时空
- 伽利略时空
\(\mathcal{G}\)
不是积空间
\(\mathbb{E}^1 \times \mathbb{E}^3\),
而是以
\(\mathbb{E}^1\)
为底空间,
\(\mathbb{E}^3\)
为纤维的纤维丛! 在纤维丛内, 纤维与纤维之间不存在逐点同一,
而是相互间协调共同组成一个连通的整体.
- 每个时空事件被自然地赋予一个时间作为一个明确的”时钟空间” \(\mathbb{E}^1\) 的一个特定元素, 但不存在一种明确的可以在其中自然地赋予一个空间位置的”位置空间” \(\mathbb{E}^3\).
- 用丛语言来表达, 就是这种对时间的自然赋值是由 \(\mathcal{G}\) 到 \(\mathbb{E}^1\) 的规范投影来取得的.
- 伽利略时空
\(\mathcal{G}\)
是由底空间
\(\mathbb{E}^1\)
和纤维
\(\mathbb{E}^3\)
组成的纤维丛, 因此不同的
\(\mathbb{E}^3\)
纤维之间不存在逐点同一 (无绝对空间),
而每个时空事件通过规范投影被自然地赋予一个时间 (绝对时间).
(但这里到底空间的规范投影是在水平面上描述的.)
- 粒子的历史 (世界线) 是丛截面, 粒子的惯性运动被视为 \(\mathcal{G}\) 的结构的具体化, 即”直的”世界线.
拉格朗日量和哈密顿量
量子粒子
由内特尔定理可知, 空间对称性与动量守恒之间存在紧密联系:
在某个方向上, 如果拉格朗日量在平移下不变,
那么该方向上的动量就是守恒的.
这是一个优美而又重要的事实, 数学上也很好理解.
量子力学某种程度上就有点儿与此类似, 只是在数学上不是这么好理解.
我们甚至可以说它在数学上完全是出格的!
但毫无疑问, 这种奇怪的量子力学处理仍具有某种数学美.
因为在量子力学里, 不仅是存在与对称性相关的守恒动量,
而且动量本身实际上就等同于产生这个特定对称性的微分算符!