- 群论与量子力学
- 第一版: 1928 年; 第二版: 1930 年
虽然量子理论的历史只能追溯到 1900 年,
但群论的起源却迷失在历史几乎难以触及的过去.
最早的艺术作品表明, 平面图形的对称群甚至在那时就已经为人们所知,
尽管关于这些群的理论直到 18 世纪后半叶和 19 世纪才有了明确的形式.
克莱因认为群的概念是 19 世纪数学所具有的最大特色.
到目前为止, 它在自然科学中最重要的应用是对晶体对称性的描述.
但最近人们认识到, 群论对量子物理有着根本的重要性.
它在量子物理学中揭示出一些基本特征,
而这些特征既不依赖于一种特殊形式的动力学定律,
也不依赖于对涉及的那些力的特殊假设. 我们很可能会预期,
只有量子物理学的这一部分最可能会成为一个持久不衰的领域.
有两个群 (一个是三维空间中的旋转群, 另一个是置换群)
在量子物理学中发挥着主要作用, 这是因为,
支配着聚集在静止的原子核或离子周围的电子的可能排布的那些规律:
都是关于原子核呈球对称的, 并且由于构成原子或离子的许多电子都是全同的,
因此这些可能的排布在各个电子的置换下是不变的.
对群的研究, 首先在群的线性变换表示论中成为一个相互联系的, 完整的理论,
而这正是充分描述量子力学中的那些关系所必需的, 数学上最重要的部分.
除了所谓的主量子数之外, 所有量子数都是描述群表示特征的指标.
酉几何
其实译者应该把本书的符号改掉的~
- 假设
\(\mathfrak{R}'\)
是一个
\(n\)
维子空间, 如果两个向量
\(\mathfrak{x}\)
和
\(\mathfrak{y}\)
的差在
\(\mathfrak{R}'\)
中, 我们就说它们模
\(\mathfrak{R}'\)
同余:
- \(\mathfrak{x} ≡ \mathfrak{y} (mod. \mathfrak{R}')\).
- 同余满足任何相等关系所要求的公理:
- 每一个向量都与自身同余;
- 如果 \(\mathfrak{x} ≡ \mathfrak{y} (mod. \mathfrak{R}')\), 那么 \(\mathfrak{y} ≡ \mathfrak{x} (mod. \mathfrak{R}')\);
- 如果 \(\mathfrak{x} ≡ \mathfrak{y} (mod. \mathfrak{R}')\) 且 \(\mathfrak{y} ≡ \mathfrak{z} (mod. \mathfrak{R}')\), 那么 \(\mathfrak{x} ≡ \mathfrak{z} (mod. \mathfrak{R}')\).
- 因此, 可以把模 \(\mathfrak{R}'\) 同余的向量看作彼此是绝无差别的.
- 通过这种可称为关于
\(\mathfrak{R}'\)
的
投影的抽象, \(n\) 维空间 \(\mathfrak{R}\) 产生了一个 \((n - n')\) 维空间 \(\bar{\mathfrak{R}}\). \(\bar{\mathfrak{R}}\) 也是一个向量空间, 因为从- \(\mathfrak{x}_1 ≡ \mathfrak{x}_2\), \(\mathfrak{y}_1 ≡ \mathfrak{y}_2 (mod. \mathfrak{R}')\)
- 得到下列关系 \(a \mathfrak{x}_1 ≡ a \mathfrak{x}_2\), \(\mathfrak{x}_1 + \mathfrak{y}_1 ≡ \mathfrak{x}_2 + \mathfrak{y}_2 (mod. \mathfrak{R}')\).
- 因此, 数乘运算和加法运算可以被认为是直接作用于
\(\bar{\mathfrak{R}}\)
的向量
\(\bar{\mathfrak{x}}\)
上的运算. 所有模
\(\mathfrak{R}'\)
同余的
\(\mathfrak{R}\)
的向量
\(\mathfrak{x}\)
都给出相同的
\(\bar{\mathfrak{R}}\)
的向量
\(\bar{\mathfrak{x}}\).
- 如果 \(\mathfrak{R}'\) 是一维的, 并且由 \(\mathfrak{e}_i\) 张成, 那么上面的过程就是我们熟悉的 \(\mathfrak{e}_i\) 方向上的平行投影.
- 没有必要给出 \(\mathfrak{R}\) 的一个向其投影的 \((n - 1)\) 维子空间.
- 任意一个向量
\(\mathfrak{x}\)
在新坐标系和旧坐标系中的分量如果分别是
\(x_i\)
和
\(x'_i\),
那么
\(\mathfrak{x} = \sum_i x_i \mathfrak{e}_i =
\sum_k x'_k \mathfrak{e}'_k\),
可得变换定律
\(x_i = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} x'_k\).
- 坐标向量
\(\mathfrak{e}'_k\)
也线性无关这一要求在算术上表示为系数
\(a_{ik}\)
构成的行列式不为零. 在向新的坐标系
\(\mathfrak{e}'_i\)
过渡时,
\(\mathfrak{R}\)
中的向量
\(\mathfrak{x}\),
\(\mathfrak{y}\),
… 的各分量经历同一变换, 于是我们说这些分量发生
同步变换. - 不过, 我们对公式
\(x_i = \sum_{k = 1}^{n} a_{ik} x'_k\)
也可以作另一种解释; 它是空间
\(\mathfrak{R}\)
在其自身上的
线性或仿射对应或映射的表达式.
- 坐标向量
\(\mathfrak{e}'_k\)
也线性无关这一要求在算术上表示为系数
\(a_{ik}\)
构成的行列式不为零. 在向新的坐标系
\(\mathfrak{e}'_i\)
过渡时,
\(\mathfrak{R}\)
中的向量
\(\mathfrak{x}\),
\(\mathfrak{y}\),
… 的各分量经历同一变换, 于是我们说这些分量发生
- 现在让我们回来讨论一个空间
\(\mathfrak{R}\)
到其自身的线性对应
\(A\).
在
\(\mathfrak{R}'\)
是
\(\mathfrak{R}\)
的一个
\(n'\)
维线性子空间的情况下, 如果
\(A\)
将
\(\mathfrak{R}'\)
的任何向量变换到
\(\mathfrak{R}'\)
的任何向量, 那么我们就说
\(A\)
使
\(\mathfrak{R}'\)
不变. 如果我们这样选择坐标系:- 使得前 \(n'\) 个基本向量位于 \(\mathfrak{R}'\) 中, 那么与一个使 \(\mathfrak{R}'\) 不变的对应相应的矩阵, \(n'\) 列 \(n - n'\) 行矩形中的所有元素都为零. \(A\) 包含着 \(\mathfrak{R}'\) 到其自身的一个对应, 同时也包含着将 \(\mathfrak{R}\) 关于 \(\mathfrak{R}'\) 投影而产生的空间 \(\bar{\mathfrak{R}}\) 到其自身的一个对应.
- 这些对应的矩阵由两个带阴影的正方形组成. 如果将
\(\mathfrak{R}\)
分解为
\(\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2\),
并且如果对应
\(A\)
同时分别保持子空间
\(\mathfrak{R}_1\)
和
\(\mathfrak{R}_2\)
不变, 那么
\(A\)
就
完全约化为 \(\mathfrak{R}_1\) 到其自身的一个对应和 \(\mathfrak{R}_2\) 到其自身的一个对应. - 如果坐标系选择得适应分解形式 \(\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2\), 那么矩阵 \(A\) 就完全约化为两个沿主对角线排列的方阵.
- 如果
\(A\)
是在给定坐标系中
\(\mathfrak{R}\)
到其自身的一个对应的矩阵, 而
\(A'\)
是它在由第一个坐标系通过一个可逆变换
\(S\)
得到的另一个坐标系中的矩阵, 那么有
\(A' = S A^{-1} S\).
寻找这种对应的一个不变特征可用代数方式确切表述如下:
- 寻找一些由任意矩阵的元所构成的表达式, 使它们对于等价的矩阵具有相同的值. 所谓等价的矩阵指的是它们之间存在着关系 \(A' = S A^{-1} S\) 的矩阵 \(A\), \(A'\).
- 实现这一点的方法可用一个相关问题来说明, 即找到一个向量 \(\mathfrak{x} ≠ 0\), 该向量在 \(A\) 的作用下变换为自身的一个倍数 \(λ \mathfrak{x}\).
对偶向量空间
- 如果任意向量
\(\mathfrak{x}\)
的一个函数
\(L(\mathfrak{x})\)
具有如下形式
- \(α_1 x_1 + α_2 x_2 + ... + α_n x_n\),
- 那么它就称为一个
线性形式. 这个概念在仿射几何的意义上是不变的: 它可以用下列函数性质来界定: - \(L(α \mathfrak{x}) = α \cdot L(\mathfrak{x})\), \(L(\mathfrak{x} + \mathfrak{y}) = L(\mathfrak{x}) + L(\mathfrak{y})\).
- 表达式 \(α_1 x_1 + α_2 x_2 + ... + α_n x_n\) 显然具有这些性质.
- 反过来, 引入坐标系 \(\mathfrak{e}_i\), 并设 \(\mathfrak{x} = \sum x_i \mathfrak{e}_i\), 于是得到
- \(L(\mathfrak{x}) = \sum_i x_i L(\mathfrak{e}_i) = \sum_i α_i x_i\); \(α_i = L(\mathfrak{e}_i)\).
- 在过渡到另一个坐标系, 使得任意向量
\(L(\mathfrak{x})\)
的分量
\(x_i\)
经过变换时, 线性形式变为
\(\sum_i α_i x_i = \sum_i α'_i x'_i\),
- 其中的系数 \(α'_i\) 由等式 \(α'_k = \sum_i a_{ik} \cdot α_i\) 与原系数 \(α_i\) 相关联.
- 一个线性形式的系数
\(α_i\)
称为与变量
\(x_i\)
是
逆步变换的.
- 但是, 没有必要将
\(α_i\)
作为常量, 而将
\(x_i\)
作为变量来考虑. 当
\(α_i\)
不全为零时, 等式
\(L(\mathfrak{x}) = 0\)
定义了一个 “平面”, 即一个
\((n - 1)\)
维子空间; 如果一个向量
\(\mathfrak{x}\)
的各分量满足这个方程, 那么该向量就在这个平面上.
- 但另一方面, 我们可以求通过一个给定非零向量 \(\mathfrak{x}^0\) 的所有平面的方程, 那么此时 \(x_i = x_i^0\) 是常数, 而 \(α_i\) 是变量.
- 因此, 最合适的做法是并行考虑
\((x_1, x_2, ..., x_n)\)
和
\((α_1, α_2, ..., α_n)\)
这两个集合. 因此, 我们除了空间
\(\mathfrak{R}\)
以外再引入另一个
\(n\)
维向量空间, 即
对偶空间 \(P\).
- 引入这个对偶空间的目的实际上是为了使我们能够:
将每个一对一变换与一个逆步变换联系起来.
重申一下, 如果两个可逆线性变换
\(x = A x'\),
\(ξ = A ξ'\)
保持内积不变, 即
- \(ξ_1 x_1 + ξ_2 x_2 + ... + ξ_n x_n = ξ'_1 x'_1 + ξ'_2 x'_2 + ... + ξ'_n x'_n\),
- 那么它们彼此是互为逆步的. 如果
\(\mathfrak{R}\)
的一个向量
\(\mathfrak{x}\)
和
\(P\)
的一个向量
\(ξ\)
的乘积 (内积) 为零, 那么就说这两个向量是
对合的. - \(\mathfrak{R}\) 中的一条射线确定了 \(P\) 中的一个平面, 即与这条给定射线对合的各向量组成的平面, 反之亦然. 对偶是一种互反关系.
- (在相对论中, 通常把
\(\mathfrak{R}\)
和
\(P\)
中的向量分别称为
逆变向量和协变向量.) - 通过交换矩阵
\(A = [a_{ki}]\)
的行和列, 就得到
\(A\)
的
对偶或转置矩阵 \(A^{*}\).
- 对应
\(A\)
和它的对偶
\(A^{*}\)
之间存在的互反关系可以表述如下: 如果
\(\mathfrak{x}\)
是
\(\mathfrak{R}\)
中的任意一个向量,
\(η\)
是
\(Σ\)
中的任意一个向量, 那么向量
\(A \mathfrak{x}\)
与
\(η\)
的乘积就等于
\(\mathfrak{x}\)
与
\(A^{*} η\)
的乘积. 对偶对应符合下列两条线性定律
- \((A_1 + A_2)^{*} = A_1^{*} + A_2^{*}\), \((aA)^{*} = a \cdot A^{*}\).
- 如果 \(A\) 是 \(\mathfrak{R}\) 到 \(\mathfrak{S}\) 的一个对应, 而 \(B\) 是 \(\mathfrak{S}\) 到 \(\mathfrak{T}\) 的一个对应, 那么由于
- \((BA)^{*} = A^{*} B^{*}\),
- \(BA\) 就将 \(\mathfrak{R}\) 线性映射到 \(\mathfrak{T}\), \(A^{*} B^{*}\) 将 \(\mathfrak{T}\) 的对偶空间 \(T\) 映射到 \(\mathfrak{R}\) 的对偶 \(P\).
- 设
\(\mathfrak{R}'\)
为
\(\mathfrak{R} = \mathfrak{R}_n\)
的
\(n'\)
维子空间. 由于关于线性齐次方程的那些最简单定理,
\(P\)
的所有与
\(\mathfrak{R}'\)
的全体向量对合的向量显然构成
\(P\)
的一个
\((n - n')\)
维的子空间
\(P'\).
并且我们由此立即得到以下结果:
- 如果 \(\mathfrak{R}\) 到其自身的一个对应 \(A\) 使子空间 \(\mathfrak{R}'\) 不变, 那么 \(P\) 到其自身的对偶对应 \(A^{*}\) 使相关的子空间 \(P'\) 不变.
- 如果
\(\mathfrak{R}\)
到其自身的一个对应
\(A\)
使
\(n'\)
维子空间
\(\mathfrak{R}'\)
不变, 那么这个
\((n - n')\)
维子空间
\(P'\)
在到其自身的对偶对应
\(A^{*}\)
下不变. 如果将
\(\mathfrak{R}\)
分解为
\(\mathfrak{R}_1 + \mathfrak{R}_2 + ...\),
并且如果
\(A\)
使每个子空间
\(\mathfrak{R}_α\)
不变, 那么
\(A^{*}\)
就使每个子空间
\(P_α\)
不变.
- 如果 \(A\) 是 \(\mathfrak{R}\) 的任何对应, 而 \([A]_{αβ}\) 是 \(\mathfrak{R}_α\) 与 \(\mathfrak{R}_β\) 相交的那部分, 那么 \(A^{*}\) 的 \(P_β\) 与 \(P_α\) 相交的那部分 \([A^{*}]_{βα}\) 与 \([A]_{αβ}\) 是对偶的:
- \([A^{*}]_{βα} = [A]_{αβ}^{*}\).
- \([A]_{αβ}\) 将 \(\mathfrak{R}_β\) 映射到 \(\mathfrak{R}_α\), 而 \([A^{*}]_{βα}\) 将对偶空间 \(P_α\) 映射到 \(P_β\).
酉几何和厄米形式
- 我们将把一切
复数构成的连续统作为各分量可取值的范围.平方和在这个域中失去了确定性. 平方和可以为零, 而这并不意味着每一项都是零. 因此, 可取的做法是将二次形式 (平方和) 替换为以下 “单位厄米形式”- \(\bar{x}_1 x_1 + \bar{x}_2 x_2 + ... \bar{x}_n x_n\),
- 其中
\(\bar{x}\)
表示一个数
\(x\)
的复共轭,
单位厄米形式的 \(\mathfrak{x}^2\) 的值看作向量 \(\mathfrak{x} = (x_1, x_2, ... x_n)\) 的绝对量的平方, 并把相应的双线性形式 - \[(\mathfrak{x} \mathfrak{y}) = x_1 y_1 + x_2 y_2 + ... + x_n y_n\]
- 看作两个向量
\(\mathfrak{x}\)
和
\(\mathfrak{y} = (y_1, y_2, ..., y_n)\)
的
标量积. 如果在一个坐标系中向量 \(\mathfrak{x}\) 的绝对量的平方由各分量 \(x_i\) 以平方和的形式表示, 那就说这个坐标系是正规的. 在一个正规坐标系 \(\mathfrak{e}_i\), 中, 这些分量就是标量积 - \(x_i = (\mathfrak{e}_i \mathfrak{x})\).
- 因此从一个正规坐标系到另一个正规坐标系的变换使
单位厄米形式保持不变, 这种变换被称为酉变换.
从一个正规坐标系到另一个正规坐标系的变换: 亮点! 本书此处是根据
酉变换的定义, 推出了酉矩阵的主要性质~
- 从仿射几何到度量几何的过渡于是可以通过引入以下公理来实现:
- (\(δ\)) 一个向量 \(\mathfrak{x}\) 的绝对量的平方是一个实数 \(\mathfrak{x}^2\), 它是用 \(\mathfrak{x}\) 的分量表示的正定厄米形式.
变换到主轴
- 关于到主轴的变换的定理可以表述如下: 一个厄米形式
\(A\)
将实数
\(α\)
与相互独立的幂等厄米形式
\(E_α\)
相关联, 使得
- \(\mathbf{1} = \sum_α E_α\), \(A = \sum_α α \cdot E_α\);
- \(E_α\) 只对有限个 \(α\) 值不为零.
- 这个过程可以立即应用于任何数量的厄米形式:
当且仅当任意数量的厄米形式彼此可交换时,
它们就可以同时转变成正规形式.
- 只要稍作修改, 我们就可以把这条定理进一步推广到厄米形式的一个任意有限或无限系 \(Σ\).
无穷维空间的一些注记
- 希尔伯特建立了无穷多变量的厄米形式的特征数理论,
但它只适用于
有界形式- \[A(\mathfrak{x}) = \sum_{i, k} a_{i, k} \bar{x}_i x_k\]
- 即当 \(\mathfrak{x}^2 = \sum_i \bar{x}_i x_i ≤ 1\) 时, 其值要具有固定上界的那些形式. 事实上, 没有这个假设, 我们就不能保证 \(A(\mathfrak{x})\) 在整个 \(\mathfrak{x}^2 = \sum_i \bar{x}_i x_i ≤ 1\) 范围内的收敛性.
- 这只是用另一种方式表达了并不是每个连续函数都是可微的这一事实.
这种情况更有利于酉形式, 这是因为它们出于自身的定义而满足
有界条件. - 因此, 酉变换要看作同时满足两个条件 \(U \bar{U} = \mathbf{1}\), \(\bar{U} U = \mathbf{1}\). 对于有界厄米形式和 \(∞\) 维空间中的酉对应, 它们的主轴定理得到了严格的证明.
量子理论
-
事实上, 我们可以把用来描述这些现象的, 且定义在时间和空间上的一个复函数 \(ψ(t; xyz)\) 看成这样一个向量, 在其中每一个时空点表示一个复向量空间的一维.
- 我们通过保留线性波动方程来把两种观点统一起来, 不过要将强度
\(\bar{ψ} ψ\)
视为光子在
\(t\)
时刻出现在点
\((x, y, z)\)
的相对概率. 或者更精确地说,
- \[\bar{ψ} ψ dx dy dz\]
- 是在 \(t\) 时刻, 它在点 \((x, y, z)\) 周围在边长为 \(dx\), \(dy\), \(dz\) 的平行六面体内被发现的概率.
- 但是, 如果我们像处理光子一样处理物质粒子, 那就只能期望得到一个合理的理论.
- 在洛伦兹变换 (它将一个时空坐标系变换到另一个同样可允许的坐标系) 下,
\(c^2 t\),
\(-x\),
\(-y\),
\(-z\)
这些量必然因之逆步地变换为
\(t\),
\(xyz\).
因此, 它们是与四维时空世界对偶的空间中与
\((t, xyz)\)
相关的那个向量的分量.
- 这样的一个对偶向量由 \(H\), \(- p_x\), \(- p_y\), \(- p_z\) 给出, 或者相当于 \(H dt - (p_x dx + p_y dy + p_z dz)\) 在洛伦兹变换下是不变的.
全导数公式
薛定谔波动方程, 谐振子
球对称场中的电子, 方向量子化
碰撞现象
量子力学的概念结构
动力学定律, 跃迁概率
微扰理论
多体问题, 乘积空间
对易法则, 正则变换
保留经典物理的一切关系, 这是量子理论的一般特征.
但是尽管经典物理是把这些关系解释为物理量的值在所有个别情况下都遵循的条件,
然而量子理论则把它们解释为物理量本身要服从的条件,
或者更确切地说是表示物理量的厄米矩阵要遵循的条件.