- 量子信息物理原理
- 期待能出新版!
量子计算与量子信息 让我不甚满意的地方: 1. 废话多了些, 有点冗余; 2. 文风偏向学科综述. 确实适合初学者, 但是不适合再次阅读~
量子测量及相关问题
- 对归一化波函数
\(Ψ(x)\)
进行力学量
\(A\)
的测量, 总是将
\(Ψ(x)\)
按
\(A\)
所对应算符
\(\hat{A}\)
的正交归一本征函数族
\(\{ φ_i (x), \forall i \}\)
展开
- \(Ψ(x) = \sum_i c_i φ_i (x)\), \(\{ φ_i (x) \mid \hat{A} φ_i (x) = a_i φ_i (x), \forall i \}\)
- 单次测量后所得 \(A\) 数值必随机地属于本征值 \(\{ a_i \}\) 中某一个, 比如为 \(a_k\) (除非 \(Ψ(x)\) 已是它的某个本征函数); 测量完毕, \(Ψ(x)\) 即相应突变 (坍缩) 为该本征值 \(a_k\) 的本征函数 \(φ_k (x)\).
- 对大量相同态构成的量子系综进行多次重复实验时, 任一本征值 \(a_k\) 出现的概率是此展开式中相应项系数的模平方 \(\mid c_k \mid^2\).
- 注意 1: 对同一个态, 若进行不同种类的测量, 将相应于不同的展开, 会导致不同的坍缩, 从而表现出不同的实验现象!
- 注意 2: (测量导致的) 量子坍缩, 以及 (体现在量子干涉中的)
量子叠加都是
概率幅的坍缩和概率幅的叠加!
- 量子体系状态改变的两种方式, 量子理论的两种基本过程:
- \(U\) 过程: 决定论的, 可逆的, 保持相干性的
- \(R\) 过程: 随机的, 不可逆的, 斩断相干性的
- 理想的完全测量的三个阶段为: 纠缠分解, 波包坍缩, 初态制备.
- 纠缠分解: \(Ψ(x)\) 按被测 \(A\) 本征态分解并和测量指示器可区分态纠缠; 波包坍缩: \(Ψ(x)\) 以 \(A\) 展式系数模方为概率向本征态之一随机突变; 初态制备: 坍缩后态作为初态在新环境哈密顿量下开始新一轮演化. 所以有时简单地说成测量制备了初态.
- 实验经常是对大量相同量子态组成的量子系综进行重复测量并读出结果.
多次重复测量将制备出一个混合态, 不同坍缩结果
\(φ_i (x)\)
之间不存在任何相位关联, 彼此是非相干的.
- 这个混合态又称作纯态系综: 一个相互正交的不同纯态的系列: \(\{ \mbox{出现纯态 } φ_i (x) \mbox{ 的概率为 } p_i \mbox{ 等} \}\).
- 一般地说, 按不同情况和不同观点, 量子测量有不同的种类:
- (i) 封闭系统量子测量与开放系统量子测量;
- (ii) 两体及多体有局域测量, 关联测量, 联合测量;
- (iii) 完全测量与不完全测量.
- 其中就简单的两体而言, 有两体局域测量, 关联测量, 联合测量:
- (1) 局域测量: 只对两体中的某一方做测量, 比如只对 \(A\) 测量. 相应力学量是 \(Ω_{AB} = Ω_A \otimes I_B\), 相应的测量结果为
- \[\begin{align} tr(ρ_{AB} Ω_{AB}) & = tr^{(A)} \{ tr^{(B)} [ρ_{AB} Ω_A \otimes I_B] \} \\ & = tr^{(A)} \{ tr^{(B)} [ρ_{AB}] Ω_A \} \\ & = tr^{(A)} (ρ_A Ω_A) \end{align}\]
- 此类测量的所有测量结果只和约化密度矩阵 \(ρ_A\) 有关.
- 开放系统的量子测量. 这时出现三个新特点:
- (i) 态可能是混的;
- (ii) 演化可能是非幺正的, 不可逆的;
- (iii) 测量可能是非正交投影分解 (POVM)
- 这里有一个重要的概念: POVM (正算符取值测度)
- \(\mid Ψ \rangle \to \{ \hat{F}_α = \mid F_α \rangle \langle F_α \mid \}\), 即 \(\mid Ψ \rangle \to \sum_α \langle F_α \mid Ψ \rangle \mid F_α \rangle\)
- \(\sum_α F_α = I\), \(F_α^{\dagger} = F_α\), \(F_α F_β ≠ δ_{αβ} F_α\), \(tr F_α ≤ 1\)
- POVM 是以前针对封闭系统的 von Neumann 正交投影理论向开放系统的推广, 是完全测量向非完全测量的推广. 简要地说, 大系统进行正交测量时, 在子系统上实现的 (或所观察到的) 测量称为广义测量, 在子系统中实现的投影是一组 POVM.