流形上的微积分 & 伊藤清概率论

• 流形上的微积分

缅怀: 齐民友

起点: 向量空间里的范数的性质, 范数的性质之一引出内积.

• 极化等式: \(\langle x, y \rangle = \frac{|x + y|^2 - |x - y|^2}{4}\)

开集, 闭集, 开覆盖, 紧集.

函数连续性: 除了极限语言, 还可以用开集.

• 函数 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a \in \mathbb{R}^n\) 处可微, 如果存在线性变换 \(λ: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得
  • \(\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - f(a) - λ(h)|}{|h|} = 0\).
  • 注意, \(h\) 是 \(\mathbb{R}^n\) 中的点, \(f(a + h) - f(a) - λ(h)\) 是 \(\mathbb{R}^m\) 中的点, 所以范数记号是必要的. 这个线性变换 \(λ\) 记作 \(Df(a)\), 称作 \(f\) 在 \(a\) 处的导数. 这里说 “这个线性变换 \(λ\)” 的理由如下.
  • 定理 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a \in \mathbb{R}^n\) 处可微, 则存在唯一的线性变换 \(λ: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 使得
  • \(\lim_{h \to 0} \frac{|f(a + h) - f(a) - λ(h)|}{|h|} = 0\).

雅可比矩阵

微分

偷懒, 原书公式的粗体字符, 均忽略. 比如: \(\mathbf{x}\), \(d \mathbf{x}\), \(f(\mathbf{x})\).

• 定理 (链式法则) 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a\) 处可微, \(g: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^p\) 在 \(f(a)\) 处可微, 则其复合 \(g \circ f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) 在 \(a\) 处可微, 且
  • \(D(g \circ f) (a) = Dg(f(a)) \circ Df(a)\).
  • 注: 此式可写成 \((g \circ f)'(a) = g'(f(a)) \cdot f'(a)\).
  • 若 \(m = n = p = 1\), 我们便得到初等微积分中的链式法则.
• (1) 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 是一个线性变换, 则
  • \(Df(a) = f\).
• (2) 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\), 则 \(f\) 在 \(a \in \mathbb{R}^n\) 处可微, 当且仅当每个 \(f^i\) 都是如此, 且
  • \(Df(a) = (D f^1(a), ..., D f^m(a))\).
  • 于是 \(f'(a)\) 是 \(m \times n\) 矩阵, 其第 \(i\) 行是 \((f^i)'(a)\).
• (3) 若 \(s: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 定义为 \(s(x, y) = x + y\), 则
  • \(Ds(a, b) = s\).
• (4) 若 \(p: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) 定义为 \(p(x, y) = x \cdot y\), 则
  • \(Dp(a, b)(x, y) = bx + ay\).
  • 于是 \(p'(a, b) = (b, a)\).
• 定理 若 \(D_{i,j} f\) 与 \(D_{j,i} f\) 在包含 \(a\) 的一个开集上连续, 则
  • \(D_{i,j} f(a) = D_{j,i} f(a)\).
  • 函数 \(D_{i,j} f\) 叫作 \(f\) 的二阶 (混合) 偏导数. 高阶 (混合) 偏导数的定义也显而易见. 显然, 该定理能用来证明在适当条件下高阶偏导数的相应等式. 若 \(f\) 有一切阶的连续偏导数, 则 \(D_{i_1, ..., i_k} f\) 中 \(i_1\), …, \(i_k\) 的次序是完全无所谓的.
  • 具有这种性质的函数称为 \(C^∞\) 函数. 在以下各章中, 为方便起见, 经常仅限于讨论 \(C^∞\) 函数.

• 定理 若 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) 在 \(a\) 处可微, 则对于 \(1 ≤ i ≤ m\), \(1 ≤ j ≤ n\), \(D_j f^i(a)\) 存在, 且 \(f'(a)\) 是 \(m \times n\) 矩阵 \((D_j f^i(a))\).

• 定理 设 \(g_1\), …, \(g_m\): \(\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\) 在 \(a\) 处连续可微, 并设 \(f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}\) 在 \((g_1(a), ..., g_m(a))\) 处连续可微. 用 \(F(x) = f(g_1(x), ..., g_m(x))\) 定义 \(F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}\), 则
  • \(D_i F(a) = \sum_{j=1}^m D_j f(g_1(a), ..., g_m(a)) \cdot D_i g_j(a)\).
• 定理 (反函数定理) 设 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\) 在包含 \(a\) 的一个开集上连续可微, 且 \(\det f'(a) ≠ 0\), 则存在包含 \(a\) 的开集 \(V\) 和包含 \(f(a)\) 的开集 \(W\), 使得 \(f: V \to W\) 有一个连续可微的反函数 \(f^{-1}: W \to V\), 且对一切 \(y \in W\) 满足
  • \((f^{-1})' (y) = [f'(f^{-1}(y))]^{-1}\).
• 定理 (隐函数定理) 设 \(f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m\) 在包含 \((a, b)\) 的一个开集上连续可微, 且 \(f(a, b) = 0\). 令 \(M\) 表示 \(m \times m\) 矩阵
  • \((D_{n+j} f^i(a, b))\), \(1 ≤ i,j ≤ m\).
  • 若 \(\det M ≠ 0\), 则必存在包含 \(a\) 的开集 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 和包含 \(b\) 的开集 \(B \subset \mathbb{R}^m\), 它们具有下列性质: 对每个 \(x \in A\), 存在唯一的 \(g(x) \in B\) 使得 \(f(x, g(x)) = 0\), 这个函数还是可微的.
• 定理 设 \(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^p\) 在包含 \(a\) 的一个开集上连续可微, 其中 \(p ≤ n\). 若 \(f(a) = 0\) 且 \(p \times n\) 矩阵 \((D_j f^i(a))\) 有秩 \(p\), 则存在开集 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 以及具有可微逆的可微函数 \(h: A \to \mathbb{R}^n\), 并且 \(h(A)\) 包含 \(a\), 使得
  • \(f ∘ h(x^1, ..., x^n) = (x^{n-p+1}, ..., x^n)\).

关于记号

• 热衷于古典记号的人们把偏导数 \(D_1 f(x, y, z)\) 记作
  • \(\frac{∂f(x, y, z)}{∂x}\) 或 \(\frac{∂f}{∂x}\) 或 \(\frac{∂f}{∂x} (x, y, z)\) 或 \(\frac{∂}{∂x} f(x, y, z)\)
  • 或任何其他方便的类似记号.
• 高阶导数用像这样的记号来表示:
  • \[D_2 D_1 f(x, y, z) = \frac{∂^2 f(x, y, z)}{∂y ∂x}\]
  • 当 \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) 时, 记号 \(∂\) 自动地恢复为 \(d\), 比如写作
  • \(\frac{d \sin x}{dx}\) 而不是 \(\frac{∂ \sin x}{∂x}\).
• 记号 \(\frac{df}{dx}\) 多少有点诱人, 它已分别引出许多关于 \(dx\) 和 \(df\) 的定义 (通常是无意义的). 其唯一的目的是得出式子
  • \(df = \frac{df}{dx} \cdot dx\).
  • 若 \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\), 则 \(df\) 的古典定义为
  • \[df = \frac{∂f}{∂x} dx + \frac{∂f}{∂y} dy\]
  • (且不论 \(dx\) 和 \(dy\) 表示什么).

AI 时代, 这种写书模式有点贬值了: 有较大的篇幅放证明过程.

积分

译者增补了部分习题的解答和提示, 属实是用心了!

• \(f\) 的所有下和的上确界小于或等于所有上和的下确界. 函数 \(f: A \to \mathbb{R}\) 称为在矩形 \(A\) 上可积, 如果 \(f\) 有界且 \(\sup \{ L(f, P) \} = \inf \{ U(f, P) \}\). 上和下确界和下和上确界的公共值记作 \(\int_A f\), 称为 \(f\) 在 \(A\) 上的积分, 时常也采用 \(\int_A f(x^1, ..., x^n) dx^1 ... dx^n\) 这样的记号.
  • 若 \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\), 其中 \(a ≤ b\), 则 \(\int_a^b f = \int_{[a, b]} f\). 下面的定理给出了可积性的一个简单而有用的判别法.
  • 定理 有界函数 \(f: A \to \mathbb{R}\) 可积的充分必要条件是对任何 \(ϵ > 0\) 都有 \(A\) 的一个划分 \(P\), 使得 \(U(f, P) - L(f, P) < ϵ\).
• 定理 令 \(A\) 为一个闭矩形, \(f: A \to \mathbb{R}\) 为一个有界函数. 令 \(B = \{ x: f \mbox{ 在 } x \mbox{ 处不连续} \}\), 则 \(f\) 可积, 当且仅当 \(B\) 为测度 \(0\) 集合.
  • 边界具有测度 \(0\) 的有界集称为约当可测的. 积分 \(\int_C 1\) 称为 \(C\) 的 (\(n\) 维) 容度或 (\(n\) 维) 体积. 一维体积通常自然地称为长度, 二维体积称为面积.
• 若 \(f: A \to \mathbb{R}\) 是一个闭矩形上的有界函数, 不论 \(f\) 是否可积, 所有下和的上确界和所有上和的下确界都存在. 它们分别称为 \(f\) 在 \(A\) 上的下积分和上积分, 记作
  • \(L \int_A f\) 和 \(U \int_A f\).
• 定理 (富比尼定理) 令 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 和 \(B \subset \mathbb{R}^m\) 均为闭矩形, \(f: A \times B \to \mathbb{R}\) 可积. 对 \(x \in A\), 定义 \(g_x: B \to \mathbb{R}\) 为 \(g_x (y) = f(x, y)\). 再令
  • \(\mathcal{L} (x) = L \int_B g_x = L \int_B f(x, y) dy\),
  • \(\mathcal{U} (x) = U \int_B g_x = U \int_B f(x, y) dy\),
  • 于是 \(\mathcal{L}\) 和 \(\mathcal{U}\) 在 \(A\) 上均可积, 且
  • \(\int_{A \times B} f = \int_A \mathcal{L} = \int_A (L \int_B f(x, y) dy) dx\),
  • \(\int_{A \times B} f = \int_A \mathcal{U} = \int_A (U \int_B f(x, y) dy) dx\).
  • 式子右边的积分称为 \(f\) 的逐次积分.
• 定理 令 \(A \subset \mathbb{R}^n\), 令 \(\mathcal{O}\) 为 \(A\) 的一个开覆盖, 则必有 \(C^{∞}\) 函数 \(φ\) 的一个集合 \(Φ\), 其中 \(φ\) 定义在包含 \(A\) 的一个开集上, 且具有下列性质.
  • (1) 对于每个 \(x \in A\) 我们有 \(0 ≤ φ(x) ≤ 1\).
  • (2) 对于每个 \(x \in A\) 均有包含 \(x\) 的一个开集 \(V\) 使得在其上只有有限多个 \(φ \in Φ\) 不为 \(0\).
  • (3) 对于每个 \(x \in A\), 我们有 \(\sum_{φ \in Φ} φ(x) = 1\). (由 (2) 可知, 对每个 \(x\), 在包含 \(x\) 的某开集上这个和是有限的.)
  • (4) 对于每个 \(φ \in Φ\), 均有 \(\mathcal{O}\) 中的一个开集 \(U\), 使得在含于 \(U\) 中的某闭集之外有 \(φ = 0\).
  • (一组满足 (1) 到 (3) 的函数集 \(Φ\) 称为 \(A\) 的 \(C^{∞}\) 单位分解. 若 \(Φ\) 也满足 (4), 就说它从属于 \(\mathcal{O}\). 在本章中, 我们只用到函数 \(φ\) 的连续性.)
• 单位分解的一个重要应用可以说明它的主要作用, 把局部得到的结果拼接起来. 开集 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 的一个开覆盖 \(\mathcal{O}\) 称为容许的, 如果每个 \(U \in \mathcal{O}\) 都包含在 \(A\) 中. 若 \(Φ\) 从属于 \(\mathcal{O}\), \(f: A \to \mathbb{R}\) 在 \(A\) 中每一点周围的某开集上都有界, 并且 \(\{ x: f \mbox{ 在 } x \mbox{ 处不连续} \}\) 有测度 \(0\), 则此时每个 \(\int_A φ \cdot |f|\) 都存在.
  • 如果 \(\sum_{φ \in Φ} \int_A φ \cdot |f|\) 收敛 (这些 \(φ\) 可以排成一个序列), 我们就定义 \(f\) 为 (广义) 可积的.
  • 这隐含着 \(\sum_{φ \in Φ} |\int_A φ \cdot f|\) 收敛, 即 \(\sum_{φ \in Φ} \int_A φ \cdot f\) 绝对收敛. 我们把它定义为 \(\int_A f\). 这些定义都与 \(\mathcal{O}\) 和 \(Φ\) 无关.
• 定理 (1) 若 \(Ψ = |ψ|\) 是另一个从属于 \(A\) 的容许开覆盖 \(\mathcal{O}'\) 的单位分解, 并且 \(\{ x: f \mbox{ 在 } x \mbox{ 处不连续} \}\) 有测度 \(0\), 则 \(\sum_{ψ \in Ψ} \int_A ψ \cdot |f|\) 也收敛, 且
  • \(\sum_{φ \in Φ} \int_A φ \cdot f = \sum_{ψ \in Ψ} \int_A ψ \cdot f\).
  • (2) 若 \(A\) 和 \(f\) 有界, 则 \(f\) 广义可积.
  • (3) 若 \(A\) 约当可测且 \(f\) 有界可积, 则 \(\int_A f\) 的这个定义与原来的一致.
• 定理 令 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 为一个开集, \(g: A \to \mathbb{R}^n\) 为一个一一映射的连续可微函数, 使得对一切 \(x \in A\) 有 \(\det g'(x) ≠ 0\). 若 \(f: g(A) \to \mathbb{R}\) 是一个可积函数, 则有
  • \(\int_{g(A)} f = \int_{A} (f \circ g) \mid \det g' \mid\).
  • 利用下面的定理就可以在上述定理的假设中去掉 \(\det g'(x) ≠ 0\) 的条件. 下面的定理常起到意想不到的作用.
• 定理 (萨德定理) 令 \(g: A \to \mathbb{R}^n\) 连续可微, 其中 \(A \subset \mathbb{R}^n\) 是一个开集, 再令 \(B = \{ x \in A: \det g'(x) = 0 \}\), 则 \(g(B)\) 具有测度 \(0\).

链上的积分

重线性函数 (\(k\) 阶张量): \(V^k \to \mathbb{R}\), 输入 k 个矢量, 线性性.

全体 \(k\) 阶张量的集合: \(\mathcal{I}^k (V)\).

张量积: 定义为两个重线性函数的标量积.

• 定理 令 \(v_1\), …, \(v_n\) 是 \(V\) 的一组基, \(φ_1\), …, \(φ_n\) 为其对偶基: \(φ_i(v_j) = δ_{ij}\), 则所有 \(k\) 重张量积
  • \(φ_{i_1} \otimes ... \otimes φ_{i_k}\), \(1 ≤ i_1, ..., i_k ≤ n\)
  • 的集合是 \(\mathcal{L}^k (V)\) 的一组基, 故 \(\mathcal{L}^k (V)\) 的维数是 \(n^k\).
• 对于对偶空间而言很常见的一个重要构造也可以用于张量. 若 \(f: V \to W\) 是一个线性变换, 我们定义线性变换 \(f^{*}: \mathcal{L}^k (W) \to \mathcal{L}^k (V)\) 为
  • \(f^{*} T(v_1, ..., v_k) = T(f(v_1), ..., f(v_k))\),
  • 这里 \(T \in \mathcal{L}^k (W)\), \(v_1\), …, \(v_k \in V\). 容易验证 \(f^{*} (S \otimes T) = f^{*} S \otimes f^{*} T\).
• 除 \(V^{*}\) 的元素之外, 读者已经见过一些张量. 第一个例子是内积 \(\langle , \rangle \in \mathcal{L}^2 (\mathbb{R}^n)\). 任何好的数学内容都值得推广, 所以我们定义 \(V\) 上的内积为一个对称, 正定的二阶张量 \(T\).
  • 所谓对称指 \(T(v, w) = T(w, v)\), \(v, w \in V\), 所谓正定指当 \(v ≠ 0\) 时 \(T(v, v) > 0\).
  • 我们特以 \(\langle , \rangle\) 专指 \(\mathbb{R}^n\) 上的通常内积. 下面的定理说明, 我们的推广并不过分空泛.
• 定理 若 \(T\) 是 \(V\) 上的一个内积, 则必有 \(V\) 的一组基 \(v_1\), …, \(v_n\) 使得 \(T(v_i, v_j) = δ_{ij}\). (这组基称为 \(T\) 的标准正交基.) 因此必有一个同构 \(f: \mathbb{R}^n \to V\) 使得对 \(x, y \in \mathbb{R}^n\) 有 \(T(f(x), f(y)) = \langle x, y \rangle\).
  • 换言之, \(f^{*} T = \langle , \rangle\).
• 内积尽管重要, 其作用却远不如另一个人们熟悉的, 几乎无处不在的函数, 即张量 \(\det \in \mathcal{L}^n (\mathbb{R}^n)\). 在打算推广这个函数时, 回想一下, 交换矩阵的两行会改变其行列式的符号. 这一点启发我们给出下面的定义.
  • \(k\) 阶张量 \(ω \in \mathcal{L}^k (V)\) 称为交错的, 如果对一切 \(v_1\), …, \(v_k \in V\) 有
  • \(ω(v_1, ..., v_i, ..., v_j, ..., v_k) = - ω(v_1, ..., v_j, ..., v_i, ..., v_k)\).
  • (上式中 \(v_i\) 与 \(v_j\) 对换了, 其他未动.) 一切交错 \(k\) 阶张量的集合显然是 \(\mathcal{L}^k (V)\) 的子空间 \(Ω^k (V)\). 要给出一个行列式都相当费事, 写出交错 \(k\) 阶张量也不容易, 这并不奇怪. 但是有一个统一的方法把它们全都表示出来.
  • 回忆一下, 一个排列 \(σ\) 的符号 \(\mbox{sgn} σ\) 的定义如下: 当 \(σ\) 为偶时 \(\mbox{sgn} σ\) 为 \(+1\), 当 \(σ\) 为奇时 \(\mbox{sgn} σ\) 为 \(-1\). 若 \(T \in \mathcal{L}^k (V)\), 我们定义 \(\mbox{Alt} (T)\) 为
  • \(\mbox{Alt} (T) (v_1, ..., v_k) = \frac{1}{k!} \sum_{σ \in S_k} \mbox{sgn} σ \cdot T(v_{σ(1)}, ..., v_{σ(k)})\),
  • 其中 \(S_k\) 是整数 \(1\) 到 \(k\) 的一切排列的集合.
  • 译者注: \(\det \in \mathcal{L}^n (\mathbb{R}^n)\) 的定义是 \(\det ( (a_{1l}, ..., a_{1n}), ..., (a_{n1}, ..., a_{nn}) ) = \det(a_{ij})\). 下面会看到, 它是一个交错 \(n\) 阶张量: \(\det \in Ω^n (\mathbb{R}^n)\).
• 定理 (1) 若 \(T \in \mathcal{L}^k (V)\), 则 \(\mbox{Alt} (T) \in Ω^k (V)\).
  • (2) 若 \(ω \in Ω^k (V)\), 则 \(\mbox{Alt} (ω) = ω\).
  • (3) 若 \(T \in \mathcal{L}^k (V)\), 则 \(\mbox{Alt} (\mbox{Alt} (T)) = \mbox{Alt} (T)\).
• 为了确定 \(Ω^k (V)\) 的维数, 我们希望有一个定理. 若 \(ω \in Ω^k (V)\), \(η \in Ω^l (V)\), 则 \(ω \otimes η\) 通常当然不在 \(Ω^{k + l} (V)\) 中. 因此, 我们要定义一个新的乘积, 即楔积 \(ω \land η \in Ω^{k + l} (V)\). 定义如下:
  • \(ω \land η = \frac{(k + l)!}{k!l!} \mbox{Alt} (ω \otimes η)\).
  • (为何要乘以式子前面这个奇怪的系数, 以后我们会看出来.)
• 定理 (1) 若 \(S \in \mathcal{L}^k (V)\), \(T \in \mathcal{L}^l (V)\) 且 \(\mbox(Alt) (S) = 0\), 则
  • \(\mbox(Alt) (S \otimes T) = \mbox{Alt} (T \otimes S) = 0\).
  • (2) \(\mbox{Alt} (\mbox{Alt} (ω \otimes η) \otimes θ) = \mbox{Alt} (ω \otimes η \otimes θ) = \mbox{Alt} (ω \otimes \mbox{Alt} (η \otimes θ))\)
  • (3) 若 \(ω \in Ω^k (V)\), \(η \in Ω^l (V)\) 且 \(θ \in Ω^m (V)\), 则
  • \((ω \land η) \land θ = ω \land (η \land θ) = \frac{(k + l + m)!}{k!l!m!} \mbox{Alt} (ω \otimes η \otimes θ)\).

• 若 \(v_1\), …, \(v_n\) 是 \(V\) 的一组基, 且 \(φ_1\), …, \(φ_n\) 是其对偶基, 则 \(Ω^k (V)\) 的一组基现在就很容易构造出来了.

• 定理 \(Ω^k (V)\) 的一组基是全体
  • \(φ_{i_1} \land ... \land φ_{i_k}\), \(1 ≤ i_1 < ... < i_k ≤ n\)
  • 的集合, 所以 \(Ω^k (V)\) 的维数是
  • \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!}\).

向量场与微分形式

微积分基本定理

流形上的积分

流形上的向量场和微分形式

流形上的斯托克斯定理

体积元素

一些经典定理

• 译者注: 本书中出现的记号 \(Λ^k(V)\) 是不正确的, 因为它与 \(Λ^k(V)\) 的标准的定义 (作为 \(V\) 的张量代数的某个商) 不符. 我们讲的这个向量空间 (对于有限维向量空间 \(V\), 它自然同构于 \(Λ^k(V^{*})\)), 记号 \(Ω^k(V)\) 可能会日益成为标准记号.

本书很薄, 不适合初学, 适宜作为对比读物.

• 伊藤清概率论
  • 毫无疑问, 普林斯顿概率论读本 最适合入门. 但侧重应用而非数学内涵~
  • 一来, 语言多少有点啰嗦; 其次, 注重通俗易懂, 自然没法高屋建瓴; 最后, 重于应用, 而非概率思想; 没有测度, 没有概率理论现代化的脉络.
  • 应用随机过程 同样重于应用而非概率思想. 更像工具书~

本书稍显单薄, 个人依旧期盼一本值得收藏的概率论著作~

从这个角度讲,
以往没有被明确定义的随机变量和事件等概念首次有了明确的表达.
随机变量指的是可测函数, 而事件则表示为可测集合.
这种定义在近二三十年才慢慢得到广泛认可,
其精确的表达方式应归功于 A.Kolmogorov 先生.

伊藤清
1944 年秋, 东京

概要与背景

如本节开始谈到的那样, 这本 <伊藤清概率论> 的首要目的,
就是尽量做到让读者在有最小限度的预备知识的情况下,
或在无须参考其他书和论文的情况下也能读懂
Kolmogorov 在 1933 年的著作里,
介绍了已经确立的基础事项, 展示了概率论的新姿态.

为啥把这一篇文章放在书末? 明明应该放在开头! 毕竟这本书也不可能视作概率论的入门书!

概率论的基本概念

• 一个抽象空间 \(Ω\) 的完全加法族不是唯一的. 其中 \(\{ Ω, \varnothing \}\) 是最小的一个, \(Ω\) 的所有子集的全体是最大的完全加法族. 如果 \(Ω\) 有多个完全加法族, 那么它们的交集仍然是 \(Ω\) 的完全加法族.
  • 对于 \(Ω\) 的一个子集族, 包含这个子集族的 \(Ω\) 的最小完全加法族存在并且唯一, 称其为由这个子集族生成的完全加法族.
• 定义 给定抽象空间 \(Ω\) 与其上的一个完全加法族 \(\mathcal{F}\). 可测空间 \((Ω, \mathcal{F})\) 上满足 \(P(Ω) = 1\) 的测度 \(P\), 称为 \((Ω, \mathcal{F})\) 上的概率测度.
  • 对于 \(E \in \mathcal{F}\), 称 \(P(E)\) 为 \(E\) 的概率或 \(E\) 的 P-测度.
  • 将 \(Ω\), \(\mathcal{F}\), \(P\) 一起考虑时, 所产生的序偶 \((Ω, \mathcal{F}, P)\) 称为概率空间.

实值随机变量的概率分布

概率空间的构成

大数定律

随机变量序列

随机过程