- 量子信息物理原理
- 期待能出新版!
量子计算与量子信息 让我不甚满意的地方: 1. 废话多了些, 有点冗余; 2. 文风偏向学科综述. 确实适合初学者, 但是不适合再次阅读~
量子测量及相关问题
- 对归一化波函数
\(Ψ(x)\)
进行力学量
\(A\)
的测量, 总是将
\(Ψ(x)\)
按
\(A\)
所对应算符
\(\hat{A}\)
的正交归一本征函数族
\(\{ φ_i (x), \forall i \}\)
展开
- \(Ψ(x) = \sum_i c_i φ_i (x)\), \(\{ φ_i (x) \mid \hat{A} φ_i (x) = a_i φ_i (x), \forall i \}\)
- 单次测量后所得 \(A\) 数值必随机地属于本征值 \(\{ a_i \}\) 中某一个, 比如为 \(a_k\) (除非 \(Ψ(x)\) 已是它的某个本征函数); 测量完毕, \(Ψ(x)\) 即相应突变 (坍缩) 为该本征值 \(a_k\) 的本征函数 \(φ_k (x)\).
- 对大量相同态构成的量子系综进行多次重复实验时, 任一本征值 \(a_k\) 出现的概率是此展开式中相应项系数的模平方 \(\mid c_k \mid^2\).
- 注意 1: 对同一个态, 若进行不同种类的测量, 将相应于不同的展开, 会导致不同的坍缩, 从而表现出不同的实验现象!
- 注意 2: (测量导致的) 量子坍缩, 以及 (体现在量子干涉中的)
量子叠加都是
概率幅的坍缩和概率幅的叠加!
- 量子体系状态改变的两种方式, 量子理论的两种基本过程:
- \(U\) 过程: 决定论的, 可逆的, 保持相干性的
- \(R\) 过程: 随机的, 不可逆的, 斩断相干性的
- 理想的完全测量的三个阶段为: 纠缠分解, 波包坍缩, 初态制备.
- 纠缠分解: \(Ψ(x)\) 按被测 \(A\) 本征态分解并和测量指示器可区分态纠缠; 波包坍缩: \(Ψ(x)\) 以 \(A\) 展式系数模方为概率向本征态之一随机突变; 初态制备: 坍缩后态作为初态在新环境哈密顿量下开始新一轮演化. 所以有时简单地说成测量制备了初态.
- 实验经常是对大量相同量子态组成的量子系综进行重复测量并读出结果.
多次重复测量将制备出一个混合态, 不同坍缩结果
\(φ_i (x)\)
之间不存在任何相位关联, 彼此是非相干的.
- 这个混合态又称作纯态系综: 一个相互正交的不同纯态的系列: \(\{ \mbox{出现纯态 } φ_i (x) \mbox{ 的概率为 } p_i \mbox{ 等} \}\).
- 一般地说, 按不同情况和不同观点, 量子测量有不同的种类:
- (i) 封闭系统量子测量与开放系统量子测量;
- (ii) 两体及多体有: 局域测量, 关联测量, 联合测量;
- (iii) 完全测量与不完全测量.
- 其中就简单的两体而言, 有两体局域测量, 关联测量, 联合测量:
- (1) 局域测量: 只对两体中的某一方做测量, 比如只对 \(A\) 测量. 相应力学量是 \(Ω_{AB} = Ω_A \otimes I_B\), 相应的测量结果为
- \[\begin{align} tr(ρ_{AB} Ω_{AB}) & = tr^{(A)} \{ tr^{(B)} [ρ_{AB} Ω_A \otimes I_B] \} \\ & = tr^{(A)} \{ tr^{(B)} [ρ_{AB}] Ω_A \} \\ & = tr^{(A)} (ρ_A Ω_A) \end{align}\]
- 此类测量的所有测量结果只和约化密度矩阵 \(ρ_A\) 有关.
- (2) 关联测量: 同时对 \(A\), \(B\) 做局域测量, 并比较相应结果: \(Ω = Ω_A \otimes Ω_B\). 此时只对未纠缠态 (可分离态), 比如对 \(ρ_{AB} = ρ_A \otimes ρ_B\) 有
- \[\langle Ω \rangle = \langle Ω_A \rangle \cdot \langle Ω_B \rangle\]
- 此类测量结果均是可分离的, 只和两个约化密度矩阵 \(ρ_A\) 及 \(ρ_B\) 有关.
- (3) 联合测量: 测量不是局域进行的, 类似于下面不可分离类型的力学量测量
- \(Ω = \sum_i Ω_A^i \otimes Ω_B^i\), \(i ≥ 2\)
- 此类测量结果均不是可分离的, 和两个粒子态 \(ρ_{AB}\) 的量子关联有关.
- 开放系统的量子测量. 这时出现三个新特点:
- (i) 态可能是混的;
- (ii) 演化可能是非幺正的, 不可逆的;
- (iii) 测量可能是非正交投影分解 (POVM)
- 这里有一个重要的概念: POVM (正算符取值测度)
- \(\mid Ψ \rangle \to \{ \hat{F}_α = \mid F_α \rangle \langle F_α \mid \}\), 即 \(\mid Ψ \rangle \to \sum_α \langle F_α \mid Ψ \rangle \mid F_α \rangle\)
- \(\sum_α F_α = I\), \(F_α^{\dagger} = F_α\), \(F_α F_β ≠ δ_{αβ} F_α\), \(tr F_α ≤ 1\)
- POVM 是以前针对封闭系统的 von Neumann 正交投影理论向开放系统的推广, 是完全测量向非完全测量的推广. 简要地说, 大系统进行正交测量时, 在子系统上实现的 (或所观察到的) 测量称为广义测量, 在子系统中实现的投影是一组 POVM.
现在常用的是极化分束器 (PBS).
它让水平极化入射光子几乎全部透过,
而让垂直极化入射光子几乎全部反射.
若是斜的极化入射, 则将其分解之后,
对分解后的分量实行透射或反射.
这完全是选择性的透射和反射.
同半透片一样, 反射后的分量有一个 π/2 相位跃变.
广义测量与 POVM
以前研究的量子力学都是针对封闭系统的.
现在开始研究开放系统的量子力学. 这时的量子力学出现三个新特点:
1 量子态可能是混的;
2 量子演化可能是非幺正的, 不可逆的;
3 量子测量造成的投影分解可能是非正交的分解: POVM.
广义测量是指, 在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时,
在局部的子系统上所实现的局限性测量, 称为广义测量, 又称为局域测量.
从大系统的角度来看, 现在的子系统是个开放系统,
对其进行的观测是片面的观测, 局部的观测.
广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量.
就是说, 对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量,
必定是正交投影测量. 而测量所得的必定是这个完备组共同本征态的量子数,
测量所实现的也必定是向这个完备组相互正交共同本征态的投影. 但是,
大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交.
于是可以设想, 不知道大系统, 只知道子系统的观察者会认为:
通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态, 而不是一组正交态.
这就是通常所说的 "广义测量不一定是正交投影" 的缘故.
直和子空间
POVM 是用一组不一定彼此正交的正值算符之和对子空间单位算符的分解方案.
-
由于任何投影算符 \(P\) 的平方等于它自己 \(P^2 = P\), 所以开根也是它自己 \(√P = P\).
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由于 “\(F_a\) 是大空间的 \(E_a\) 向子空间 \(H_A\) 的投影”, 所以有
- \[H_A \mbox{ 的维数} ≤ F_a \mbox{ 数目} ≤ E_a \mbox{ 数目} = (H_A + H_A^{⊥}) \mbox{ 维数和}\]
- \(F_a\) 个数可能多于 \(H_A\) 的维数是因为, 它们完备但彼此却不一定正交; 而 \(F_a\) 个数可能少于 \(H_A + H_A^{⊥}\) 的维数是因为, 可以有这样的 \(E_a\), 它只向正交子空间 \(H_A^{⊥}\) 投影, 于是与这种 \(E_a\) 相应的 \(F_a\) 便是零.
POVM 是针对封闭系统的 von Neumann
正交投影理论向开放系统的推广,
是完全测量向非完全测量的推广.
直积子空间
- 对于直积情况, POVM 中
\(F_μ\)
个数的上限与直和的不同. 这时有
- \[\dim H_A ≤ \mbox{Number}(F_μ) ≤ \mbox{Number}(E_μ) = \dim (H_A \otimes H_B)\]
通过直和与直积两种方式说明了,
在更大态空间中进行某个正交投影测量过程,
反映到它某个子空间中 (相当于只从这个子空间做局部性观察),
就实现为一个非正交的投影系列: 实现一种 POVM.
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注意, 在两维态空间中做单位算符的 POVM 分解时, 若是两个分解 [\(N = 2\), 即 \((F_1, F_2)\)], 虽有无穷多种分解, 但必定都是正交分解. 只有多于所在空间维数的分解, 即 \(N ≥ 3\) 的分解, 才必定是非正交的分解.
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上面通过考察比 \(H_A\) 更大空间中的正交测量, 得到了在 \(H_A\) 空间中的 POVM 的概念. 现在反过来考虑, 这就是 Neumark 定理:
- “总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间, 并在这个较大空间执行适当正交测量的办法, 实现所考虑空间中任何事先给定的 POVM.”
总而言之, 由正交测量的局部投影之后所得的 POVM 以及此处的
Neumark 定理, 可以得到一个总体的认识: 在一个系统上执行任选的
POVM 类型的测量是人们能够执行的最一般的测量.
广义些说, 原则上对一个量子系统进行给定的量子测量,
总会对应存在一些动力学变量, 它们不受此给定测量的扰动,
在此测量中保持不变. 这些动力学变量便是这种测量的 QND 变量.
但在做此测量时, 不能同时又从被测态取出与 QND
变量不对易的其他力学量的数值, 否则必定因此而干扰被测的态.
可以多次重复测量, 但在测量间歇期间, 不能有与 A
不对易的量的污染, 否则也必定会因此而干扰被测的态.