再读 通向实在之路 彭罗斯 (上)

• 通向实在之路

当年 (2022), 我将信将疑彭罗斯在本书序言所谓: 本书的阅读不需要高深的数学知识. 事实证明这个糟老头子坏得很! 当下 (2025), 再回顾彼时的意难平, 看看此刻有几分进步!

顺便说一句, 这本书其实不好翻译, 尤其后半部分. 所以, 稀里糊涂看吧, 主要是启迪. (本书范围之广, 对于彭罗斯是否过于信马由缰, 谁又知否~)

章节阅读顺序不按照原书顺序~

我们相信 3/8 可简单理解为某种真实的存在物,
而"数对的无限集合"仅仅是炫耀学问的一种手段,
一旦领悟了概念的确切含义, 这种手段就可以丢弃了.
事实上, 大量的数学知识都是靠这种方式得以理解的.

读者可能会认为本书实际上是在探讨数学和物理之间的关系,
以及两者的互动发展如何强烈左右着人们寻找更好的宇宙理论的各种动机.
从目前的进展看来, 这些动机的一个共同的基本要素是源于人们对数学的美感,
深度和精密性的判断. 显然, 这种数学影响力可能至关重要,
20 世纪物理学中最成功的几项进展都与此相关:
狄拉克的电子方程, 量子力学的一般框架, 爱因斯坦的广义相对论.
但是, 即使在所有这些例子中,
物理学的考察, 最终是观测证据, 才是接受这些理论的最重要判据.

狄拉克的电子方程, 量子力学的一般框架, 爱因斯坦的广义相对论.

的确存在着其他数学命题, 其正确性只能当然地认为是某种"观念的产物".
最为人熟知的可能是选择公理. 这个公理的内容眼下并不重要,
此处它仅仅作为一个例证.
大多数数学家会认为选择公理"显然正确", 而另一些人则认为这个命题还需推敲,
甚至可能就是错的 (我本人在某种程度上倾向于后一种观点).
还有人将这个命题的"真理性"当作观念的产物,
或者说某种依赖于所选择的公理系统及论证程序规则 (形式系统) 的事物.

神神叨叨才是彭罗斯~

感谢彭罗斯在本书的克制, 仅仅在开篇浅聊了下意识.

然而, 到了 19, 20 世纪之交,
认为数学上数的概念应与物理空间的性质分离开来的观点已经出现.
由于数学上出现了不同于欧几里得的相容的几何, 因此,
坚持数学上"几何"概念必定是从"真实"物理空间的假定性质中抽取出来的观点显然是不合时宜的.
更主要的是, 根据非完美物理对象的行为来断定这种假想的基本"柏拉图物理几何"的具体性质,
如果不是不可能的, 起码也是非常困难的.
例如, 要根据所定义的"几何距离"来了解数的性质, 就需要知道无穷小和无穷大距离上会发生什么.
甚至在今天, 这些问题也还没有明确无误的答案.
因此, 通过不直接依赖于物理测量来发展数的性质是非常合适的一种做法.
正由此, 戴德金和康托尔借助于不直接涉及几何的概念发展了他们的何"谓"实数的思想.
戴德金的实数定义是根据有理数的无穷集给出的.

复数

有时会有这样的事情:
通过发散表达式得到的极为精确的答案很偶然地在与物理实验结果的比较中被确认了.
但更多的则经常是不走运. 这些微妙的处理在现代物理理论中起着非常重要的作用,
人们经常在评估理论时用到它. 与我们这里的讨论直接相关的是,
这种对如此明显的无意义表达式的"感觉"经常取决于复数的性质.

• 一般认为, 对于任意幂级数
  • \[a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + ...\]
  • 在复平面上总存在以原点 \(0\) 为中心的某个圆, 称为收敛圆, 它具有这样的性质:
  • 如果复数 \(z\) 严格处于圆内, 则级数收敛到 \(z\) 点的值; 如果 \(z\) 严格处于圆外, 则级数在 \(z\) 点发散. (当 \(z\) 恰巧处于圆上, 此时级数是收敛还是发散是个较为微妙的问题.)

我们将看到, 对数在复数间的关系上具有基础性地位.
在非常明确的意义上, 复数的幅角实际上就是一个对数.

\(e^z\), 或者写作 exp, 作为指数函数, 有幂级数展开. 由于 \(e^z\) 太常见了 (往往取: 幂级数展开), 有时会让人直觉上搞混指数函数和幂函数.

本书用 \(\log\), 不带下标 (底), 表示 \(\ln\)

• 如果 \([r, θ]\) 是 \(w\) 的极坐标表示, 那么我们就可以按普通的笛卡儿形式 (\(z = x + iy\)) 写出对数 \(z\): \(z = \log r + iθ\),
  • 我们不妨对表达式 \(z = \log r + iθ\) 取指数, 得到
  • \[w = e^z = e^{\log r + iθ} = e^{\log r} e^{iθ} = r e^{iθ}\]
  • 它说明, 复数 \(w\) 的极坐标表达式可以更明确地写成 \(w = r e^{iθ}\).
• 不同的 \(w^z\) (\(= e^{z \log w}\)) 值. 任意整数倍的 \(2πi\) 可加到 \(\log w\) 上以得到另一个容许值, 这意味着我们可以用 \(e^{z 2πi}\) 的任意整数倍来乘或除 \(w^z\) 得到的还是这个 “\(w^z\)”.
  • 在一般情形下, 这些数表现为复平面上两等角螺线的交点 (等角螺线是一种与所有过极点的射线的交角都相等的平面曲线).

复对数的这种特征似乎是一种让人恼火的事情. 然而,
它却是复数最有力, 有用和神奇性质的核心. 复分析的关键全在于此.

复对数的这种特征: 多值性

• 由于镜像反射 (或取反粒子) 的概念相当于”平方到 1” (即操作两次回到出发点), 这种量子数, 我们称其为 \(ϵ\), 有性质 \(ϵ^2 = 1\), 因此它必为 \(n = 2\) 的 “\(n\) 次单位根” (即 \(ϵ = +1\) 或 \(ϵ = -1\)). 这个概念只是近似的, 因为宇称在所谓弱相互作用下不是守恒量, 也正因此, 某些粒子没有明确定义的宇称概念.
  • 此外, 在通常的描述中, 宇称概念只用于所谓玻色子的粒子族. 其余的粒子则属于另一族, 即所谓费米子. 作为一种现象, 我们有必要搞清楚当我们将粒子态持续转过 \(2π\) (即 \(360°\)) 时将发生什么事情. 我们说, 在这种转动下, 只有玻色子恢复到原状态, 而费米子则要操作两次才能回到原状态.
  • 因此, 我们可将乘积性量子数 \(-1\) 赋给费米子, 而将 \(+1\) 赋给玻色子, 由此来描述费米子/玻色子的性质. 这样我们就有了 \(n = 2\) 情形下的另一种乘积性量子数. 就目前所知, 这种量子数才是严格的乘积性量子数.
• 在我看来, 宇称概念也可以运用于费米子, 虽然它不是传统意义上的那种. 这必须与费米子/玻色子的量子数是 \(n = 4\) 的复合乘积性量子数这一点结合起来. 对费米子, 宇称值可以是 \(+i\) 或 \(-i\), 其两次镜像反射具有 \(2π\) 转动的效果. 对玻色子, 宇称值可以和以前一样, 是 \(±1\).
  • \(n = 3\) 情形下的乘积性量子数就是我以前说的夸克性. (这不是一个标准的术语, 通常也不指量子数这样的概念, 但它反映了当今粒子物理中一个重要方面.) 这些夸克具有非整数倍而是 \(\frac{1}{3}\) 倍电子电荷的电荷值. 但是, 夸克不能作为独立粒子存在, 它们的复合物只能在其总电荷数加起来为电子电荷的整数倍时才可能独立存在.
  • 令 \(q\) 为以电子电荷的负值为单位测得的电荷值 (这样, 电子本身在此单位下为 \(q = -1\), 通常规定电子电荷为负值). 对夸克, 我们有 \(q = 2/3\) 或 \(- 1/3\), 对反夸克, \(q = 1/3\) 或 \(- 2/3\). 因此, 如果我们将夸克性的乘积性量子数取为 \(e^{-2qπi}\), 就会发现它取值 \(1\), \(ω\) 和 \(ω^2\). 夸克的夸克性是 \(ω\), 反夸克的夸克性是 \(ω^2\). 自身能够独立存在的粒子其夸克性只能是 \(1\). 夸克性自由度构成循环群 \(\mathbb{Z}_3\).

微积分

"曲率"是一种与所谓"二次导数"有关的运算, 就是说要做两次微分.

局部上看, 复数可微性与可展开成幂级数是等价的, 这也是复数魔力的一个真正所在.

• 函数 \(f(x)\) 称为在 \(p\) 点是解析的, 如果它在 \(x - p\) 的某个区间上可以展开成幂级数的话. 如果函数 \(f(x)\) 在定义域的所有点上都是解析的, 我们就说它是解析函数.

常常是积分本身提供了新函数的定义. 在这个意义上说, 显积分是"困难的".
但另一方面, 如果我们不把注意力放在显性表达式上,
而是放在作为给定函数的导数或被积函数的存在性问题上, 那么情况就大不一样了.
这时积分是一种平稳的运算, 而微分则可能引起问题. 这些特点对数值型计算也是一样的.
基本上说, 微分的问题在于它强烈依赖于待微函数的细节.
如果我们没有待微函数的显性表达式, 就有可能出问题.
而积分对这种细节要求就非常不敏感, 我们关心的是被积函数的宽泛的整体性质.

我们看到, 复光滑为欧拉的函数概念提供了一种比幂级数展开更为简洁的表达方式.
这种意义上的复光滑 (复解析) 函数称为全纯的.

复数域, 先积分, 再微分~

本书前半部分的特色从这里就开始体现了: 首先, 读者不可能指望每一章的内容有多深, 至少不可能让你入门; 但是, 确实简明扼要的做了一些概述. 加之以作者的个人点评~

• 函数在原点的取值完全等同于它在原点周边的一系列点上的取值. 柯西公式基本上就是柯西-黎曼方程与上述表达式 \(\oint z^{-1} dz = 2πi\) 在取小环极限时的共同推论.

• 显然, 在上面的讨论中, 原点没有任何特殊性. 利用泰勒级数我们同样可以给出 \(f(z)\) 关于复平面上另一点 \(p\) 点处的幂级数. 为此我们只要将原点移至 \(p\) 点就可得到原点位移后的柯西公式

  • \(\frac{1}{2πi} \oint \frac{f(z)}{(z - p)} dz = f(p)\),
  • 和 \(n\) 阶导数表达式 \(\frac{n!}{2πi} \oint \frac{f(z)}{(z - p)^{n + 1}} dz = f^{(n)} (p)\),
  • 这里周线环绕的是复平面上的 \(p\) 点. 因此, 复光滑意味着在定义域内处处解析 (全纯性).

我选择说明论证的基础, 即局部上看, 复光滑意味着解析性,
而不是单纯地要求读者盲目相信其结果,
是因为这是一种数学家经常采用的得到结果的有效方法.
不论是论证的前提 (f(z) 是复光滑的) 还是结果 (f(z) 是解析的)
都不包含对周线积分概念或复对数多值性概念的暗示.
但是, 这些内容为找到正确答案提供了关键线索.

黎曼曲面和复映射

这里各对数值之间不会有任何冲突, 因为它的定义域是一种展开的环绕空间
(黎曼曲面的一个例证). 这是一种细节上不同于复平面本身的空间.

• 事实上, \(\log z\) 的黎曼曲面只是这种曲面里最简单的一种. 它只是提示我们其中都有什么. 函数 \(z^a\) 的黎曼曲面要比 \(\log z\) 稍有意思些, 但这也只是在 \(a\) 为有理数时是如此. 当 \(a\) 是无理数时, \(z^a\) 的黎曼曲面具有和 \(\log z\) 的一样的结构, 而在 \(a\) 是有理数时, 假设其最简形式为 \(a = m / n\), 则旋转面转了 \(n\) 圈后将回到出发点.
  • 在所有这些例子中, 原点 \(z = 0\) 称为分支点. 如果旋转面转了 \(n\) 圈后回到出发点 (在 \(z^{m / n}\) 中, \(m\) 和 \(n\) 无公因子), 我们就说这个分支点有有限阶, 或称它是 \(n\) 阶的.

黎曼曲面是一般流形概念的第一个例子. 流形是一种局部 (即在点的足够小邻域内)
"弯曲"的空间, 它看上去像通常的欧几里得空间.

流形可看成是由许多不同的拼块拼贴而成的, 这种拼贴是无缝的.
无缝拼贴的性质是指两个拼块之间总能够保证有适当的 (开集) 重叠.

在黎曼曲面情形, 流形 (即黎曼曲面本身)
是由不同的"叶"所对应的复平面拼块粘合成一个整体而构成的.
像上面的情形一样, 最后也有几个有限阶分支点留下的"洞",
而这些洞也一样可以补起来. 对于无穷阶分支点,
事情要复杂些, 这里很难作简单的一般性叙述.

大致上说, 在共形几何里, 我们感兴趣的是形状而不是大小,
这里指的是无限小尺度下的形状. 在从一个 (开) 平面区域到另一个
(开) 平面区域的共形映射下, 有限大小的形状通常是要变形的,
但无限小的形状则保持不变.
我们认为这种性质可以用到平面上的小 (无限小的) 圆上.
在共形映射下, 这些小圆可扩张也可收缩, 但不会变形成小椭圆.

f 的全纯性实际上等价于共形且非反射的映射
(非反射, 或保定向, 是指变换中保形的小块形状不是反射的, 即不是"颠倒的").

为了检验这种映射的无穷小性质, 我们在一个平面上画出点 z 的紧邻域,
并将它映射到另一个平面上 w 的紧邻域. 而要检验点的这种紧邻域性质,
我们想象用一个巨大的系数分别将 z 和 w 的邻域放大, 在极限情形下,
从 z 的扩充邻域到 w 的扩充邻域的映射就变成了简单的平面线性变换. 由此可知,
在一般情形下, 从 z 的邻域到 w 的邻域的变换可简单地看成是一种带均匀扩充
(或收缩) 的转动. 也就是说, 小的形状 (或夹角) 是不变的,
而且没有反射, 这说明这种映射确实是共形且非反射的.

• 简单地将额外的点 “\(∞\)” 结合到复平面并不能使 \(∞\) 的邻域是否满足无缝结构要求这一问题得到彻底解决, 对出现在其他地方的奇点同样如此. 我们处理这个问题的方法, 是将球面看作是由两个坐标拼块拼合而成的, 一个是 \(z\) 平面, 另一个是 \(w\) 平面. 除两点外, 整个球面划分为 \(z\) 坐标和 \(w\) 坐标 (经由默比乌斯变换而关联).
  • 而这两个点中, 一个只有 \(z\) 坐标 (此处 \(w\) 是”无穷远”), 另一个只有 \(w\) 坐标 (此处 \(z\) 是”无穷远”). 我们用 \(z\) 或 \(w\) 或同时用二者来定义所需的共形结构, 这里同时用二者得到的共形结构与使用其中一种得到的是一样的, 因为两坐标间关系是全纯的.
  • 事实上, 在 \(z\) 和 \(w\) 之间, 我们不需要像一般默比乌斯变换那样复杂的变换. 考虑下述这种特别简单的默比乌斯变换就已足够: \(w = \frac{1}{z}\), \(z = \frac{1}{w}\), 这里 \(z = 0\) 和 \(w = 0\) 都给出对方拼块上的 \(∞\).

涉及全纯变换的众多自由度的判定可通过著名的黎曼映射定理来取得.
这个定理是说, 如果我们在复平面上有某个由非自交闭环界定的闭区域,
则存在全纯映射将该区域匹配到闭单位圆.

傅里叶分解和超函数

波的传播, 包括像射频波或光的电磁信号的发送, 其功效大都在于信息可通过这种方式传递.
毕竟信号传递的全部意义就在于能够使接受者得到意想不到的信息.
如果信号形式必须采用解析函数的形式, 那么就不可能在信息中"改变主意".
信号的任何一小部分都会使整个信号始终完全确定.
而实际上我们经常是根据如何不连续, 或偏离解析性来研究波的传播的.

洛朗级数确实为我们提供了一种傅里叶级数的简洁的表达式.
但这种表达式隐含着关于傅里叶分解的另一种有趣的观点.
由于周期函数可无穷次地重复出现, 因此我们可认为这种 (实变量 χ 的)
函数是定义在圆上的, 这里函数的周期 l 就是圆的周长, χ 量度绕过圆的弧长.
这些弧长不是直线, 而是绕圆进行, 因此周期性自动包含其中.

作者解释了为啥此处上下文使用 \(χ\) 而非 \(x\). (不重要~)

• 现在我们有了非常简练的表达周期函数 \(f(χ)\) 的傅里叶分解的方法. 我们把 \(f(χ) = F(z)\) 看成是定义在 \(z\) 平面的单位圆上, 这里 \(z = e^{iχ}\), 于是傅里叶分解正好是这个函数在复参数 \(z\) 下的洛朗级数表示.

• 洛朗级数也有非常类似的对应概念: 收敛圆环. 这是复平面上严格处于两个以原点为圆心的同心圆之间的区域. 一旦我们有了通常幂级数的收敛圆的概念, 对此很容易理解.
  • 具有正幂的级数部分, 有普通的收敛圆, 其半径譬如说为 \(A\), 对所有其模小于 \(A\) 的 \(z\) 值, 级数收敛.
  • 而对于具有负幂的级数部分, 我们将其理解为倒参数 \(w = 1 / z\) 的普通幂级数. 它在 \(w\) 平面内有譬如说其半径为 \(1 / B\) 的收敛圆, 对所有其模小于 \(1 / B\) 的 \(w\) 值, 级数收敛. (我们这里讨论的实际上是黎曼球面 \(z\) 坐标对应于一个半球, \(w\) 坐标对应于另一个半球.)
  • 因此, 对于其模大于 \(B\) 的 \(z\) 值, 级数的负幂部分将收敛. 只要 \(B < A\), 这两个收敛区域就将重叠, 于是我们得到整个洛朗级数的收敛圆环.

• 根本上说, 傅里叶变换是傅里叶级数在周期函数 \(f(χ)\) 的周期 \(l\) 越来越大以至无穷时的极限情形. 在这种极限情形下, 函数 \(f(χ)\) 的周期没有任何限制: 它就是一个普通函数.

• 在后面章节的傅里叶变换的重要应用中, 我们将把这个 \(N\) 趋向无穷时的新变量称为 “\(p\)”, 它表示某个量子力学粒子 (其位置由 \(x\) 量度) 的动量.
  • 在这种极限情形下, 我们也可以反过来用 \(x\) 来取代 \(χ\), 如有必要的话. 我们会发现, 在取极限后, \(χ\) 实际上已变成 \(z\) 的实部.

一个特定的 (周期) 函数, 它甚至不是连续的, 更甭说可微了,
能够被表示成完全合理的傅里叶级数. 同样,
当我们将一个函数看成是定义在单位圆上,
那么它就一定能够用看起来合理的洛朗级数表示出来,
虽然这个级数的收敛圆环事实上已经退缩为单位圆本身.
这个洛朗级数的正半部分和负半部分各自加和成为半黎曼球面上的完美的全纯函数.
一个定义在单位圆的一侧, 另一个定义在另一侧.
我们可将这两个函数的"和"看成是单位圆本身给出的所要求的方波.
正是因为在单位圆的 z = ±1 的两点上存在分支奇点,
才使得这个和可以从一侧"跳到"另一侧, 给出以这个和的形式出现的方波.
这些分支奇点还使得两侧的幂级数在单位圆外不收敛.

• 这个例子只是一个很特殊的情形, 但它向我们示范了一般必须经历的过程步骤. 我们要问, 能够定义在单位圆上 (黎曼球面上) 并能够表示成开区间上的全纯函数 \(F^{+}\) 和 \(F^{-}\) 的和的最一般的函数形式是什么? 这里 \(F^{+}\) 定义在单位圆一侧的开区间上, \(F^{-}\) 定义在单位圆的另一侧的开区间上, 恰如我们上面所给的例子中的情形.
  • 我们发现, 这个问题的答案将直接导致一个古怪但重要的概念: 超函数. 实际上, 将 \(f\) 看成是 \(F^{-}\) 和 \(-F^{+}\) 之间的差将更富于启发性.
  • 这么做的一个理由是, 在最一般的情形下, 对实际单位圆来说, \(F^{-}\) 或 \(F^{+}\) 可能都不存在解析扩展, 因此在圆上这种和意味着什么并不清楚. 但是, 我们可以将 \(F^{-}\) 和 \(-F^{+}\) 之间的差视为这两个函数间跳跃的表示, 此时它们的定义域已在单位圆上合二为一.
• 在部分实轴 \(γ\) 上, 超函数由一对全纯函数 \((f, g)\) 提供, 这里 \(f\) 定义在以 \(γ\) 为上界的某个开区域 \(\mathcal{R}^{-}\) 上, \(g\) 定义在以 \(γ\) 为下界的开区域 \(\mathcal{R}^{+}\) 上.
  • \(γ\) 上的实际超函数 \(h\) 是 \((f, g)\) 与 \((f + h, g + h)\) 的模, 这里 \(h\) 是 \(\mathcal{R}^{-}\), \(γ\) 和 \(\mathcal{R}^{+}\) 的并 \(\mathcal{R}\) 上的全纯函数.
• 用符号 \((\mid f, g \mid)\) 来表示由分别全纯定义在 \(\mathcal{R}^{-}\) 和 \(\mathcal{R}^{+}\) 上的函数对 \(f\) 和 \(g\) 给出的超函数 (这里我将 \(γ\) 划分 \(\mathcal{R}\) 成 \(\mathcal{R}^{-}\) 和 \(\mathcal{R}^{+}\) 的情形颠倒了过来). 因此, 如果我们对同一个超函数有两个不同的表示 \((\mid f, g \mid)\) 和 \((\mid f_0, g_0 \mid)\), 就是说, \((\mid f, g \mid) = (\mid f_0, g_0 \mid)\), 那么 \(f - f_0\) 和 \(g - g_0\) 是两个相同的定义在 \(\mathcal{R}\) 上的全纯函数 \(h\), 但它们分别被约束在 \(\mathcal{R}^{-}\) 和 \(\mathcal{R}^{+}\).
  • 我们可以直接给出这两个超函数的和, 导数和一个超函数与定义在 \(γ\) 上的解析函数 \(q\) 的积:
  • \((\mid f, g \mid) + (\mid f_1, g_1 \mid) = (\mid f + f_1, g + g_1 \mid)\),
  • \(\frac{d(\mid f, g \mid)}{dz} = (\mid \frac{df}{dz}, \frac{dg}{dz} \mid)\),
  • \(q(\mid f, g \mid) = (\mid qf, qg \mid)\).
  • 这里, 在最后这个表达式中, 解析函数 \(q\) 被全纯扩展到 \(γ\) 的一个邻域. 我们可将 \(q\) 本身表示成一个超函数 \(q = (\mid q, 0 \mid) = (\mid 0, -q \mid)\), 但一般没有定义在两个超函数之间的积.
  • 不存在积并非超函数成为广义函数的缺陷. 这里可有多种处理. 例如, 狄拉克的 \(δ\) 函数不能够平方就曾使许多量子场论学家陷入无尽的烦恼.

曲面

标量场: 曲面上的函数, 映射曲面上的坐标 (点) 到实 (复) 数.

• 光滑的充分条件是, 该函数分别关于 \(x\) 和 \(y\) 的导数每一个都必须是变量对 \((x, y)\) 的连续函数.
  • 类似要求对变量数超过两个的函数也成立.
• 这些将一个坐标系下的坐标用另一个坐标系下的坐标来表示 \(X = X(x, y)\) 和 \(Y = Y(x, y)\) 的函数及其反函数 \(x = x(X, Y)\) 和 \(y = y(X, Y)\) 称为转移函数, 它们表示不同拼块间坐标的转换.
  • 这些转移函数都是光滑的, 量 \(Φ\) 的光滑概念与拼块重叠区的坐标选择无关.

偏微分算子可以理解为沿坐标线的箭头. (例: 把 \(y\) 作为常数, 对 \(x\) 求偏导)

• 现在我们来解释量 \(dΦ\). 它称为 \(Φ\) 的梯度 (或外导数), 表示 \(Φ\) 沿 \(\mathcal{S}\) 的所有可能方向如何变化. \(dΦ\) 的一种好的几何图像是借助于 \(\mathcal{S}\) 的等高线系. 我们将 \(\mathcal{S}\) 视为一幅普通的地图, 它可以是球状的, 如果我们打算将 \(\mathcal{S}\) 看成是弯曲的流形的话.
  • 函数 \(Φ\) 可以代表海拔高度. 这样 \(dΦ\) 就代表了地面相对于水平面的坡度. 等高线标出的是所有海拔高度相同的位置.
  • 在 \(\mathcal{S}\) 的任意一点 \(p\) 上, 等高线的周线方向给出梯度为零的方向 (地表坡度的斜轴), 因此它是 \(p\) 点处满足 \(ξ(Φ) = 0\) 的箭头 \(ξ\) 所指的方向. 当我们顺着等高线行走时, 我们既不爬坡也不下坡. 但如果我们横越等高线, 那么就存在 \(Φ\) 的增长, 其上升率, 即 \(ξ(Φ)\), 可通过等高线沿该方向的拥挤程度来量度.
• 矢量 \(ξ = a \partial / \partial x + b \partial / \partial y\) 可看成是由两部分组成的: 一部分正比于 \(\partial / \partial x\), 方向沿 \(y =\) 常数的坐标线方向; 另一部分正比于 \(\partial / \partial y\), 方向沿 \(x =\) 常数的坐标线方向.
  • 相关的权重因子 \((a, b)\) 称为 \(ξ\) 在 \((x, y)\) 坐标系下的分量.

"分量"一词现在在许多数学文献中已获得"坐标标签"的意义,
特别是联系到张量计算的情形就更是如此.

• 类似地, 量 \(dΦ\) (1 形式) 由 \(dx\) 和 \(dy\) 两项组成: \(dΦ = udx + vdy\). 这样, \((u, v)\) 可用来表示 \(dΦ\), 数字 \(u\) 和 \(v\) 是 \(dΦ\) 在同一坐标系下的分量. (实际上, 这里我们有 \(u = \partial Φ / \partial x\) 和 \(v = \partial Φ / \partial y\).)
  • 1 形式 \(dΦ\) 的分量 \((u, v)\) 与矢量场 \(ξ\) 的分量 \((a, b)\) 之间的关系可通过量 \(ξ(Φ)\) 获得, 正如我们上面看到的, 这个量量度 \(Φ\) 在 \(ξ\) 方向上的增长率. 我们发现, \(ξ(Φ)\) 的值由下式给出: \(ξ(Φ) = au + bv\).
  • 我们称 \(au + bv\) 为 \((a, b)\) 代表的 \(ξ\) 与 \((u, v)\) 代表的 \(dΦ\) 之间的标量积 (或内积). 这个标量积有时也写成 \(dΦ · ξ\), 如果我们不打算考虑具体坐标系而只是抽象地表示的话. 我们有 \(dΦ · ξ = ξ(Φ)\).
  • 这里, 同一个公式之所以有两种不同的记号, 是因为 \(dΦ · ξ\) 的运算表达式可以运用到比 \(dΦ\) 的表达式更一般的 1 形式上. 如果 \(η\) 是一个这样的 1 形式, 则它与任意矢量场 \(ξ\) 有标量积 \(η · ξ\).
  • 实际上, 1 形式的定义本质上可看成是这样一个量, 它和矢量场结合形成标量积. 因此, 量 \(dΦ\) 与矢量场形成标量积这个事实也可以刻画为 1 形式. (在有些文献中, 1 形式又称为余矢量.) 在这个意义上, 1 形式 (余矢量) 与矢量场是对偶关系.

知其然, 知其所以然~ 彭罗斯的书 (本书) 在于后者!

• 能够重新解释为一维复流形的所需的二维曲面的性质是什么? 基本上看, 我们需要一种刻画这些全纯复值函数 \(Φ\) 的方法. 全纯条件是一种局部条件, 因此我们可将其看成是在每个拼块上满足的条件, 并要求它在拼块间的重叠处具有相容性. 在 \((x, y)\) 拼块上, 我们要求 \(Φ\) 关于复数 \(z = x + iy\) 是全纯的, 在重叠的 \((X, Y)\) 拼块上, 则要求 \(Φ\) 关于复数 \(Z = X + iY\) 是全纯的. 二者间的相容性由下述要求来保证:
  • 在重叠区域, \(Z\) 是 \(z\) 的全纯函数, 反之亦然. 如果在 \(z\) 拼块上 \(Φ\) 是全纯的, 那么 \(Φ\) 必在 \(Z\) 拼块上也是全纯的, 因为全纯函数的全纯函数仍是全纯函数.
  • 现在, 我们如何根据 \(Φ\) 和 \(z\) 的实部和虚部来表示 \(Φ\) 的全纯性条件呢? 这些条件就是柯西-黎曼方程. 但这个方程的显形式是什么样的呢?
  • 我们可以将 \(Φ\) 想象成由 \(z\) 和 \(\bar{z}\) 来表示. 我们必须将这个条件表示成 \(Φ\) “仅依赖于 \(z\)” (即”与 \(\bar{z}\) 无关”).

实部和虚部可通过 \(z\) 与 \(\bar{z}\) (共轭) 来表示. 我自己喜欢看作线性分解~

• 利用链式法则, 我们可根据 \((x, y)\) 坐标系下的偏导数将这个方程重新表述为: \(\frac{\partial Φ}{\partial x} + i \frac{\partial Φ}{\partial y} = 0\)
  • 将 \(Φ\) 写成其实部和虚部: \(Φ = α + iβ\), 这里 \(α\) 和 \(β\) 都是实数, 我们得到柯西-黎曼方程, \(\frac{\partial α}{\partial x} = \frac{\partial β}{\partial y}\), \(\frac{\partial α}{\partial y} = - \frac{\partial β}{\partial x}\).
  • 由于在 \((x, y)\) 坐标拼块与 \((X, Y)\) 坐标拼块的重叠区, 我们要求 \(Z = X + iY\) 关于复数 \(z = x + iy\) 是全纯的, 因此在 \((x, y)\) 与 \((X, Y)\) 之间也有柯西-黎曼方程成立: \(\frac{\partial X}{\partial x} = \frac{\partial Y}{\partial y}\), \(\frac{\partial X}{\partial y} = - \frac{\partial Y}{\partial x}\).
  • 如果这个条件在任意两坐标拼块之间成立, 那么经过总合我们就得到黎曼曲面 \(\mathcal{S}\). 我们知道, 这种曲面也可以看成是一维复流形. 但是, 按照目前的柯西-黎曼观点, 我们认为 \(\mathcal{S}\) 是一种具有特殊结构 (即由柯西-黎曼方程确定的) 的二维实流形.

超复数

• 哈密顿四元数的特点在于, 除了乘法运算外, 我们还可以有除法运算, 即对于任一非零四元数 \(q\), 存在一个 (乘积性的) 逆 \(q^{-1}\), 它满足 \(q^{-1} q = q q^{-1} = 1\), 由此给出一种称之为四元数除环的结构.
  • 对这个逆运算, 显然有 \(q^{-1} = \bar{q} (q \bar{q})^{-1}\), 其中 \(q\) 的 (四元数型) 共轭 \(\bar{q}\) 定义为 \(\bar{q} = t - ui - vj - wk\),
  • 加上前面定义的 \(q = t + ui + vj + wk\), 我们有 \(q \bar{q} = t^2 + u^2 + v^2 + w^2\), 因此, 除非 \(q = 0\) (即 \(t = u = v = w = 0\)), 否则实数 \(q \bar{q}\) 不为零. 这样, 一旦 \(q^{-1}\) 有定义 (只要 \(q ≠ 0\)), \((q \bar{q})^{-1}\) 必存在.

• 四元数并不适合用来描述时空, 这主要是因为四元数的平方形式 \(q \bar{q} = t^2 + u^2 + v^2 + w^2\) 不符合相对论的要求.

• 复变量 \(z\) 的全纯函数特征是它有全纯独立的复共轭 \(\bar{z}\), 而对于四元数, 我们发现, 如果根据 \(q\) 定义来寻求代数意义上 \(q\) 的四元数共轭 \(\bar{q}\) 的话, 这种 \(\bar{q}\) 只能表达为
  • \(\bar{q} = - \frac{1}{2} (q + iqi + jqj + kqk)\).
  • 这里 \(i\), \(j\) 和 \(k\) 均为常量. 如果四元全纯意味着通过加和, 乘积和取极限从四元数来构建的话, 那么 \(\bar{q}\) 必须是一种 \(q\) 的四元全纯函数, 这就把整个概念搞乱了.
• 要使得上述两种转法产生相同结果, 我们必须每次转过两个直角 (\(180°\) 或 \(π\)), 这似乎很奇怪, 因为它肯定不是按我们对复数 \(i\) 作用理解的方式的直接类比. 麻烦主要是, 如果我们对一个轴连续两次运用这一运算, 我们转过的是 \(360°\) (或 \(2π\)), 实际上就是简单地将物体恢复到原状态, 显然这相当于 \(i^2 = 1\) 而不是 \(i^2 = -1\).
  • 但正是这种地方出现了神奇的新概念. 这是一种相当微妙且十分重要的思想, 从中我们可以看到这种数学对于描述像电子, 质子和中子等基本粒子的量子物理来说是多么重要.

那么什么是旋量呢? 本质上说, 它是这样一种对象,
当它经历过 2π 角转动后, 正好处于初态的相反态.
这似乎有点荒谬, 因为按照我们的日常经验,
物体经过这种转动后总是回到初态, 而不是其他状态.

书的偶数次 2π 转动相当于不转动, 而奇数次 2π 转动则不然.
(a) 用一端固着于桌上一堆书下,
另一端夹于转动的书内的长纸带来跟踪书的 2π 转动次数的奇偶性.
(b) 书的 2π 转动使得纸带扭转, 如果书不作进一步转动, 纸带的这种扭转无法恢复.
(c) 书的 4π 转动造成的纸带扭转可通过将纸带套过书一圈来完全去掉.

拓扑等价

• 如果我们坚持所有转动都按右手规则进行, 那么通过适当跟踪纸带的扭转轨迹, 我们会发现得到的却是 \(ij = -k\). 这一点不是很重要, 我们可以通过采用多种方式来改正它. 例如我们可以用左手定则 (即顺时针) 转过 \(2π\) 而不是按右手定则来代表四元数 (此时我们回到 “\(ij = k\)”), 也可以将 \(i\), \(j\), \(k\) 轴的正方向定为顺时针而不是逆时针方向.
  • 当然最好还是采用一种新的乘法运算顺序的约定, 即 “乘积 \(pq\)” 代表的是先行 \(q\) 运算再行 \(p\) 运算, 而不是先 \(p\) 后 \(q\) 的顺序.

转角的奇妙特性可用另一种方式展示出来. 这是一种三维空间里转动所特有的
(固有的, 而不是由镜像反射得出的) 表现方式, 即是说,
如果我们把一系列转动合起来, 其总的效果可以用对某个转轴的转动来代表.
问题是如何用简单的几何方法找到这个等价的转动轴, 以及如何确定转过的角度大小.

对于三维欧几里得空间里的转动, 线段是单位球面上的大圆弧,
每段弧代表一个转动 (转轴垂直于圆弧所在平面),
其转过的角度为这段弧长所代表的角的两倍. 为了看清其叠加原理,
依次以弧长构成的球面三角形的三个顶点为反射点反射形成三个外三角形.
第一次转动取三角形 1 到三角形 2, 第二次转动取三角形 2 到三角形 3,
两次转动的叠加取为从三角形 1 到三角形 3.

• 我们可在上面考虑的具体场合检验这种关系, 并用图来示范这种四元数关系 \(ij = k\). 由 \(i\), \(j\) 和 \(k\) 代表的转动取转过 \(π\) 角. 因此, 为了描述三角形法则, 我们使用的弧长正好是这个角的一半, 即 \(\frac{1}{2} π\). 我们还可以把关系 \(i^2 = -1\) 看作是对弧长为 \(π\) 的大圆弧的一种说明: 它表示从球面上一点延伸至其对径点 (用 “\(-1\)” 表示).
  • 这显然不同于弧长为零或 \(2π\) 的弧, 尽管二者都表示回复到原初位置的一种转动. 矢量弧描述正确表示了自旋体的转动.
• 在 \(n\) 维空间里, 这种基本转动同样有轴, 但这种轴是 \((n - 2)\) 维空间, 而不只是那种我们在描述普通三维转动里使用的一维直线轴. 但除了这一点不同之外, 关于 \((n - 2)\) 维轴的转动基本上类似于我们熟悉的普通三维转动的情形, 即转动完全取决于轴的取向和转角的大小.
  • 我们同样有具有下述性质的自旋体: 如果使这种物体持续转过 \(2π\) 角, 其结果不是回复到初态, 而是处于初态的相反态, 但转过 \(4π\) 角的转动则总是回到初态.
• 但高维转动的上述特点暗示其中存在某种新要素: 在维数大于 \(3\) 的情形下, 关于不同的 \((n - 2)\) 维轴基本转动的叠加不可能总等价为关于某个 \((n - 2)\) 维轴的转动. 在高维情形下, 一般性的转动 (叠加) 不可能描述得如此简单. 这种 (广义) 转动也许有轴 (即转动形成的空间), 其维数可以取一系列不同的值.
  • 因此, 对于 \(n\) 维克利福德代数, 我们需要对代表不同转动的各种情形加以分级. 实际上, 研究表明, 这种分级最好是从比转过 \(π\) 角更基本的地方开始, 即从 \((n - 1)\) 维 (超) 平面的反射开始.
  • 两个这类 (关于两个垂直平面的) 反射的叠加产生转过 \(π\) 的转动, 并把这种以前称为基本 \(π\) 转动的转动看作是次级项, 而反射则作为初级项.
• 我们用 \(γ_1\), \(γ_2\), \(γ_3\), …, \(γ_n\) 来表示这些基本反射, 这里 \(γ_r\) 代表在保持其他各轴不变条件下使第 \(r\) 个坐标轴反向. 对于适当形式的自旋体, 沿某个坐标轴方向反射两次即得到与其初态相反的状态. 因此, 我们有 \(n\) 个初级反射项所满足的类四元数关系式: \(γ_1^2 = -1\), \(γ_2^2 = -1\), \(γ_3^2 = -1\), …, \(γ_n^2 = -1\),
  • 代表 \(π\) 转动的次级项是两个不同的 \(γ\) 的乘积, 这些积具有 (与四元数非常类似的) 反交换性质: \(γ_p γ_q = - γ_q γ_p\) (\(p ≠ q\)).
  • 具体到三维情形 (\(n = 3\)), 我们可定义三个不同的二阶量 \(i = γ_2 γ_3\), \(j = γ_3 γ_1\), \(k = γ_1 γ_2\), 易证这三个量 \(i\), \(j\) 和 \(k\) 满足四元数代数律.
• \(n\) 维空间下克利福德代数的一般元素是不同个相异的 \(γ\) 乘积的实数倍的和 (即不同个 \(γ\) 积的线性组合). 一级 (初级) 项即 \(n\) 个不同的单量 \(γ_p\), 二级 (次级) 项是 \(\frac{1}{2} n (n - 1)\) 个相互独立的乘积 \(γ_p γ_q\) (\(p < q\)); 三级项是 \(\frac{1}{6} n (n - 1) (n - 2)\) 个相互独立的三重积 \(γ_p γ_q γ_r\) (\(p < q < r\)); 四级项是 \(\frac{1}{24} n (n - 1) (n - 2) (n - 3)\) 个相互独立的四重积; 等等, 最后是单一的第 \(n\) 级项 \(γ_1 γ_2 γ_3 ... γ_n\).
  • 取遍所有这些项再加上零级项 \(1\), 我们总共有 \(1 + n + \frac{1}{2} n (n - 1) + \frac{1}{6} n (n - 1) (n - 2) + ... + 1 = 2^n\) 项.
  • 克利福德代数的一般元素就是这些项的线性组合. 因此, 克利福德代数里的元素构成实数域上的 \(2^n\) 维代数. 它们构成幺环, 但不是四元数的那种幺环, 因为它们不构成可除环.

克利福德代数之所以重要的一个原因是它对定义旋量有重要作用.
物理上, 旋量最先出现在著名的狄拉克电子方程里 (1928), 用来表示电子态.
我们可将旋量设想为这么一种对象, 即克利福德代数里的元素可作为算子作用其上,
产生我们前面所讨论的自旋体的基本反射和转动. "自旋体"概念往往容易让人糊涂,
不够直观. 一些研究者在研究中倾向于将其视为纯粹的 (克利福德) 代数来处理.
这种处理方式当然有它的好处, 特别是针对一般严格的 n 维讨论更是如此.
但我认为不忽视其几何性质亦很重要, 故在此我一直强调这一点.

• 在 \(n\) 维情形下, 旋量的全部空间 (有时也称为自旋空间) 为 \(2^{n/2}\) 维 (若 \(n\) 是偶数) 或 \(2^{(n - 1) / 2}\) 维 (若 \(n\) 是奇数).
  • 若当 \(n\) 是偶数时, 自旋空间劈为两相互独立的空间 (有时称为约化旋量空间或半旋量空间), 其中每个空间的维数是 \(2^{(n - 2) / 2}\) 维, 也就是说, 全空间里的每个元素均为分别取自两约化空间的两元素之和.

偶数 n 维空间里的反射将一种约化自旋空间的元素转换成另一个约化自旋空间的元素.
约化自旋空间的元素都有确定的"手征", 两种约化自旋空间里元素的手征正好相反.
这在物理上极其重要, 这里我指的是四维时空里的自旋.
这两种约化自旋空间均为二维, 一个代表右手系, 另一个代表左手系.
大自然似乎为这两种约化自旋空间安排了不同的角色, 正是通过这一事实,
我们才发现了不具有反射不变性的物理过程.
这一发现是 20 世纪物理学最惊人的史无前例的伟大发现之一
(理论预言由杨振宁和李政道提出, 后由吴健雄及其领导的小组在实验上给予证实),
它说明自然界里存在着一些基本作用过程, 这些作用在其镜像形式下不可能出现.

• 将积的分配律应用到定义积 \(a \land b\), 我们可得到更为一般的反交换性质 \(a \land b = - b \land a\), 这里 \(a\), \(b\) 是两任意矢量.
  • 量 \(a \land b\) 提供了一种由 \(a\), \(b\) 组成的平面元素的代数表示.
  • 注意, 这种表示不仅包含了平面元素的取向 (因为 \(a \land b\) 的符号与 \(a\) 和 \(b\) 的符号有关), 而且也包含了其幅度大小.
• 我们或许会问, 对应于 \(a\) 表为 \((a_1, a_2, ..., a_n)\), \(b\) 表为 \((b_1, b_2, ..., b_n)\), 我们如何将 \(a \land b\) 型的量表为一组分量? 这里 \(a_i\), \(b_i\) 分别表示 \(a\) 和 \(b\) 关于 \(η_1\), \(η_2\), \(η_3\), …, \(η_n\) 线性组合的相应系数. 我们说, \(a \land b\) 可以相应地表为 \(η_1 \land η_2\), \(η_1 \land η_3\) 等的线性组合, 问题是如何确定各系数, 因为这里涉及某种确定的约定选择.
  • 例如, \(η_1 \land η_2\) 和 \(η_2 \land η_1\) 不独立 (二者互为相反), 我们得在二者中选其一. 但研究表明, 如果将二者都包括进来, 并把与之相关的系数各分一半, 则表达式更具系统化.
  • 于是我们发现, \(a \land b\) 的系数, 或者说是分量, 可表为各种量 \(a_{[_p b_q]}\), 这里方括号表示反对称化, 其定义为 \(A_{[p q]} = \frac{1}{2} (A_{pq} - A_{qp})\), 因此, \(a_{[_p b_q]} = \frac{1}{2} (a_p b_q - a_q b_p)\).
• 下面我们来处理三维”平面元素”. 取 \(a\), \(b\) 和 \(c\) 作为生成这种三维元的三个独立矢量. 我们可取三重格拉斯曼积 \(a \land b \land c\) 来表示这种三维元 (包括其取向和大小), 并发现它也有反交换律性质
  • \(a \land b \land c = b \land c \land a = c \land a \land b = - b \land a \land c = - a \land c \land b = - c \land b \land a\).
  • \(a \land b \land c\) 的分量取为 \(a_{[_p b_q c_r]} = \frac{1}{6} (a_p b_q c_r + a_q b_r c_p + a_r b_p c_q - a_q b_p c_r - a_p b_r c_q - a_r b_q c_p)\), 这里方括号同样表示反对称运算, 如上式右边所示.

类似地, 我们可将这种定义推广到 r 个元素, 这里 r 可取到全空间维数 n.
r 阶楔积的分量可由各矢量分量的反对称积表示. 因此,
格拉斯曼代数的确提供了一套用于描述任意 (有限) 维基本几何线性元的有力工具.

• 从格拉斯曼代数具有 \(r\) 阶元 (这里 \(r\) 是构成楔积中 \(η\) 的数目) 这一点来看, 这种代数是一种秩代数. 数目 \(r\) (\(r = 0, 1, 2, ..., n\)) 称为格拉斯曼代数元素的秩. 但应当明白, 秩 \(r\) 代数中的一般元素不必是单一的楔积 (如 \(r = 3\) 情形下的 \(a \land b \land c\)), 它可以是各种楔积之和.
  • 相应地, 格拉斯曼代数中存在许多元素, 它们并不直接描述 \(r\) 维几何元素, 这种”非几何”的格拉斯曼元还将出现在以后的讨论中.
• 一般而言, 如果 \(P\) 是秩 \(p\) 的元素, \(Q\) 是秩 \(q\) 的元素, 我们规定秩为 \((p + q)\) 的楔积 \(P \land Q\) 具有分量 \(P_{[a...c Q_{d...f}]}\), 这里 \(P_{a...c}\) 和 \(Q_{d...f}\) 分别是 \(P\) 和 \(Q\) 的分量, 于是有
  • \[P \land Q = \begin{cases} + Q \land P & \mbox{若 } p \mbox{ 或 } q \mbox{ 或二者均为偶数} \\ - Q \land P & \mbox{若 } p \mbox{ 和 } q \mbox{ 均为奇数} \end{cases}\]

秩 r 不变的各元素之和仍是秩 r 的元素.
我们也可把所有不同秩的元素加起来得到一个"混合"量,
这个量没有具体的秩, 但这种格拉斯曼代元素没有直接意义.

实在之路通向何方

原本是全书终章, 老爷子终于放飞了自我, 再现彭罗斯式碎碎念!

这种"纯四元数"工作 (我这里指的是他原创的具有可除代数性质的四元数)
并没有在推动基础物理科学发展方面起到多少直接的作用.
哈密顿在其他方面对物理理论的影响可谓巨大并且相当直接.
正是他早年在我们今天称之为 "哈密顿量", "哈密顿原理", "哈密顿-雅可比方程"
等方面的研究 -- 这些研究构成了对牛顿粒子与波之间进行类比探索的一部分 --
为 20 世纪量子力学和 QFT 的发展提供了助推器. 而四元数对物理的影响则相当有限,
在对其推广过程中人们不得不舍弃掉它的可除代数性质.

n 维流形

• 在三维欧几里得空间里, 普通刚体的构形空间 (以后我们称其为空间 \(\mathcal{C}\)) 就是六维非欧几里得流形. 所谓构形空间是指由刚体不同的物理定位的代表点构成的空间. 它有 6 个维是因为我们需要有 3 个维 (自由度) 来确定该刚体的力心位置, 另 3 个维用来确定刚体的转动取向. 那它为什么一定是非欧几里得的呢?
  • 这有许多理由, 其中一个特别明显的理由是它的拓扑不同于六维欧几里得空间下的拓扑. \(\mathcal{C}\) 的这种”非平凡拓扑性质”在三维空间的直接表现就是刚体的转动取向. 我们把这种三维空间称为 \(\mathcal{R}\). \(\mathcal{R}\) 的每一点代表刚体的一种转动取向.

非欧的原因在于欧几里得是单连通的, 亏格 0.

• 需要指出的是, \(\mathcal{R}\) 和 \(\mathcal{C}\) 的多连通性是一种比环面的多连通性更有趣的性质. 这是因为代表 \(2π\) 转动的闭合圈有一种奇妙性质: 如果这个圈再绕一次 (\(4π\) 转动) 的话, 我们会得到一条可连续变形到一点的闭合圈. (这在环面上是不可能发生的.)
  • \(\mathcal{R}\) 和 \(\mathcal{C}\) 中闭合圈的这种奇妙性质是所谓拓扑挠性的一个例子.

相空间: 位置与动量; 构形空间: 位置与定向 (点则无定向)

• 我们将它看作是许多坐标拼块的粘合. 这里每个拼块都是 \(\mathbb{R}^\) 的一个开区域, \(\mathbb{R}^n\) 代表”坐标空间”, 其中的点是 \(n\) 元组实数 \((x^1, x^2, ..., x^n)\), \(\mathbb{R}\) 代表的是实数系. 在粘合过程中, 我们有所谓转移函数, 它将某个拼块的坐标表示为其他拼块坐标的函数.
  • 坐标拼块之间的重叠可以在流形 \(\mathcal{M}\) 的任何地方找到. 这些转移函数必须满足一些约束条件以保证整个粘合过程的协调性. 为了生成标准流形, 即所谓豪斯道夫空间, 我们得格外小心. (非豪斯道夫流形可以是分支.)
  • 豪斯道夫空间有明确的属性: 对空间上两个相异的点, 存在包含每一点的开集, 这些开集彼此不相交.

不得不说, 彭罗斯确实总能三言两语, 道出关键!

• 我们还可以用纯代数方法来定义 1 形式, 它的另一个名字叫余矢量场. 余矢量场 \(α\) 可看作是矢量场到标量场的映射, \(α\) 对 \(ξ\) 的作用写成 \(α · ξ\) (\(α\) 与 \(ξ\) 的标积), 这里, 对矢量场 \(ξ\) 和 \(η\), 以及标量场 \(Φ\), 我们有线性关系:
  • \(α · (ξ + η) = α · ξ + α · η\),
  • \(α · (Φξ) = Φ(α · ξ)\).
• 这些关系将余矢量定义为矢量的偶. 可以证明, 二者之间的这种对偶关系是对称的, 因此我们有相应的关系式
  • \((α + β) · ξ = α · ξ + β · ξ\),
  • \((Φα) · ξ = Φ(α · ξ)\),
  • 上述关系给出了两个余矢量之和的定义, 以及余矢量与标量之积的定义. 若取余矢量空间的对偶空间, 我们即得到原始的矢量空间, 反之也一样. (换句话说, 余矢量也是矢量.)

把字母 r 换成 i 会好一些~

• 那么怎么表示高维下的区域积分呢? 对二维区域, 积分号后的被积函数应为 2 形式, 写成 \(f(x, y) dx \land dy\) (或类似的和), 这样, 我们有 \(\int_{\mathcal{R}} f(x, y) dx \land dy = \int_{\mathcal{R}} \mathbf{α}\) (或这样的量的和), 这里 \(\mathcal{R}\) 是待积的二维区域面积, 它取自某个给定的二维曲面.
  • 参数 \(x\), \(y\) 作为曲面的局域坐标, 同样可用一对数偶来表示, 只是记号的区分上要当心, 别弄混了. 如果 2 形式得自二维区域 \(\mathcal{R}\) 所在的高维背景空间, 那么上述计算不会有任何问题.
  • 所有这些计算均可推广到三维区域下的 3 形式和四维区域下的 4 形式, 等等. 嘉当微分记号下的楔积 (包括外导数) 在坐标变化时同样成立. (这里无须述及繁复的雅可比行列式.)
• 对每个 \(p = 0\), \(1\), …, \(n - 1\), 用独特的算子 “\(d\)” 作用到 \(p\) 形式, 产生 \((p + 1)\) 形式. 这种作用有如下性质:

对称群

流形上的微积分

纤维丛与规范联络