缅怀: 齐民友
起点: 向量空间里的
范数的性质, 范数的性质之一引出内积.
- 极化等式: \(\langle x, y \rangle = \frac{|x + y|^2 - |x - y|^2}{4}\)
开集, 闭集, 开覆盖, 紧集.
函数连续性: 除了极限语言, 还可以用
开集.
- 函数
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
在
\(a \in \mathbb{R}^n\)
处
可微, 如果存在线性变换 \(λ: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得- \(\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - f(a) - λ(h)|}{|h|} = 0\).
- 注意,
\(h\)
是
\(\mathbb{R}^n\)
中的点,
\(f(a + h) - f(a) - λ(h)\)
是
\(\mathbb{R}^m\)
中的点, 所以范数记号是必要的. 这个线性变换
\(λ\)
记作
\(Df(a)\),
称作
\(f\)
在
\(a\)
处的
导数. 这里说 “这个线性变换 \(λ\)” 的理由如下. - 定理 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a \in \mathbb{R}^n\) 处可微, 则存在唯一的线性变换 \(λ: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得
- \(\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - f(a) - λ(h)|}{|h|} = 0\).
雅可比矩阵
微分
- 定理 (链式法则) 若
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
在
\(a\)
处可微,
\(g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p\)
在
\(f(a)\)
处可微, 则其复合
\(g \circ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\)
在
\(a\)
处可微, 且
- \(D(g \circ f) (a) = Dg(f(a)) \circ Df(a)\).
- 注: 此式可写成 \((g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)\).
- 若 \(m = n = p = 1\), 我们便得到初等微积分中的链式法则.
- (1) 若
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\)
是一个线性变换, 则
- \(Df(a) = f\).
- (2) 若
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\),
则
\(f\)
在
\(a \in \mathbb{R}^n\)
处可微, 当且仅当每个
\(f^i\)
都是如此, 且
- \(Df(a) = (D f^1(a), ..., D f^m(a))\).
- 于是 \(f'(a)\) 是 \(m \times n\) 矩阵, 其第 \(i\) 行是 \((f^i)'(a)\).
- (3) 若
\(s: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)
定义为
\(s(x, y) = x + y\),
则
- \(Ds(a, b) = s\).
- (4) 若
\(p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\)
定义为
\(p(x, y) = x \cdot y\),
则
- \(Dp(a, b)(x, y) = bx + ay\).
- 于是 \(p'(a, b) = (b, a)\).
- 定理 若
\(D_{i,j} f\)
与
\(D_{j,i} f\)
在包含
\(a\)
的一个开集上连续, 则
- \(D_{i,j} f(a) = D_{j,i} f(a)\).
- 函数 \(D_{i,j} f\) 叫作 \(f\) 的二阶 (混合) 偏导数. 高阶 (混合) 偏导数的定义也显而易见. 显然, 该定理能用来证明在适当条件下高阶偏导数的相应等式. 若 \(f\) 有一切阶的连续偏导数, 则 \(D_{i_1, ..., i_k} f\) 中 \(i_1\), …, \(i_k\) 的次序是完全无所谓的.
- 具有这种性质的函数称为 \(C^∞\) 函数. 在以下各章中, 为方便起见, 经常仅限于讨论 \(C^∞\) 函数.
-
定理 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a\) 处可微, 则对于 \(1 ≤ i ≤ m\), \(1 ≤ j ≤ n\), \(D_j f^i(a)\) 存在, 且 \(f'(a)\) 是 \(m \times n\) 矩阵 \((D_j f^i(a))\).
- 定理 设
\(g_1\),
…,
\(g_m\):
\(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\)
在
\(a\)
处连续可微, 并设
\(f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\)
在
\((g_1(a), ..., g_m(a))\)
处连续可微. 用
\(F(x) = f(g_1(x), ..., g_m(x))\)
定义
\(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\),
则
- \(D_i F(a) = \sum_{j=1}^m D_j f(g_1(a), ..., g_m(a)) \cdot D_i g_j(a)\).
- 定理 (反函数定理) 设
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)
在包含
\(a\)
的一个开集上连续可微, 且
\(\det f'(a) ≠ 0\),
则存在包含
\(a\)
的开集
\(V\)
和包含
\(f(a)\)
的开集
\(W\),
使得
\(f: V \to W\)
有一个连续可微的反函数
\(f^{-1}: W \to V\),
且对一切
\(y \in W\)
满足
- \((f^{-1})' (y) = [f'(f^{-1}(y))]^{-1}\).
- 定理 (隐函数定理) 设
\(f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m\)
在包含
\((a, b)\)
的一个开集上连续可微, 且
\(f(a, b) = 0\).
令
\(M\)
表示
\(m \times m\)
矩阵
- \((D_{n+j} f^i(a, b))\), \(1 ≤ i,j ≤ m\).
- 若 \(\det M ≠ 0\), 则必存在包含 \(a\) 的开集 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 和包含 \(b\) 的开集 \(B \subset \mathbb{R}^m\), 它们具有下列性质: 对每个 \(x \in A\), 存在唯一的 \(g(x) \in B\) 使得 \(f(x, g(x)) = 0\), 这个函数还是可微的.
- 定理 设
\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\)
在包含
\(a\)
的一个开集上连续可微, 其中
\(p ≤ n\).
若
\(f(a) = 0\)
且
\(p \times n\)
矩阵
\((D_j f^i(a))\)
有秩
\(p\),
则存在开集
\(A \subset \mathbb{R}^n\)
以及具有可微逆的可微函数
\(h: A \to \mathbb{R}^n\),
并且
\(h(A)\)
包含
\(a\),
使得
- \(f ∘ h(x^1, ..., x^n) = (x^{n-p+1}, ..., x^n)\).
关于记号
- 热衷于古典记号的人们把偏导数
\(D_1 f(x, y, z)\)
记作
- \(\frac{∂f(x, y, z)}{∂x} 或\) \frac{∂f}{∂x} \(或\) \frac{∂f}{∂x} (x, y, z) \(或\) \frac{∂}{∂x} f(x, y, z) $$
- 或任何其他方便的类似记号.
- 高阶导数用像这样的记号来表示:
- \[D_2 D_1 f(x, y, z) = \frac{∂^2 f(x, y, x)}{∂y ∂x}\]
- 当 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 时, 记号 \(∂\) 自动地恢复为 \(d\), 比如写作
- \(\frac{d \sin x}{dx}\) 而不是 \(\frac{∂ \sin x}{∂x}\).
- 记号
\(\frac{df}{dx}\)
多少有点诱人, 它已分别引出许多关于
\(dx\)
和
\(df\)
的定义 (通常是无意义的). 其唯一的目的是得出式子
- \(df = \frac{df}{dx} \cdot dx\).
- 若 \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), 则 \(df\) 的古典定义为
- \[df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy\]
- (且不论 \(dx\) 和 \(dy\) 表示什么).
AI 时代, 这种写书模式有点贬值了: 有较大的篇幅放证明过程.
积分
译者增补了部分习题的解答和提示, 属实是用心了!
- \(f\)
的所有下和的上确界小于或等于所有上和的下确界. 函数
\(f: A \to \mathbb{R}\)
称为在矩形
\(A\)
上可积, 如果
\(f\)
有界且
\(\sup \{ L(f, P) \} = \inf \{ U(f, P) \}\).
上和下确界和下和上确界的公共值记作
\(\int_A f\),
称为
\(f\)
在
\(A\)
上的
积分, 时常也采用 \(\int_A f(x^1, ..., x^n) dx^1 ... dx^n\) 这样的记号.- 若 \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\), 其中 \(a ≤ b\), 则 \(\int_a^b f = \int_{[a, b]} f\). 下面的定理给出了可积性的一个简单而有用的判别法.
- 定理 有界函数 \(f: A \to \mathbb{R}\) 可积的充分必要条件是对任何 \(ϵ > 0\) 都有 \(A\) 的一个划分 \(P\), 使得 \(U(f, P) - L(f, P) < ϵ\).
链上的积分
重线性函数 (\(k\) 阶张量): \(V^k \to \mathbb{R}\), 输入 k 个矢量, 线性性.
全体 \(k\) 阶张量的集合: \(\mathcal{I}^k (V)\).
张量积: 定义为两个重线性函数的标量积.
向量场与微分形式
微积分基本定理
流形上的积分
流形上的向量场和微分形式
流形上的斯托克斯定理
体积元素
一些经典定理
本书很薄, 不适合初学, 适宜作为对比读物.
本书稍显单薄, 个人依旧期盼一本值得收藏的概率论著作~
从这个角度讲,
以往没有被明确定义的随机变量和事件等概念首次有了明确的表达.
随机变量指的是可测函数, 而事件则表示为可测集合.
这种定义在近二三十年才慢慢得到广泛认可,
其精确的表达方式应归功于 A.Kolmogorov 先生.
伊藤清
1944 年秋, 东京
概要与背景
如本节开始谈到的那样, 这本 <伊藤清概率论> 的首要目的,
就是尽量做到让读者在有最小限度的预备知识的情况下,
或在无须参考其他书和论文的情况下也能读懂
Kolmogorov 在 1933 年的著作里,
介绍了已经确立的基础事项, 展示了概率论的新姿态.
为啥把这一篇文章放在书末? 明明应该放在开头! 毕竟这本书也不可能视作概率论的入门书!
概率论的基本概念
- 一个抽象空间
\(Ω\)
的完全加法族不是唯一的. 其中
\(\{ Ω, \varnothing \}\)
是最小的一个,
\(Ω\)
的所有子集的全体是最大的完全加法族. 如果
\(Ω\)
有多个完全加法族, 那么它们的交集仍然是
\(Ω\)
的完全加法族.
- 对于
\(Ω\)
的一个子集族, 包含这个子集族的
\(Ω\)
的最小完全加法族存在并且唯一,
称其为
由这个子集族生成的完全加法族.
- 对于
\(Ω\)
的一个子集族, 包含这个子集族的
\(Ω\)
的最小完全加法族存在并且唯一,
称其为
- 定义 给定抽象空间
\(Ω\)
与其上的一个完全加法族
\(\mathcal{F}\).
可测空间
\((Ω, \mathcal{F})\)
上满足
\(P(Ω) = 1\)
的测度
\(P\),
称为
\((Ω, \mathcal{F})\)
上的
概率测度.- 对于
\(E \in \mathcal{F}\),
称
\(P(E)\)
为
\(E\)
的
概率或 \(E\) 的P-测度. - 将
\(Ω\),
\(\mathcal{F}\),
\(P\)
一起考虑时, 所产生的序偶
\((Ω, \mathcal{F}, P)\)
称为
概率空间.
- 对于
\(E \in \mathcal{F}\),
称
\(P(E)\)
为
\(E\)
的