虽然量子理论的历史只能追溯到 1900 年, 但群论的起源却迷失在历史几乎难以触及的过去.
最早的艺术作品表明, 平面图形的对称群甚至在那时就已经为人们所知,
尽管关于这些群的理论直到 18 世纪后半叶和 19 世纪才有了明确的形式.
克莱因认为群的概念是 19 世纪数学所具有的最大特色.
到目前为止, 它在自然科学中最重要的应用是对晶体对称性的描述.
但最近人们认识到, 群论对量子物理有着根本的重要性.
它在量子物理学中揭示出一些基本特征, 而这些特征既不依赖于一种特殊形式的动力学定律,
也不依赖于对涉及的那些力的特殊假设. 我们很可能会预期,
只有量子物理学的这一部分最可能会成为一个持久不衰的领域. 有两个群
(一个是三维空间中的旋转群, 另一个是置换群) 在量子物理学中发挥着主要作用,
这是因为支配着聚集在静止的原子核或离子周围的电子的可能排布的那些规律都是关于原子核呈球对称的,
并且由于构成原子或离子的许多电子都是全同的, 因此这些可能的排布在各个电子的置换下是不变的.
对群的研究, 首先在群的线性变换表示论中成为一个相互联系的, 完整的理论,
而这正是充分描述量子力学中的那些关系所必需的, 数学上最重要的部分.
除了所谓的主量子数之外, 所有量子数都是描述群表示特征的指标.