当年 (2022), 我将信将疑彭罗斯在本书序言所谓: 本书的阅读不需要高深的数学知识. 事实证明这个糟老头子坏得很! 当下 (2025), 再回顾彼时的意难平, 看看此刻有几分进步!
顺便说一句, 这本书其实不好翻译, 尤其后半部分. (我也不知道译者熟悉多少~) 所以, 稀里糊涂看吧, 主要是启迪. (本书范围之广, 对于彭罗斯是否过于信马由缰, 谁又知否~)
我们相信 3/8 可简单理解为某种真实的存在物,
而"数对的无限集合"仅仅是炫耀学问的一种手段,
一旦领悟了概念的确切含义, 这种手段就可以丢弃了.
事实上, 大量的数学知识都是靠这种方式得以理解的.
读者可能会认为本书实际上是在探讨数学和物理之间的关系,
以及两者的互动发展如何强烈左右着人们寻找更好的宇宙理论的各种动机.
从目前的进展看来, 这些动机的一个共同的基本要素是源于人们对数学的美感,
深度和精密性的判断. 显然, 这种数学影响力可能至关重要,
20 世纪物理学中最成功的几项进展都与此相关:
狄拉克的电子方程, 量子力学的一般框架, 爱因斯坦的广义相对论.
但是, 即使在所有这些例子中,
物理学的考察, 最终是观测证据, 才是接受这些理论的最重要判据.
狄拉克的电子方程, 量子力学的一般框架, 爱因斯坦的广义相对论.
的确存在着其他数学命题, 其正确性只能当然地认为是某种"观念的产物".
最为人熟知的可能是选择公理. 这个公理的内容眼下并不重要,
此处它仅仅作为一个例证.
大多数数学家会认为选择公理"显然正确", 而另一些人则认为这个命题还需推敲,
甚至可能就是错的 (我本人在某种程度上倾向于后一种观点).
还有人将这个命题的"真理性"当作观念的产物,
或者说某种依赖于所选择的公理系统及论证程序规则 (形式系统) 的事物.
神神叨叨才是彭罗斯~
感谢彭罗斯在本书的克制, 仅仅在开篇浅聊了下
意识.
然而, 到了 19, 20 世纪之交,
认为数学上数的概念应与物理空间的性质分离开来的观点已经出现.
由于数学上出现了不同于欧几里得的相容的几何, 因此,
坚持数学上"几何"概念必定是从"真实"物理空间的假定性质中抽取出来的观点显然是不合时宜的.
更主要的是, 根据非完美物理对象的行为来断定这种假想的基本"柏拉图物理几何"的具体性质,
如果不是不可能的, 起码也是非常困难的.
例如, 要根据所定义的"几何距离"来了解数的性质, 就需要知道无穷小和无穷大距离上会发生什么.
甚至在今天, 这些问题也还没有明确无误的答案.
因此, 通过不直接依赖于物理测量来发展数的性质是非常合适的一种做法.
正由此, 戴德金和康托尔借助于不直接涉及几何的概念发展了他们的何"谓"实数的思想.
戴德金的实数定义是根据有理数的无穷集给出的.
复数
有时会有这样的事情:
通过发散表达式得到的极为精确的答案很偶然地在与物理实验结果的比较中被确认了.
但更多的则经常是不走运. 这些微妙的处理在现代物理理论中起着非常重要的作用,
人们经常在评估理论时用到它. 与我们这里的讨论直接相关的是,
这种对如此明显的无意义表达式的"感觉"经常取决于复数的性质.
- 一般认为, 对于任意幂级数
- \[a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ...\]
- 在复平面上总存在以原点
\(0\)
为中心的某个圆, 称为
收敛圆, 它具有这样的性质: - 如果复数 \(z\) 严格处于圆内, 则级数收敛到 \(z\) 点的值; 如果 \(z\) 严格处于圆外, 则级数在 \(z\) 点发散. (当 \(z\) 恰巧处于圆上, 此时级数是收敛还是发散是个较为微妙的问题.)
我们将看到, 对数在复数间的关系上具有基础性地位.
在非常明确的意义上, 复数的幅角实际上就是一个对数.
\(e^z\), 或者写作 exp, 作为指数函数, 有幂级数展开. 由于 \(e^z\) 太常见了 (往往取: 幂级数展开), 有时会让人直觉上搞混指数函数和幂函数.
本书用 \(\log\), 不带下标 (底), 表示 \(\ln\)
- 如果
\([r, θ]\)
是
\(w\)
的极坐标表示, 那么我们就可以按普通的笛卡儿形式
(\(z = x + iy\))
写出对数
\(z\):
\(z = \log r + iθ\),
- 我们不妨对表达式 \(z = \log r + iθ\) 取指数, 得到
- \[w = e^z = e^{\log r + iθ} = e^{\log r} e^{iθ} = r e^{iθ}\]
- 它说明, 复数 \(w\) 的极坐标表达式可以更明确地写成 \(w = r e^{iθ}\).
- 不同的
\(w^z\)
(\(= e^{z \log w}\))
值. 任意整数倍的
\(2πi\)
可加到
\(\log w\)
上以得到另一个容许值, 这意味着我们可以用
\(e^{z 2πi}\)
的任意整数倍来乘或除
\(w^z\)
得到的还是这个
“\(w^z\)”.
- 在一般情形下, 这些数表现为复平面上两等角螺线的交点 (等角螺线是一种与所有过极点的射线的交角都相等的平面曲线).
复对数的这种特征似乎是一种让人恼火的事情. 然而,
它却是复数最有力, 有用和神奇性质的核心. 复分析的关键全在于此.
复对数的这种特征: 多值性
- 由于镜像反射 (或取反粒子) 的概念相当于”平方到 1”
(即操作两次回到出发点), 这种量子数, 我们称其为
\(ϵ\),
有性质
\(ϵ^2 = 1\),
因此它必为
\(n = 2\)
的
“\(n\)
次单位根” (即
\(ϵ = +1\)
或
\(ϵ = -1\)).
这个概念只是近似的, 因为宇称在所谓”弱相互作用”下不是守恒量,
也正因此, 某些粒子没有明确定义的宇称概念.
- 此外, 在通常的描述中, 宇称概念只用于所谓玻色子的粒子族. 其余的粒子则属于另一族, 即所谓费米子. 作为一种现象, 我们有必要搞清楚当我们将粒子态持续转过 \(2π\) (即 \(360°\)) 时将发生什么事情. 我们说, 在这种转动下, 只有玻色子恢复到原状态, 而费米子则要操作两次才能回到原状态.
- 因此, 我们可将乘积性量子数
\(-1\)
赋给费米子, 而将
\(+1\)
赋给玻色子, 由此来描述
费米子/玻色子的性质. 这样我们就有了 \(n = 2\) 情形下的另一种乘积性量子数. 就目前所知, 这种量子数才是严格的乘积性量子数.
- 在我看来, 宇称概念也可以运用于费米子, 虽然它不是传统意义上的那种.
这必须与
费米子/玻色子的量子数是 \(n = 4\) 的复合乘积性量子数这一点结合起来. 对费米子, 宇称值可以是 \(+i\) 或 \(-i\), 其两次镜像反射具有 \(2π\) 转动的效果. 对玻色子, 宇称值可以和以前一样, 是 \(±1\).- \(n = 3\) 情形下的乘积性量子数就是我以前说的夸克性. (这不是一个标准的术语, 通常也不指量子数这样的概念, 但它反映了当今粒子物理中一个重要方面.) 这些夸克具有非整数倍而是 \(\frac{1}{3}\) 倍电子电荷的电荷值. 但是, 夸克不能作为独立粒子存在, 它们的复合物只能在其总电荷数加起来为电子电荷的整数倍时才可能独立存在.
- 令 \(q\) 为以电子电荷的负值为单位测得的电荷值 (这样, 电子本身在此单位下为 \(q = -1\), 通常规定电子电荷为负值). 对夸克, 我们有 \(q = 2/3\) 或 \(- 1/3\), 对反夸克, \(q = 1/3\) 或 \(- 2/3\). 因此, 如果我们将夸克性的乘积性量子数取为 \(e^{-2qπi}\), 就会发现它取值 \(1\), \(ω\) 和 \(ω^2\). 夸克的夸克性是 \(ω\), 反夸克的夸克性是 \(ω^2\). 自身能够独立存在的粒子其夸克性只能是 \(1\). 夸克性自由度构成循环群 \(\mathbb{Z}_3\).
微积分
"曲率" 是一种与所谓 "二次导数" 有关的运算, 就是说要做两次微分.
局部上看, 复数可微性与可展开成幂级数是等价的, 这也是复数魔力的一个真正所在.
- 函数
\(f(x)\)
称为在
\(p\)
点是解析的, 如果它在
\(x - p\)
的某个区间上可以展开成幂级数的话. 如果函数
\(f(x)\)
在定义域的所有点上都是解析的, 我们就说它是
解析函数.
常常是积分本身提供了新函数的定义. 在这个意义上说, 显积分是"困难的".
但另一方面, 如果我们不把注意力放在显性表达式上,
而是放在作为给定函数的导数或被积函数的存在性问题上, 那么情况就大不一样了.
这时积分是一种平稳的运算, 而微分则可能引起问题. 这些特点对数值型计算也是一样的.
基本上说, 微分的问题在于它强烈依赖于待微函数的细节.
如果我们没有待微函数的显性表达式, 就有可能出问题.
而积分对这种细节要求就非常不敏感, 我们关心的是被积函数的宽泛的整体性质.
我们看到, 复光滑为欧拉的函数概念提供了一种比幂级数展开更为简洁的表达方式.
这种意义上的复光滑 (复解析) 函数称为全纯的.
复数域, 先积分, 再微分~
本书前半部分的特色从这里就开始体现了: 首先, 读者不可能指望每一章的内容有多深, 至少不可能让你入门; 但是, 确实简明扼要的做了一些概述. 加之以作者的个人点评~
-
函数在原点的取值完全等同于它在原点周边的一系列点上的取值. 柯西公式基本上就是
柯西-黎曼方程与上述表达式 \(\oint z^{-1} dz = 2πi\) 在取小环极限时的共同推论. -
显然, 在上面的讨论中, 原点没有任何特殊性. 利用泰勒级数我们同样可以给出 \(f(z)\) 关于复平面上另一点 \(p\) 点处的幂级数. 为此我们只要将原点移至 \(p\) 点就可得到”原点位移后”的柯西公式
- \(\frac{1}{2πi} \oint \frac{f(z)}{(z - p)} dz = f(p)\).
- 和 \(n\) 阶导数表达式
- \(\frac{n!}{2πi} \oint \frac{f(z)}{z - p}^{n + 1} dz = f^{(n)} (p)\).
- 这里周线环绕的是复平面上的 \(p\) 点. 因此, 复光滑意味着在定义域内处处解析 (全纯性).
我选择说明论证的基础, 即局部上看, 复光滑意味着解析性,
而不是单纯地要求读者盲目相信其结果,
是因为这是一种数学家经常采用的得到结果的有效方法.
不论是论证的前提 (f(z) 是复光滑的) 还是结果 (f(z) 是解析的)
都不包含对周线积分概念或复对数多值性概念的暗示.
但是, 这些内容为找到正确答案提供了关键线索.
黎曼曲面和复映射
这里各对数值之间不会有任何冲突, 因为它的定义域是一种展开的环绕空间
(黎曼曲面的一个例证). 这是一种细节上不同于复平面本身的空间.
- 事实上,
\(\log z\)
的黎曼曲面只是这种曲面里最简单的一种. 它只是提示我们其中都有什么. 函数
\(z^a\)
的黎曼曲面要比
\(\log z\)
稍有意思些, 但这也只是在
\(a\)
为有理数时是如此. 当
\(a\)
是无理数时,
\(z^a\)
的黎曼曲面具有和
\(\log z\)
的一样的结构, 而在
\(a\)
是有理数时, 假设其最简形式为
\(a = m / n\),
则旋转面转了
\(n\)
圈后将回到出发点.
- 在所有这些例子中, 原点
\(z = 0\)
称为
分支点. 如果旋转面转了 \(n\) 圈后回到出发点 (在 \(z^{m / n}\) 中, \(m\) 和 \(n\) 无公因子), 我们就说这个分支点有有限阶, 或称它是 \(n\) 阶的.
- 在所有这些例子中, 原点
\(z = 0\)
称为
黎曼曲面是一般流形概念的第一个例子. 流形是一种局部 (即在点的足够小邻域内)
"弯曲"的空间, 它看上去像通常的欧几里得空间.
流形可看成是由许多不同的拼块拼贴而成的, 这种拼贴是无缝的.
无缝拼贴的性质是指两个拼块之间总能够保证有适当的 (开集) 重叠.
在黎曼曲面情形, 流形 (即黎曼曲面本身)
是由不同的"叶"所对应的复平面拼块粘合成一个整体而构成的.
像上面的情形一样, 最后也有几个有限阶分支点留下的"洞",
而这些洞也一样可以补起来. 对于无穷阶分支点,
事情要复杂些, 这里很难作简单的一般性叙述.
大致上说, 在共形几何里, 我们感兴趣的是形状而不是大小,
这里指的是无限小尺度下的形状. 在从一个 (开) 平面区域到另一个
(开) 平面区域的共形映射下, 有限大小的形状通常是要变形的,
但无限小的形状则保持不变.
我们认为这种性质可以用到平面上的小 (无限小的) 圆上.
在共形映射下, 这些小圆可扩张也可收缩, 但不会变形成小椭圆.
f 的全纯性实际上等价于共形且非反射的映射
(非反射, 或保定向, 是指变换中保形的小块形状不是反射的, 即不是"颠倒的").
为了检验这种映射的无穷小性质, 我们在一个平面上画出点 z 的紧邻域,
并将它映射到另一个平面上 w 的紧邻域. 而要检验点的这种紧邻域性质,
我们想象用一个巨大的系数分别将 z 和 w 的邻域放大, 在极限情形下,
从 z 的扩充邻域到 w 的扩充邻域的映射就变成了简单的平面线性变换. 由此可知,
在一般情形下, 从 z 的邻域到 w 的邻域的变换可简单地看成是一种带均匀扩充
(或收缩) 的转动. 也就是说, 小的形状 (或夹角) 是不变的,
而且没有反射, 这说明这种映射确实是共形且非反射的.
涉及全纯变换的众多自由度的判定可通过著名的黎曼映射定理来取得.
这个定理是说, 如果我们在复平面上有某个由非自交闭环界定的闭区域,
则存在全纯映射将该区域匹配到闭单位圆.