象空间的两个副本.

• 定理 (完备化) 对于度量空间 \(X = (X, d)\), 存在完备度量空间 \(\hat{X} = (\hat{X}, \hat{d})\), 使得子空间 \(W \subseteq \hat{X}\) 与 \(X\) 等距且在 \(\hat{X}\) 中稠密.
  • 如果对等距空间不加区分, 则空间 \(\hat{X}\) 是唯一的, 也就是说, 若完备空间 \(\hat{X}\) 也有稠密子空间 \(\widetilde{W}\) 和 \(X\) 等距, 则 \(\widetilde{X}\) 与 \(\hat{X}\) 是等距的.

赋范空间和巴拿赫空间

• 定义 (赋范空间和巴拿赫空间) 所谓赋范空间 \(X\), 是指在其上定义了范数的向量空间. 巴拿赫空间就是完备赋范空间 (这里的完备性是按范数定义的度量来衡量的.)
  • 所谓 (实或复) 向量空间 \(X\) 上的范数, 是指定义在 \(X\) 上的实值函数, 它在 \(x \in X\) 的值记为 \(\| x \|\) (读作 \(x\) 的范数), 并且具有如下性质.
  • (\(N_1\)) \(\| x \| ≥ 0\).
  • (\(N_2\)) \(\| x \| = 0 \Longleftrightarrow x = 0\).
  • (\(N_3\)) \(\| α x \| = \mid α \mid \| x \|\).
  • (\(N_4\)) \(\| x + y \| ≤ \| x \| + \| y \|\) (三角不等式).
  • \(x\) 和 \(y\) 是 \(X\) 中的任意向量, \(α\) 是任意标量.

赋范空间: 赋予了范数的空间

• 向量空间 \(X\) 上的范数在 \(X\) 上定义的度量 \(d\) 为
  • \(d(x, y) = \| x - y \|\), 其中 \(x, y \in X\),
  • 叫作由范数导出的度量. 相关的赋范空间记为 \((X, \| ⋅ \|)\), 或简记为 \(X\).
• 为后面的需要, 注意可从 \(N_4\) 推出 \(\mid \| y \| - \| x \| \mid ≤ \| y - x \|\). 这意味着范数有如下重要性质.
  • 范数是连续的, 即 \(x \longmapsto \| x \|\) 是从 \((X, \| · \|)\) 到 \(R\) 的连续映射.
• 引理 (平移不变性) 在赋范空间 \(X\) 上, 由范数导出的度量 \(d\), 对于所有 \(x, y, a \in X\) 及每一个标量 \(α\) 都满足
  • \(d(x + a, y + a) = d(x, y)\),
  • \(d(αx, αy) = \mid α \mid d(x, y)\).

• 定理 (巴拿赫空间的子空间) 巴拿赫空间 \(X\) 的赋范子空间 \(Y\) 是完备的, 当且仅当 \(Y\) 在 \(X\) 中是闭的.

• (i) 赋范空间 \(X\) 中的序列 \((x_n)\) 是收敛的, 是指存在 \(x \in X\) 使得
  • \(\lim_{n \to \infty} \| x_n - x \| = 0\),
  • 记为 \(x_n \to x\), 把 \(x\) 叫作 \((x_n)\) 的极限.
• (ii) 赋范空间 \(X\) 中的序列 \((x_n)\) 是柯西序列, 是指对于任意正数 \(ε\), 存在 \(N\) 使得
  • 对于所有 \(m, n > N\) 有 \(\| x_m - x_n \| < ε\).

在赋范空间 X 中, 当且仅当 X 是完备的, 绝对收敛性才蕴涵收敛性.

级数收敛性的概念可以用来定义空间的基.

• 若赋范空间 \(X\) 包含具有以下性质的序列 \((e_n)\): 对于每个 \(x \in X\) 都存在唯一的标量序列 \((a_n)\) 使得
  • 当 \(n \to ∞\) 时有 \(\| x - (α_1 e_1 + ... + α_n e_n) \| \to 0\),
  • 则称 \((e_n)\) 为 \(X\) 的一个绍德尔基 (或基).
  • 和为 \(x\) 的级数 \(\sum_{k = 1}^{\infty} α_k e_k\) 叫作 \(x\) 关于基 \((e_n)\) 的表达式, 记为 \(x = \sum_{k = 1}^{\infty} α_k e_k\).

若赋范空间 X 有一个绍德尔基, 则 X 是可分的.
反过来, 每一个可分巴拿赫空间都有绍德尔基吗?
这是巴拿赫本人提出的著名问题.
几乎所有已知的可分巴拿赫空间, 都证明了有绍德尔基.
然而, 这个问题的答案却令人惊异: 是否定的.
这是由恩弗罗 (1973) 给出的,
他构造了一个没有绍德尔基的可分巴拿赫空间.

• 定理 (完备化) 若 \(X = (X, \| · \|)\) 是赋范空间, 则存在巴拿赫空间 \(\hat{X}\) 和 \(X\) 到 \(\hat{X}\) 的稠密子空间 \(W\) 上的等距映射 \(A\).
  • 若不区分等距空间, 则空间 \(\hat{X}\) 是唯一的.

有限维赋范空间

• 引理 (线性组合) 设 \(\{ x_1, ..., x_n \}\) 是 (任意维数的) 赋范空间 \(X\) 中的线性无关组, 则对选定的任意一组标量 \(α_1\), …, \(α_n\), 存在正的常数 \(c\) 使得
  • \(\| α_1 x_1 + ... + α_n x_n \| ≥ c(\mid α_1 \mid + ... + \mid α_n \mid)\).
• 定理 (完备性) 赋范空间 \(X\) 的每一个有限维子空间 \(Y\) 都是完备的.
  • 特别是, 每个有限维赋范空间都是完备的.
• 定理 (封闭性) 赋范空间 \(X\) 中的每一个有限维子空间 \(Y\) 在 \(X\) 中都是闭的.
  • 要注意的是, 无穷维子空间不一定是闭的.
• 定义 (等价范数) 对于向量空间 \(X\) 上的范数 \(\| · \|\) 和 \(\| · \|_0\), 若存在正数 \(a\) 和 \(b\), 使得对所有 \(x \in X\) 都有
  • \(a \| x \|_0 ≤ \| x \| ≤ b \| x \|_0\),
  • 则称 \(\| · \|\) 与 \(\| · \|_0\) 等价.
  • 这个概念是受到下述事实的启发: \(X\) 上的等价范数在 \(X\) 上定义了相同的拓扑.

• 定理 (等价范数) 在有限维向量空间 \(X\) 上, 任意两种范数 \(\| · \|\) 和 \(\| · \|_0\) 是等价的.

• 定义 (紧性) 如果度量空间 \(X\) 的每一个序列都有一个收敛的子序列, 则称 \(X\) 是紧的. \(X\) 的子集 \(M\), 作为 \(X\) 的子空间若是紧的, 也就是说, \(M\) 的每一个序列都有一个在 \(M\) 中收敛的子序列, 则称 \(M\) 是紧集.

• 引理 (紧性) 度量空间 \(X\) 的紧子集 \(M\) 是有界闭集.
  • 这个引理的逆一般是不成立的.

我开始能够自然的接纳拓扑的概念了~

• 定理 (紧性) 在有限维赋范空间 \(X\) 中, 任意子集 \(M \subseteq X\) 当且仅当是有界闭集时, 才是紧集.

• 里斯引理 令 \(Y\) 和 \(Z\) 是 (任意维数的) 赋范空间 \(X\) 的两个子空间. 若 \(Y\) 是闭集且 \(Y\) 是 \(Z\) 的真子集, 则对于区间 \((0, 1)\) 中的任意实数 \(θ\), 存在 \(z \in Z\) 使得
  • \(\| z \| = 1\) 且对于所有 \(y \in Y\) 有 \(\| z - y \| ≥ θ\).

• 定理 (有限维) 若赋范空间 \(X\) 中的闭单位球 \(M = \{ x \mid \| x \| ≤ 1 \}\) 是紧集, 则 \(X\) 是有限维的.

• 定理 (连续映射) 令 \(X\) 和 \(Y\) 是两个度量空间, 若 \(T: X \to Y\) 是连续映射, 则 \(X\) 的紧子集 \(M\) 在 \(T\) 之下的像是紧集.

• 推论 (最大与最小值) 若 \(T\) 是度量空间 \(X\) 的紧子集 \(M\) 到 \(R\) 中的连续映射, 则 \(T\) 在 \(M\) 的某些点可达到其最大值与最小值.

线性算子

• 本书其余部分将采用如下记号.
  • \(\mathcal{D}(T)\) 表示 \(T\) 的定义域.
  • \(\mathcal{R}(T)\) 表示 \(T\) 的值域.
  • \(\mathcal{N}(T)\) 表示 \(T\) 的零空间.
  • \(T\) 的零空间定义为满足 \(Tx = 0\) 的所有 \(x \in \mathcal{D}(T)\) 的集合.
  • 零空间的另一个名字是核. 本书不采用这个术语, 因为要把它留给积分方程理论使用.
• 定理 (值域和零空间) 设 \(T\) 是线性算子, 则
  • (a) 值域 \(\mathcal{R}(T)\) 是向量空间.
  • (b) 若 \(\dim \mathcal{D}(T) = n < ∞\), 则 \(\dim \mathcal{R}(T) ≤ n\).
  • (c) 零空间 \(\mathcal{N}(T)\) 是向量空间.

线性算子保持线性相关性.

本书: 内射, 指一对一

线性算子的逆当且仅当该算子的零空间只含有零向量时才存在.

• 定理 (逆算子) 设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个实的 (或复的) 向量空间, \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 是线性算子, 且定义域 \(\mathcal{D}(T) \subseteq X\), 值域 \(\mathcal{R}(T) \subseteq Y\), 则
  • (a) 逆 \(T^{-1}: \mathcal{R}(T) \to \mathcal{D}(T)\) 存在, 当且仅当 \(Tx = 0 \Longrightarrow x = 0\).
  • (b) 若 \(T^{-1}\) 存在, 则 \(T^{-1}\) 是线性算子.
  • (c) 若 \(\dim \mathcal{D}(T) = n < ∞\) 且 \(T^{-1}\) 存在, 则 \(\dim \mathcal{R}(T) = \dim \mathcal{D}(T)\).
• 定义 (有界线性算子) 设 \(X\) 和 \(Y\) 是赋范空间, \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 是线性算子, 其中 \(\mathcal{D}(T) \subseteq X\). 若存在实数 \(c\), 使得对所有 \(x \in \mathcal{D}(T)\) 有
  • \(\| Tx \| ≤ c \| x \|\),
  • 则称算子 \(T\) 是有界的.
• \[\| T \| = \sup_{x \in \mathcal{D}(T), x ≠ 0} \frac{\| Tx \|}{\| x \|}\]
  • \(\| T \|\) 叫作算子 \(T\) 的范数. 若 \(\mathcal{D}(T) = \{ 0 \}\), 则规定 \(\| T \| = 0\).
• 引理 (范数) 设 \(T\) 是有界线性算子.
  • (a) 关于 \(T\) 的范数有一个等价的定义 \(\| T \| = \sup_{x \in \mathcal{D}(T), \| x \| = 1} \| Tx \|\).
  • (b) 此处的定义满足先前的范数公理 \(N_1 \sim N_4\).
• 积分算子 积分算子 \(T: C[0, 1] \to C[0, 1]\) 定义为 \(y = Tx\), 其中 \(y(t) = \int_{0}^{1} k(t, τ) x(τ) dτ\).
  • 这里的 \(k\) 是一个给定的函数, 叫作 \(T\) 的核, 并假定它在 \(tτ\) 平面上的闭正方形 \(G = J \times J\) 上连续, 其中 \(J = [0, 1]\).
  • \(T\) 是线性算子.
  • \(T\) 是有界算子.

• 定理 (有限维) 若 \(X\) 是有限维赋范空间, 则 \(X\) 上的每个线性算子都是有界的.

• 设 \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 是 (不必是线性的) 任意算子, 其中 \(\mathcal{D}(T) \subseteq X\) 且 \(X\) 和 \(Y\) 是赋范空间. 若对于给定的 \(x_0 \in \mathcal{D}(T)\) 和任意正数 \(ε\), 存在正数 \(δ\) 使得
  • 对于满足 \(\| x - x_0 \| < δ\) 的所有 \(x \in \mathcal{D}(T)\), 有 \(\| Tx - T x_0 \| < ε\),
  • 则称算子 \(T\) 在 \(x_0\) 连续. 若 \(T\) 在每一点 \(x \in \mathcal{D}(T)\) 连续, 则称 \(T\) 是连续算子.

现在假定 T 是线性算子, 则有如下值得重视的定理.

• 定理 (连续性和有界性) 设 \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 是线性算子, 其中 \(\mathcal{D}(T) \subseteq X\) 且 \(X\) 和 \(Y\) 是赋范空间, 则
  • (a) \(T\) 是连续算子当且仅当 \(T\) 是有界算子.
  • (b) 若 \(T\) 在一点连续, 则 \(T\) 在整个定义域 \(\mathcal{D}(T)\) 上连续.
• 推论 (连续性, 零空间) 设 \(T\) 是有界线性算子, 则
  • (a) 若 \(x_n\), \(x \in \mathcal{D}(T)\), 则 \(x_n \to x\) 蕴涵 \(T x_n \to Tx\).
  • (b) 零空间 \(\mathcal{N}(T)\) 是闭集.
• 若 \(X\), \(Y\), \(Z\) 是赋范空间, 则对于有界线性算子 \(T_2: X \to Y\), \(T_1: Y \to Z\), \(T: X \to X\) 有
  • \(\| T_1 T_2 \| ≤ \| T_1 \| \| T_2 \|\), 对于 \(n \in N\) 有 \(\| T^n \| ≤ \| T \|^n\).

• 若算子 \(T_1\) 和 \(T_2\) 有相同的定义域 \(\mathcal{D}(T_1) = \mathcal{D}(T_2)\) 且对于所有 \(x \in \mathcal{D}(T_1) = \mathcal{D}(T_2)\) 有 \(T_1 x = T_2 x\), 则称 \(T_1\) 和 \(T_2\) 是相等的, 记为 \(T_1 = T_2\).

• 算子 \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 在 \(\mathcal{D}(T)\) 的子集 \(B\) 上的限制记为 \(T \mid_{B}\), 它是一个算子, 定义为
  • \(T \mid_{B}: B \to Y\), 对于所有 \(x \in B\) 有 \(T \mid_{B^x} = Tx\).
  • 算子 \(T\) 到集合 \(M \supseteq \mathcal{D}(T)\) 的延拓是一个算子, 定义为
  • \(\widetilde{T}: M \to Y\) 使得 \(\widetilde{T} \mid_{\mathcal{D}(T)} = T\),
  • 也就是说, 对于所有 \(x \in \mathcal{D}(T)\) 有 \(\widetilde{T} x = Tx\). (因此 \(T\) 是 \(\widetilde{T}\) 在 \(\mathcal{D}(T)\) 上的限制.)
• 定理 (有界线性延拓) 设 \(T: \mathcal{D}(T) \to Y\) 是有界线性算子, 其中 \(\mathcal{D}(T)\) 落在赋范空间 \(X\) 中, \(Y\) 是巴拿赫空间, 则 \(T\) 有延拓
  • \(\widetilde{T}: \overline{\mathcal{D}(T)} \to Y\),
  • 且 \(\widetilde{T}\) 是有界线性算子, 其范数 \(\| \widetilde{T} \| = \| T \|\).

线性泛函

• 定义 (线性泛函) 线性泛函 \(f\) 是定义域落在向量空间 \(X\) 中, 值域落在 \(X\) 的标量域 \(K\) 中的线性算子, 因此
  • \(f: \mathcal{D}(f) \to K\).
  • 若 \(X\) 为实空间, 则 \(K = R\); 若 \(X\) 为复空间, 则 \(K = C\).
• 定义 (有界线性泛函) 有界线性泛函 \(f\) 是定义域 \(\mathcal{D}(f)\) 落在赋范空间 \(X\) 中, 值域 \(\mathcal{R}(f)\) 落在 \(X\) 的标量域中的有界线性算子. 因此对于所有 \(x \in \mathcal{D}(f)\), 存在实数 \(c\) 使得 \(\mid f(x) \mid ≤ c \| x \|\).
  • 此外, \(f\) 的范数为
  • \[\| f \| = \sup_{x \in \mathcal{D}(f), x ≠ 0} \frac{\mid f(x) \mid}{\| x \|}\]
  • 或
  • \(\| f \| = \sup_{x \in \mathcal{D}(f), \| x \| = 1} \mid f(x) \mid\).

• 定理 (连续性和有界性) 若 \(f\) 是定义域 \(\mathcal{D}(f)\) 落在赋范空间中的线性泛函, 则 \(f\) 是连续泛函, 当且仅当 \(f\) 是有界泛函.

• 定义在向量空间 \(X\) 上的所有线性泛函的集合, 也能作成一个向量空间, 这一事实有其根本的重要性. 这个空间用 \(X^{*}\) 表示, 叫作 \(X\) 的代数对偶空间. 向量空间 \(X^{*}\) 上的代数运算以自然的方式定义为:
  • 两个泛函 \(f_1\) 与 \(f_2\) 的和 \(f_1 + f_2\) 是泛函 \(s\), 它在每个 \(x \in X\) 上的值为
  • \(s(x) = (f_1 + f_2)(x) = f_1 (x) + f_2 (x)\);
  • 标量 \(α\) 与泛函 \(f\) 的积 \(αf\) 是泛函 \(p\), 它在每个 \(x \in X\) 上的值为
  • \(p(x) = (αf)(x) = αf(x)\).
  • 注意, 这与通常的函数加法和函数与常量的乘法是一致的.
• 我们还可进一步考虑 \(X^{*}\) 的代数对偶 \((X^{*})^{*}\), 其元素是定义在 \(X^{*}\) 上的线性泛函.
  • 我们把 \((X^{*})^{*}\) 记为 \(X^{**}\), 叫作 \(X\) 的二次代数对偶空间.
• 若选取固定的 \(x \in X\), 则定义在 \(X^{*}\) 上的线性泛函 \(g \in X^{**}\) 是
  • \(g(f) = g_x (f) = f(x)\), 其中 \(x \in X\) 固定, \(f \in X^{*}\) 变化.
  • 下标 \(x\) 是让大家记住, 我们是利用特定的 \(x \in X\) 得到 \(g\). 细心的读者会看出, 这里 \(f\) 在变化, 而 \(x\) 是固定的. 牢记这一点, 对理解这里的研究是很有帮助的.

牢记~

• 对于每一个 \(x\), 都有一个 \(g_x \in X^{**}\) 与之对应, 这就定义了映射
  • \(C: X \to X^{**}\), \(x \longmapsto g_x\)
  • \(C\) 叫作 \(X\) 到 \(X^{**}\) 中的典范映射.
• 向量空间 \(X\) 到同一个域上的另一个向量空间 \(\widetilde{X}\) 上的同构 \(T\) 是保持向量空间两个代数运算的一一映射, 因此, 对于所有 \(x, y \in X\) 和标量 \(α\) 有
  • \(T(x + y) = Tx + Ty\), \(T(αx) = α Tx\),
  • 也就是说, \(T: X \to \widetilde{X}\) 是一一映射线性算子. 这时说 \(\widetilde{X}\) 和 \(X\) 是同构的, 并把 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 称作同构的向量空间.

对于赋范空间的同构, 除了是向量空间之间的同构外, 还要求它保持范数不变.

• 可以证明典范映射 \(C\) 是内射. 由于 \(C\) 是线性映射, 所以它是 \(X\) 到值域 \(\mathcal{R}(C) \subseteq X^{**}\) 上的同构.
  • 若 \(X\) 和向量空间 \(Y\) 的一个子空间同构, 则我们说 \(X\) 是可嵌入 \(Y\) 的. 因此, \(X\) 可嵌入 \(X^{**}\), \(C\) 又叫作 \(X\) 到 \(X^{**}\) 的典范嵌入.
  • 若 \(C\) 是满射 (因此是一一映射), 则 \(\mathcal{R}(C) = X^{**}\), 这时称 \(X\) 是代数自反的. 我们将证明: 若 \(X\) 是有限维向量空间, 则 \(X\) 是代数自反的.

有限维空间中的线性算子和泛函

• \(f_k\) 在第 \(k\) 个基向量上取值为 \(1\), 在其余 \(n - 1\) 个基向量上取值为 \(0\), \(δ_{jk}\) 叫作克罗内克 \(δ\).
  • \(\{ f_1, ..., f_n \}\) 叫作 \(X\) 的基 \(\{ e_1, ..., e_n \}\) 的对偶基.

• 定理 (\(X^{*}\) 的维数) 设 \(X\) 是 \(n\) 维向量空间, \(E = \{ e_1, ..., e_n \}\) 是 \(X\) 的一个基, 则对偶基 \(F = \{ f_1, ..., f_n \}\) 是 \(X\) 的代数对偶 \(X^{*}\) 的一个基, 且 \(\dim X^{*} = \dim X = n\).

• 引理 (零向量) 设 \(X\) 是有限维向量空间. 若 \(x_0 \in X\) 满足对于所有 \(f \in X^{*}\) 有 \(f(x_0) = 0\), 则 \(x_0 = 0\).

• 定理 (代数自反性) 每个有限维向量空间都是代数自反的.

算子赋范空间和对偶空间

• 定理 (空间 \(B(X, Y)\)) 从赋范空间 \(X\) 到赋范空间 \(Y\) 中的所有有界线性算子构成的向量空间 \(B(X, Y)\), 在其上定义范数
  • \(\| T \| = \sup_{x \in X, x ≠ 0} \frac{\| Tx \|}{\| x \|} = \sup_{x \in X, \| x \| = 1} \| Tx \|\) 后, 便成为赋范空间.
• 定理 (完备性) 若 \(Y\) 是巴拿赫空间, 则 \(B(X, Y)\) 是巴拿赫空间.
  • 值得注意的是, 这个定理中的条件不涉及 \(X\), 也就是说, \(X\) 可以是完备的, 也可以是不完备的.
• 定义 (对偶空间 \(X'\)) 设 \(X\) 是赋范空间, 则 \(X\) 上的所有有界线性泛函的向量空间在其上定义范数
  • \[\| f \| = \sup_{x \in X, x ≠ 0} \frac{\mid f(x) \mid}{\| x \|} = \sup_{x \in X, \| x \| = 1} \mid f(x) \mid\]
  • 后, 便成为赋范空间, 称为 \(X\) 的对偶空间, 记为 \(X'\).

• 定理 (对偶空间) 赋范空间 \(X\) 的对偶空间 \(X'\) 总是巴拿赫空间 (不管 \(X\) 是否为巴拿赫空间).

• 赋范空间 \(X\) 到赋范空间 \(\widetilde{X}\) 上的同构, 是保持范数不变的一一映射线性算子 \(T: X \to \widetilde{X}\), 也就是说, 对所有 \(x \in X\) 有 \(\| Tx \| = \| x \|\).
  • (因此 \(T\) 是一个等距.) 我们称 \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 同构, \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 是同构的赋范空间.
  • 从抽象的观点看, \(X\) 和 \(\widetilde{X}\) 是等同的, 而同构只不过是把元素重新命名而已 (每个元素附加一个标签 \(T\)).

• 空间 \(R^n\): \(R^n\) 的对偶空间是 \(R^n\).

• 空间 \(l^1\): \(l^1\) 的对偶空间是 \(l^{∞}\).

• 空间 \(l^p\): 空间 \(l^p\) 的对偶空间是 \(l^q\), 其中 \(1 < p < +∞\), \(q\) 是 \(p\) 的共轭指数, 即 \(1/p + 1/q = 1\).

内积空间和希尔伯特空间

终于, 进入正题~

• 定义 (内积空间和希尔伯特空间) 内积空间 (或准希尔伯特空间) 是在其上定义了内积的向量空间 \(X\). 希尔伯特空间是完备的内积空间 (以内积所定义的度量来考察完备性).
  • 这里所说的 \(X\) 上的内积, 是 \(X \times X\) 到 \(X\) 的标量域 \(K\) 中的一个映射, 也就是说, 对于 \(X\) 中的每一对向量 \(x\) 和 \(y\), 都有一个标量与之对应, 记为 \(\langle x, y \rangle\).
  • 这个标量叫作 \(x\) 和 \(y\) 的内积, 并且对于所有向量 \(x, y, z \in X\) 和标量 \(α\) 有
  • (\(IP_1\)) \(\langle x + y, z \rangle = \langle x, z \rangle + \langle y, z \rangle\).
  • (\(IP_2\)) \(\langle αx, y \rangle = α \langle x, y \rangle\).
  • (\(IP_3\)) \(\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}\).
  • (\(IP_4\)) \(\langle x, x \rangle ≥ 0\), \(\langle x, x \rangle = 0 \Longleftrightarrow x = 0\).
  • \(X\) 上的内积通过 \(\| x \| = \sqrt{\langle x, x \rangle}\) \((≥ 0)\) 和 \(d(x, y) = \| x - y \| = \sqrt{\langle x - y, x - y \rangle}\) 分别在 \(X\) 上定义了范数和度量.

内积空间是赋范空间, 希尔伯特空间是巴拿赫空间.
内积关于第一个因子是线性的, 关于第二个因子是共轭线性的.

• 定义 (正交性) 对于内积空间 \(X\) 中的元素 \(x\) 和 \(y\), 若 \(\langle x, y \rangle = 0\),
  • 则称 \(x\) 正交于 \(y\), 也称 \(x\) 和 \(y\) 是正交的, 记为 \(x \perp y\).
  • 类似地, 对于子集 \(A, B \subseteq X\), 若对于所有 \(a \in A\) 有 \(x \perp a\), 则记为 \(x \perp A\); 若对于所有 \(a \in A\) 和所有 \(b \in B\) 有 \(a \perp b\), 则记为 \(A \perp B\).
• 希尔伯特序列空间 \(l^2\) 空间 \(l^2\) 是具有内积 \(\langle x, y \rangle = \sum_{j = 1}^{\infty} ξ_j \overline{η}_j\) 的希尔伯特空间.
  • 根据假设, 我们有 \(x, y \in l^2\), 从柯西-施瓦茨不等式可推出这个级数是收敛的.
  • \(l^2\) 的范数定义为
  • \[\| x \| = \langle x, x \rangle^{1/2} = (\sum_{j = 1}^{\infty} \mid ξ_j \mid^2)^{1/2}\]
• \(l^2\) 是希尔伯特空间的原型, 它是由希尔伯特 (1912) 在研究积分方程理论时引入并加以研究的.
  • 但是希尔伯特空间的公理化定义, 直到很晚才由冯·诺伊曼 (1927) 在一篇关于量子力学的数学基础的论文中给出.
• 对于实内积空间, 我们有 \(\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} (\| x + y \|^2 + \| x - y \|^2)\),
  • 对于复内积空间, 我们有
  • \(Re \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} (\| x + y \|^2 - \| x - y \|^2)\),
  • \(Im \langle x, y \rangle = \frac{1}{4} (\| x + iy \|^2 - \| x - iy \|^2)\).
  • 有时叫作极化恒等式.
• 引理 (施瓦茨不等式, 三角不等式) 内积和相应的范数满足如下的施瓦茨不等式和三角不等式.
  • (a) 我们有 \(\mid \langle x, y \rangle \mid ≤ \| x \| \| y \|\), (施瓦茨不等式)
  • 其中等号当且仅当 \(\{ x, y \}\) 线性相关时成立.
  • (b) 相应的范数满足 \(\| x + y \| ≤ \| x \| + \| y \|\), (三角不等式)
  • 其中等号当且仅当 \(y = 0\) 或 \(x = cy\) (\(c\) 是非负实数) 时成立.
  • 注意, 对于等式的情况, 这个条件关于 \(x\) 和 \(y\) 是完全对称的, \(x = 0\) 包含在 \(x = cy\) (当 \(c = 0\) 时) 之中, 所以有 \(y = kx\) 且 \(k = 1/c\) (当 \(c > 0\) 时).

• 引理 (内积的连续性) 在内积空间中, 若 \(x_n \to x\) 且 \(y_n \to y\), 则 \(\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle\).

• 由内积空间 \(X\) 到同一个域上的另一个内积空间 \(\widetilde{X}\) 上的同构 \(T\) 是保持内积不变的一一映射线性算子 \(T: X \to \widetilde{X}\), 也就是说, 对于所有 \(x, y \in X\) 有
  • \(\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle\).
• 定理 (完备化) 对于任意内积空间 \(X\), 存在希尔伯特空间 \(H\) 和 \(X\) 到 \(H\) 的稠密子空间 \(W\) 上的同构 \(A\).
  • 若不区分同构空间, 则空间 \(H\) 是唯一的.
• 内积空间 \(X\) 的子空间 \(Y\), 首先要求 \(Y\) 是 \(X\) 的线性子空间, 然后取 \(X\) 的内积在 \(Y \times Y\) 上的限制. \(Y\) 也是内积空间.
  • 类似地, 希尔伯特空间 \(H\) 的子空间 \(Y\), 也要求它是一个内积空间. 但要注意, \(Y\) 不必是希尔伯特空间, 因为它可以是不完备的.
• 定理 (子空间) 设 \(Y\) 是希尔伯特空间 \(H\) 的一个子空间, 则
  • (a) \(Y\) 是完备的当且仅当 \(Y\) 在 \(H\) 中是闭的.
  • (b) 若 \(Y\) 是有限维的, 则 \(Y\) 是完备的.
  • (c) 若 \(H\) 是可分的, 则 \(Y\) 也是可分的. 更一般地, 可分内积空间的每一子集都是可分的.

正交补与直和

• 在度量空间 \(X\) 中, 从元素 \(x \in X\) 到非空子集 \(M \subseteq X\) 的距离 \(δ\) 定义为
  • \(δ = \inf_{\widetilde{y} \in M} d(x, \widetilde{y})\), 其中 \(M ≠ \varnothing\).
  • 在赋范空间中, 它就变成
  • \(δ = \inf_{\widetilde{y} \in M} \| x - \widetilde{y} \|\), 其中 \(M ≠ \varnothing\).
• 我们把连接向量空间 \(X\) 中两点 \(x\) 和 \(y\) 的线段定义为所有形如 \(z = αx + (1 - α) y\), 其中 \(α \in R\), \(0 ≤ α ≤ 1\) 的点集 \(z \in X\).
  • 对于子集 \(M \subseteq X\) 来说, 若对于任意 \(x, y \in M\), 连接 \(x\) 和 \(y\) 的线段整个落在 \(M\) 内, 则称 \(M\) 是凸集.
• 定理 (极小化向量) 设 \(X\) 是内积空间, \(M ≠ \varnothing\) 是凸子集并且 (在内积导出的度量之下) 是完备的, 则对于每个 \(x \in X\) 有唯一的 \(y \in M\) 满足
  • \(δ = \inf_{\widetilde{y} \in M} \| x - \widetilde{y} \| = \| x - y \|\).

如果把任意凸集换成子空间, 则可以得到一个引理,
它推广了类似于初等几何中的一个思想:
给定的 x 在子空间 Y 中的唯一的最近点 y,
可过 x 向 Y 作垂线, 而垂足便是 y.

• 引理 (正交性) 接上, 设 \(M\) 是完备子空间 \(Y\) 且 \(x \in X\) 固定, 则 \(z = x - y\) 正交于 \(Y\).

• 定义 (直和) 对于向量空间 \(X\) 和它的两个子空间 \(Y\) 和 \(Z\), 如果对于每个 \(x \in X\) 有唯一的表达式 \(x = y + z\), 其中 \(y \in Y\), \(z \in Z\),
  • 则称 \(X\) 为 \(Y\) 与 \(Z\) 的直和, 记为 \(X = Y \oplus Z\).
  • 把 \(Z\) 叫作 \(Y\) 在 \(X\) 中的代数补, 反之亦然. 而 \(Y\) 和 \(Z\) 又称为 \(X\) 中的一对互补子空间.
• 类似地, 在一般的希尔伯特空间 \(H\) 中, 主要的兴趣是研究 \(H\) 用闭子空间 \(Y\) 及它的正交补 \(Y^{\perp} = \{ z \in H \mid z \perp Y \}\) 的直和来表示的问题.
  • \(Y^{\perp}\) 是与 \(Y\) 垂直的所有向量的集合. 这就是本节的投影定理给出的主要结果.
• 定理 (直和) 设 \(Y\) 是希尔伯特空间 \(H\) 的任意闭子空间, 则
  • \(H = Y \oplus Z\), 其中 \(Z = Y^{\perp}\).
• 引理 (零空间) 希尔伯特空间 \(H\) 的闭子空间 \(Y\) 的正交补 \(Y^{\perp}\) 是 \(H\) 到 \(Y\) 上的正交投影 \(P\) 的零空间 \(\mathcal{N}(P)\).
  • 正交补是特殊的零化子. 内积空间 \(X\) 中的非空集合 \(M\) 的零化子 \(M^{\perp}\) 定义为集合 \(M^{\perp} = \{ x \in X \mid x \perp M \}\).
  • 因此 \(x \in M^{\perp}\) 当且仅当对于所有 \(v \in M\) 有 \(\langle x, v \rangle = 0\), 这就阐明了其名字的来历.
• 注意, 因为 \(x, y \in M^{\perp}\) 蕴涵对于所有 \(v \in M\) 和任意标量 \(α\), \(β\) 有
  • \(\langle αx + βy, v \rangle = α \langle x, v \rangle + β \langle y, v \rangle = 0\),
  • 所以 \(αx + βy \in M^{\perp}\), 从而证明了 \(M^{\perp}\) 是向量空间. 同时, 易证 \(M^{\perp}\) 是闭的. \((M^{\perp})^{\perp}\) 记为 \(M^{\perp \perp}\), 等等.
  • 一般来说, 因为 \(x \in M \Longrightarrow x \perp M^{\perp} \Longrightarrow x \in (M^{\perp})^{\perp}\), 所以我们有 \(M \subseteq M^{\perp \perp}\).

对于闭子空间, 进一步还有以下引理.

• 引理 (闭子空间) 若 \(Y\) 是希尔伯特空间 \(H\) 的闭子空间, 则
  • \(Y = Y^{\perp \perp}\).
• 引理 (稠密集) 若 \(H\) 是希尔伯特空间, \(M\) 是 \(H\) 的任意非空子集, 则当且仅当 \(M^{\perp} = \{ 0 \}\) 时, \(\mbox{span } M\) 在 \(H\) 中稠密.

规范正交集和规范正交序列

• 若正交集或规范正交集 \(M\) 是可数的, 则可以把它们写成序列的形式 \((x_n)\), 这时便把它们叫作正交序列或规范正交序列.
  • 更一般地, 带有指标的集合或族 \((x_α)\) \((α \in I)\), 若对于所有 \(α, β \in I\) 且 \(α ≠ β\) 有 \(x_α \perp x_β\), 则称 \((x_α)\) 是正交族.
  • 而规范正交族 \((x_α)\), 除了要求 \((x_α)\) 是正交族外, 还要求所有 \(x_α\) 的范数都是 \(1\), 即对于所有 \(α, β \in I\) 有
  • \[\langle x_α, x_β \rangle = δ_{αβ} = \begin{cases} 0, & \mbox{若 } α ≠ β \\ 1, & \mbox{若 } α = β \end{cases}\]
  • 这里的 \(δ_{αβ}\) 是克罗内克 \(δ\).
• 引理 (线性无关性) 规范正交集是线性无关的.

傅里叶级数的规范正交序列是本书第一个亮点

• 定理 (贝塞尔不等式) 若 \((e_k)\) 是内积空间 \(X\) 中的规范正交序列, 则对于每个 \(x \in X\) 有
  • \(\sum_{k = 1}^{\infty} \mid \langle x, e_k \rangle \mid^2 ≤ \| x \|^2\). (贝塞尔不等式)
  • 上式中的内积 \(\langle x, e_k \rangle\) 叫作 \(x\) 关于规范正交序列 \((e_k)\) 的傅里叶系数.
  • 注意, 若 \(X\) 是有限维空间, 则可知规范正交集是线性无关的, 所以 \(X\) 中的每个规范正交集一定是有限集. 因此这里的和式是有限和式.

• 格拉姆-施密特过程的一般公式, 它是由施密特 (1907) 提出的, 也见格拉姆 (1883) 的论文. 在过程进行的每一步, 我们都从 \(x_n\) 减去它在已经求出的各规范正交向量方向上的分量. 这样就得到了 \(v_n\), 再乘上标量 \(1 / \| v_n \|\), 便得到范数为 \(1\) 的向量. 对于任意自然数 \(n\), \(v_n\) 都不是零向量.

• (傅里叶级数) 形如 \(a_0 + \sum_{k = 1}^{\infty} (a_k \cos kt + b_k \sin kt)\) 的级数叫作三角级数. 定义在 \(R\) 上的实值函数 \(x\), 如果有正数 \(p\) 使得对于所有 \(t \in R\) 有 \(x(t + p) = x(t)\), 则称之为周期函数, \(p\) 叫作 \(x\) 的一个周期.
  • 设 \(x\) 连续且周期为 \(2π\), 则根据定义, \(x\) 的傅里叶级数就是三角级数, 其中系数 \(a_k\), \(b_k\) 由欧拉公式给出:
  • \(a_0 = \frac{1}{2π} \int_{0}^{2π} x(t) dt\),
  • \(a_k = \frac{1}{π} \int_{0}^{2π} x(t) \cos kt dt\), 其中 \(k = 1, 2, ...\),
  • \(b_k = \frac{1}{π} \int_{0}^{2π} x(t) \sin kt dt\), 其中 \(k = 1, 2, ...\).
  • 这些系数叫作 \(x\) 的傅里叶系数.

傅里叶级数首先出现在物理问题的研究中,
它最早由伯努利 (1753, 研究弦振动)
和傅里叶 (1882, 研究热传导) 所研究.

• 我们可能要问, 这些级数怎样与我们先前的术语和公式吻合起来. 显然, 余弦函数和正弦函数就是序列 \((u_k)\) 和 \((v_k)\), 即
  • \(u_k (t) = \cos kt\), \(v_k (t) = \sin kt\).
• 定义 (完全规范正交集) 赋范空间 \(X\) 中的完全集 (或基本集) 是其张成的子空间在 \(X\) 中稠密的子集 \(M \subseteq X\).
  • 因此, 内积空间 \(X\) 中的规范正交集 (或序列或族) 如果是 \(X\) 中的完全集, 则称为 \(X\) 中的完全规范正交集 (或序列或族).
• 定理 (完全性) 设 \(M\) 是内积空间 \(X\) 的子集, 则
  • (a) 若 \(M\) 在 \(X\) 中是完全的, 则不存在非零向量 \(x \in X\), 它和 \(M\) 中的每个向量都正交, 即 \(x \perp M \Longrightarrow x = 0\).
  • (b) 若 \(X\) 是完备的, 上述条件对 \(M\) 在 \(X\) 中的完全性来说也是充分的.
• 定理 (完全性) 希尔伯特空间 \(H\) 中的规范正交集 \(M\) 在 \(H\) 中是完全的, 当且仅当对于所有 \(x \in H\) 帕塞瓦尔等式成立 (即 \(x\) 相对于 \(M\) 的所有非零傅里叶系数的模的平方和等于 \(x\) 的范数的平方).
  • 帕塞瓦尔等式
• 定理 (可分希尔伯特空间) 设 \(H\) 是希尔伯特空间, 则
  • (a) 若 \(H\) 是可分的, 则 \(H\) 中的每一个规范正交集都是可数的.
  • (b) 若 \(H\) 包含完全规范正交序列, 则 \(H\) 是可分的.

在上述讨论中有一个耐人寻味的事实是, 对于每一个希尔伯特维数,
恰好有一个抽象的实希尔伯特空间和一个抽象的复希尔伯特空间. 换句话说,
同一个域上的两个抽象的希尔伯特空间只有在希尔伯特维数上有所差别.
这就把欧几里得空间的情形做了推广.

勒让德, 埃尔米特和拉盖尔多项式

• 勒让德多项式

• 勒让德多项式 定义在 \([-1, 1]\) 上的所有实值连续函数构成的空间 \(X\), 在其上定义内积 \(\langle x, y \rangle = \int_{-1}^{1} x(t) y(t) dt\), 完备化后成为希尔伯特空间, 记为 \(L^2 [-1, 1]\).
  • 我们希望在 \(L^2 [-1, 1]\) 中得到由易于处理的函数所构成的完全规范正交序列. 多项式是这样的类型, 它们可以用很简单的思想来造出.
  • 我们可以从幂函数 \(x_0\), \(x_1\), \(x_2\), … 出发, 其中
  • \(x_0 (t) = 1\), \(x_1 (t) = t\), …, \(x_j (t) = t^j\), …, 其中 \(t \in [-1, 1]\).
  • 这个序列是线性无关的. 施行格拉姆-施密特过程可以得到规范正交序列 \((e_n)\).
  • 由于在正交化过程中, 我们取的是 \((x_j)\) 的线性组合, 所以每个 \(e_n\) 都是多项式, 将会看到 \(e_n\) 的次数是 \(n\).
  • \((e_n)\) 在 \(L^2 [-1, 1]\) 中是完全的.

• 埃尔米特多项式

• 埃尔米特多项式有实用价值的空间还有 \(L^2 (-∞, +∞)\), \(L^2 [a, +∞)\), \(L^2 (-∞, b]\). 因为积分区间是无限的, 所以这些空间不能直接对 \((x_j)\) 施行格拉姆-施密特正交化过程来得到它们的规范正交序列.
  • 但是, 如果我们对幂函数序列 \((x_j)\) 的每一项都乘上一个递减很快的简单函数, 便可望使得无穷积分取有限值. 显然, 有适当指数的指数函数便是一个很自然的选择.
  • 最后我们指出, 埃尔米特多项式 \(H_n\) 满足埃尔米特微分方程 \(H_n^{''} - 2t H_n^{'} + 2n H_n = 0\).
  • 注意: 很遗憾, 文献中的术语是不统一的. 事实上, 由 \(H e_0 (t) = 1\), 对于 \(n = 1, 2, ...\) 有 \(H e_n (t) = (-1)^n e^{- t^2 / 2} \frac{d^n}{dt^n} (e^{- t^2 / 2})\) 定义的函数 \(H e_n\) 也叫作埃尔米特多项式, 并且更严重的是, 有时也记作 \(H_n\).

• 拉盖尔多项式

• 拉盖尔多项式 空间 \(L^2 (-∞, b]\) 和 \(L^2 [a, +∞)\) 中的完全规范正交序列可从 \(L^2 [0, +∞)\) 中的这样一个序列分别用变换 \(t = b - s\) 和 \(t = s + a\) 得到.

希尔伯特空间中泛函的表示

• 里斯定理 (希尔伯特空间中的泛函) 希尔伯特空间 \(H\) 上的每一个有界线性泛函都能表示成内积的形式, 即 \(f(x) = \langle x, z \rangle\),
  • 其中 \(z\) 依赖于 \(f\) 且由 \(f\) 唯一确定, 并且范数 \(\| z \| = \| f \|\).
• 引理 (等式) 若对于内积空间 \(X\) 中的所有 \(w\) 有 \(\langle v_1, w \rangle = \langle v_2, w \rangle\), 则 \(v_1 = v_2\).
  • 特别是, 若对于所有 \(w \in X\) 有 \(\langle v_1, w \rangle = 0\), 则 \(v_1 = 0\).
• 定理 (里斯表示) 设 \(H_1\) 和 \(H_2\) 是希尔伯特空间, 且 \(h: H_1 \times H_2 \to K\) 是有界一个半线性形式, 则 \(h\) 有表示 \(h(x, y) = \langle Sx, y \rangle\),
  • 其中 \(S: H_1 \to H_2\) 是有界线性算子. \(S\) 由 \(h\) 唯一确定, 并且范数 \(\| S \| = \| h \|\).

希尔伯特伴随算子, 自伴算子, 酉算子和正规算子

• 定义 (自伴算子, 酉算子和正规算子) 对于希尔伯特空间

• 定义 (自伴算子, 酉算子和正规算子) 对于希尔伯特空间 \(H\) 上的有界线性算子 \(T: H \to H\),

  • 若 \(T^{*} = T\) 则称 \(T\) 是自伴算子或埃尔米特算子,
  • 若 \(T\) 是一一映射且 \(T^{*} = T^{-1}\) 则称 \(T\) 是酉算子,
  • 若 \(T T^{*} = T^{*} T\) 则称 \(T\) 是正规算子.

埃尔米特, 不喜欢这个翻译, 厄米

若 T 是自伴算子或酉算子, 则 T 是正规算子.

赋范空间和巴拿赫空间的基本定理

哈恩-巴拿赫定理

应用到 C[a, b] 上的有界线性泛函

伴随算子

自反空间

范畴定理和一致有界性定理

强收敛和弱收敛

算子序列和泛函序列的收敛

在序列可和性方面的应用

数值积分和弱星收敛

开映射定理

闭线性算子和闭图定理

附录 A

集合

• \(A^C = X - A\), \(A\) 在 \(X\) 中的余集 (其中 \(A \subseteq X\)) (当省略 \(X\) 有可能产生混乱时, 记为 \(C_{X} A\))
  • \((A^C)^C = A\),
  • \(X^C = \varnothing\),
  • \(\varnothing^C = X\).

• 德·摩根定律是 (\(A\) 和 \(B\) 是 \(X\) 的任意子集)
  • \((A \bigcup B)^C = A^C \bigcap B^C\),
  • \((A \bigcap B)^C = A^C \bigcup B^C\).
  • 显然,
  • \(A \subseteq B \Longleftrightarrow A^C \supseteq B^C\),
  • \(A \bigcap B = \varnothing \Longleftrightarrow A \subseteq B^C \Longleftrightarrow B \subseteq A^C\),
  • \(A \bigcup B = X \Longleftrightarrow A^C \subseteq B \Longleftrightarrow B^C \subseteq A\).
• 给定的集合 \(S\) 的所有子集的集合, 叫作 \(S\) 的幂集, 记为 \(\mathcal{P}(S)\).
• 两个给定的非空集合 \(X\) 和 \(Y\) 的笛卡儿积 (或积) \(X \times Y\) 是所有序偶 \((x, y)\) 的集合, 其中 \(x \in X\) 且 \(y \in Y\).

若集合 M 是有限的 (有有限个元素), 或者 M 的每个元素唯一地对应一个正整数,
并且反过来每个正整数 1, 2, 3, ... 也唯一地对应 M 中的一个元素,
则称 M 是可数集合.