把这两本书放在一起的理由: 量子信息~
拓扑与物理
- 拓扑与物理
- 首先, 这确实是本科普书 (有些论文其实定位类似于科普);
但是, 门槛不低, 不同文章跨度很大.
核及原子的复几何
- 首先, 这确实是本科普书 (有些论文其实定位类似于科普);
但是, 门槛不低, 不同文章跨度很大.
拓扑引力的进展
马约拉纳费米子以及辫子群的表示
算术规范场论
奇性定理
任意子之外
量子信息下力和物质的统一
从计算的角度看拓扑绝缘体
哈珀模型中的 SO4 对称性
量子菜根谭
QT 的物理属性极其丰富, 除了常说的波粒二象性, 不确定性, 全同性,
这 "老三性" 之外; 还有完备性, 可观测性, 内禀非线性, 相干叠加性,
纠缠性, 逻辑自洽性, 不可逆性, 因果性, 或然性, 多粒子性, 空间非定域性等.
的确, 真正懂得量子力学并非易事.
强记硬背量子力学基本内容不难, 就事论事地讲清量子力学的数学外衣也容易.
但传授对量子力学物理思想的理解, 深化对量子力学物理逻辑的分析,
懂得量子力学的本质, 相当不容易.
即便是著名物理学家或是教授量子力学几十年的老教师,
也未必总能满意地回答莘莘学子基于直觉提出的问题.
这一段很好的回应了很多科普书对费曼言论的断章取义, 或者肤浅解释~
所以, 学习和掌握 QT 的时候, 要时时注意摆脱经典物理学先入为主的成见,
人择原理的偏颇, 宏观观念的束缚, 人造虚像的干扰. 这里最重要的是:
第一, 体察人类最先掌握的经典物理学只是离自己手边最近的物理学,
未必是自然界最基础层面的物理学;
第二, 树立 "只信实验, 只信逻辑" 的科学理性精神;
第三, 警惕人类建立 "可道" 理论过程中必然会引入的绝对化,
理想化, 局域性, 片面性的纯属人造的属性.
牛顿力学的创立, 量子力学的创立, 基本规律本身,
都是逻辑推理无能为力的地方. Landau 说:
理论物理中追求数学严格性往往是自欺欺人. 其含意也正在此.
(1) 量子力学主要线索归纳为 2-1-3-5
2 -- 两类基础实验: 微观粒子具有波粒二象性
1 -- 一个基本图像: 波粒二象性
3 -- 三大基本特征: 概率幅描述; 量子化现象; 不确定性关系
5 -- 五大基本公设: 波函数, 算符, 测量, 动力学方程, 全同性原理
(2) 另有 3-2-1
3 -- 测量过程的 3 阶段: 纠缠分解, 波包塌缩, 初态演化
2 -- 两种因果律: 决定论的, 或然的
1 -- 一个中心任务: 概率幅计算
量子物理百年回顾
矩阵力学, 这是量子力学的第一个版本.
理解原子中电子运动这一历史目标被放弃, 而让位于梳理可观测的光谱线的系统方法.
波动力学, 这是量子力学的第二种形式.
在波动力学中, 体系的状态用薛定谔方程的解: 波函数来描述.
矩阵力学和波动力学貌似不一致, 被证明其实是等价的.
波函数:
体系行为由薛定谔方程描述, 方程的解称为波函数.
体系的全部信息由它的波函数描述, 在测量任意可观测量时,
通过波函数可以计算出各种可能值的概率.
在空间给定体积内找到一个电子的概率正比于波函数幅值的平方,
因此, 粒子的位置弥散分布在波函数所在的体积内.
粒子的动量依赖于波函数的斜率: 波函数越陡, 动量越大.
因为从一个地方到另一个地方斜率是变化的, 因此动量也是弥散分布的.
这样, 有必要放弃位移和速度能确定到任意精度的经典图像,
而采纳一种模糊的概率图像, 这也是量子力学的核心.
不确定性:
对于同样制备的相同体系进行相同测量不一定会给出同一结果.
相反, 结果分散在波函数描述的范围内.
因此, 电子具有特定的位置和动量的观念失去了基础.
这由不确定性关系作如下定量表述:
要使粒子位置测得精确, 波函数必须是尖峰型的, 而不是弥散的.
然而, 尖峰必有很陡的斜率, 因此动量分散就大.
相反, 若动量分散小, 波函数的斜率必须小,
这意味着波函数分布于大的体积内, 这样描述粒子位置的精确度就变低.
波的干涉:
波峰相加还是相减取决于波的相对相位, 波幅同相时相加, 反相时相减.
当波沿着几条路径从波源到达接收器, 比如光的双缝干涉,
则接收器上的亮度显示一般会呈现干涉图样.
粒子遵循波动方程, 将有类似的行为, 如电子衍射.
要不是人们探究波的本性, 这个类推似乎是合理的.
波通常被认为是介质中的一种扰动. 量子力学中没有介质,
从某种意义上说根本就没有波, 波函数本质上是我们对系统信息的一种陈述.
言简意赅
对称性和全同性:
氦原子由一个原子核以及绕其运动的两个电子构成.
氦原子的波函数描述了每一个电子的位置, 然而没有办法区分究竟是哪一个.
因此, 两电子交换后看不出体系有何变化,
也就是说在给定位置找到电子的概率不变. 由于概率依赖于波函数的幅值的平方,
因而粒子交换后体系的波函数与原始波函数的关系只可能是下面的一种:
要么与原波函数相同, 要么改变符号, 即乘以 -1. 到底是哪一种情况呢?
由于 QED 是一个关于轻子的理论, 当然它不能描述被称为强子的复杂粒子,
它们包括质子, 中子和大量的介子. 对于强子, 就必须创立一个新的理论,
这就是 QED 的推广, 称为量子色动力学 (QCD).
QED 和 QCD 之间存在很多类似之处.
电子是原子的组成要素, 夸克是强子的组成要素.
在 QED 中, 带电粒子之间的相互作用通过光子传递;
在 QCD 中, 夸克之间的相互作用通过胶子传递.
尽管有这些类似之处, 但 QED 和 QCD 之间还存在一个重大的区别.
与轻子和光子不同, 夸克和胶子永远被囚禁在强子内部,
它们不能被释放出来并被单独地研究.
QED 和 QCD 构成了被称为标准模型的大统一的基石.
标准模型成功地解释了迄今进行的每一次粒子实验.
然而许多物理学家认为它还不够好,
因为各种基本粒子的质量, 电荷以及其他属性的数据还要来自实验.
一个理想的理论应该对所有这些给出预言.
Young 氏双缝实验
还有刻意模仿 Feynman 的话, 但却是完全错误的:
"分立和连续的统一是量子力学的心脏."
("This union of the discrete and the continuous
is at the heart of quantum mechanics.")
这又一次应验了 Feynman 的另一个说法:
I can safely say that nobody understands quantum mechanics.
这种主张错误在于: 经典物理学的波动力学中也普遍存在分立与连续统一的现象.
一维弦振动, 二维膜振动和三维微波腔振动都存在分立本征态解的振幅连续叠加问题.
有些量子力学书的原理图漏画了电子源和双缝屏间的单缝屏:
其物理作用是保证双缝入口处初始相位差的固定
(由于不可能制造出几何点状电子源,
实验必须保证由电子源不同部位发射的电子到达双缝入口时所经历的程差是固定的.
单缝屏就专为此而设, 是保证双缝实验成功的必要部件).
电子 Young 氏双缝实验的标量解释是不完整的.
实际上, 电子是两分量旋量, 所以实验应当是个两分量旋量的干涉实验.
即便对光子, 因为有极化, 也应当考虑包含偏振的双缝干涉.
- 实验中每个电子都是从两条缝同时穿过的.
接收屏上电子所处状态是经历两条途径的两种状态
(概率幅) 的相干叠加:
- \[\mid Ψ \rangle = \mid \mbox{up} \rangle + \mid \mbox{down} \rangle\]
- 这表明, 每个电子都是自身干涉. 若进行 which way 测量, 必向两者之一塌缩; 原则上无法分辨就会发生双态之间的干涉.
有什么理由事先 (!) 就规定微观客体是 "局域化的东西" 呢?
难道它们本性就是粒子吗?! 难道它们的 "粒子面貌" 不正是人们总是采用
"抓住" 这类测量方式将粒子 "逼向" 位置本征态所造成的吗?!
有什么理由把这一类测量结果当成被测微观客体在测量之前就客观存在的面貌呢?!
在众多 which way 实验中, 有一类是用可以激发的原子代替电子做
Young 氏双缝实验. 这是采用激励原子内部自由度的办法去查明
"到底是从哪条缝 (或是哪条路径) 过来".
比如, 在两条路径中的一条上 (或者双缝的一条缝后) 实施适当波长的激光辐照,
使原子共振激发至激发态; 而另一条路径上则不照射. 与此相应,
会合点处安置对原子是否激发很灵敏的探测器.
根据测到的该原子是否激发, 可以判断它是从哪条路径 (缝) 过来的.
所有 which way 实验的共同结论是:
无论双缝, 双路, 双出口, 双态等各种各类 which way 实验,
不论用何种方法, 只要能够区分 "which way", 干涉花样必定消失;
只对那些原理上无法区分的实验方案, 干涉现象才会出现.
- (1) 无论单粒子或复合粒子杨氏双缝, 各种 “which way” 实验等,
都可以概括地统称为 “广义双态系统”.
系统的两个态矢可以广义地理解为两个能级, 两种自旋取向, 两种极化方式,
两条缝出来, 两条路径过来, 折射和反射, 两个出口 …
- 有关实验可以归结为 “广义 Young 氏双缝实验”. 如果两份概率幅原则上无法区分, 将呈现出相干叠加, 而当进行 “which one” 测量时, 表现向两者之一的随机塌缩.
- 如果将两个态矢形象地称做 \(\mid \mbox{Yes} \rangle\) 和 \(\mid \mbox{No} \rangle\), \(\mid Ψ \rangle = α \mid \mbox{Yes} \rangle + β \mid \mbox{No} \rangle\), \(\mid α \mid^2 + \mid β \mid^2 = 1\)
- 概念上, 广义 Young 氏双缝实验等价于 “量子位 (qubit)”. 量子位的量子状态服从 “量子逻辑”:
- 既是 Yes 又是 No, 既不是 Yes 也不是 No; 测量结果, 不是 Yes 就是 No.
- 这完全不同于 “经典 bit 逻辑”: Yes 或 No 只居其一.
- (2) 只当实验方案原理上无法区分哪一条路 (缝, 出口, 反射折射):
无广义的好量子数 (好量子数或 “正交特性”) 可供识别时, 干涉现象才能发生;
如果能用某种办法识别出是哪条路 (缝), 干涉现象必定消失:
已存在可供识别的广义好量子数使两态之间正交, 导致干涉消失.
- 如为多粒子情况, “可识别性” 相应于: 按全同性原理进行对 (反) 称化所出现的交换矩阵元 (正是它们显示干涉效应) 因正交性而消失.
- (3) 这类实验中, 发生干涉现象的物理根源来自微观粒子的内禀性质: 波动性 (波粒二象性).
- (4) 全同性原理主张: 来源不同的全同粒子可以发生干涉! 只要从初态
\(\to\)
相互作用
\(\to\)
测量塌缩到终态的全过程中, 不存在可供区分的广义好量子数.
- Dirac 关于 “光子只能自身干涉” 的结论, 以及维护 Dirac 结论的 “1 + 1 ≠ 2” 辩护都是不对的.
- (5) 全部 which way 实验中塌缩 (注意, 这是单个粒子自身朝自身两种状态之一的随机选择, 并不是在不同粒子间的塌缩与关联塌缩!) 过程也是违背相对论性定域因果律的超空间过程! 它们一再警示: 整个量子理论本质上是空间非定域性的理论, 只是披着定域描述的外衣而已!
- (6) 能作为 qubit 的双态体系必须满足条件: 除这两个能级外, 其余能级在工作和测量期间影响可忽略; 可施加外控进行相应幺正或非幺正操控; 可随意插入测量; 退相干时间长于多次运行时间.
无限深方阱粒子动量波函数的争论
似乎表明, 就阱内情况而言, 粒子波函数是两个反向传播的
de Broglie 行波叠加而成的驻波, 类似于两端固定的一段弦振动.
实际上这种看法是不严格的, 分析如下.
- 显然, 这个问题只是一种近似的数学模型.
因为势能不可能真为无限大, 其变化也不会是严格的阶跃.
有时, 边界条件被改写作
\(ψ(x) = 0\)
\((|x| = a)\).
这两种不同的边界条件写法对求解阱内坐标波函数并无影响.
- 但要注意, 后面写法对阱外坐标波函数取值情况未作规定, 是含混的. 下面分析表明, 矛盾正是来源于这个含混.
- 按 QM 的基本原理, 波函数, 动量算符及 Schrodinger
方程都应当定义在整个 (空间) 实轴上,
而不是只定义在 (有限空间的) 势阱内.
所以, 正确的边界条件应当是
\(ψ(x) = 0\),
\(|x| ≥ a\);
而不是
\(ψ(x) = 0\),
\(|x| = a\).
- 如果相反, 认为边界条件可以用后者, 并认为物理量算符可以”只”定义在势阱 \(|x| ≤ a\) 内, 这不仅会给 QM 基本原理解释以及很多算符 (比如, 动量算符及相关的动能算符, 轨道角动量算符等) 的厄米性, 完备性带来许多不必要的混乱和麻烦, 理论处理很烦琐; 而且动量波函数的解有两种不同的结果!
- 前面曾说过: 阱内粒子波函数是两个行波叠加而成的驻波,
类似于两端固定的一段弦振动. 但这种形象的说法是近似的!
因为, 这两个行波仅仅存在于 (定义于) 有限区间
\([ -a, a]\)
内, 而有限长度光波波列不会是严格单色的!
- 这里问题的关键是: 关于坐标波函数边界条件的两种不同提法, 虽然不影响求解阱内坐标波函数, 但却影响阱内粒子的动量波函数! 因为坐标波函数是定域的, 而动量波函数则是非定域的!
- 后者是说: 阱内动量波函数分布不仅依赖于阱内坐标波函数的形状, 而且还依赖于阱外坐标波函数的形状. 换句话说, 它还取决于对阱外坐标波函数的处理: 坐标波函数边界条件的正确拟定!
量子测量的理论基础, 广义测量
- 第三公设, 量子测量公设: 对状态
\(ψ(x)\)
进行力学量
\(A\)
的测量, 总是将
\(ψ(x)\)
按
\(A\)
所对应算符
\(\hat{A}\)
的正交归一本征函数族
\(\{ φ_i | \hat{A} φ_i = a_i φ_i, i = 1, 2, ... \}\)
展开:
- \[ψ(x) = \sum_i c_i φ_i (x)\]
- 单次测量所得 \(A\) 的数值必定随机地属于 \(\hat{A}\) 本征值中某一个 \(a_k\) (除非 \(ψ(x)\) 是它的某个特定本征态); 测量完毕, \(ψ(x)\) 即相应地随机突变 (塌缩) 为该本征值 \(a_k\) 的本征态 \(φ_k (x)\).
- 对大量相同态组成的量子系综多次重复实验时, 某个本征值 \(a_k\) 出现的概率是此展开式中对应项系数的模平方 \(| c_k |^2\).
这里需要注意 4 点
(1) 由于被测力学量是可观测的力学量,
其本征态族是完备的, 可以用来展开任意的波函数.
(2) 对同一个态进行不同力学量的测量, 将导致不同的展开,
产生不同的塌缩, 从而显示不同的结果和现象!
正是由于不同测量中的不同表现, 电子才一会儿像粒子
(当测其位置时), 一会儿又像波动 (当测其动量时).
(3) 测量所对应的展开和叠加, 是"概率幅的展开和叠加"!
本质上不同于经典的概率分解与合成.
(4) 单次测量的塌缩过程所表现的随机或然性, 性质完全不同于经典的或然性.
量子或然是没有任何隐变数的或然, 是真正的或然, 是上帝掷骰子的或然;
而经典的或然全都是有隐变数的或然, 是表观的或然, 是人掷骰子的或然.
- 测量过程分解, 测量的三个阶段
- (1) 量子体系状态变化的两种方式:
- \(U\) 过程: 决定论的, 可逆的, 保持相干性的;
- \(R\) 过程: 随机的, 不可逆的, 斩断相干性的.
- (2) 理想的完整测量过程有三个阶段: 纠缠分解, 波包塌缩, 初态制备
- 纠缠分解: \(ψ(r)\) 按被测力学量 \(A\) 的本征态分解并和测量指示器的可区分态产生纠缠.
- 波包坍缩: \(ψ(r)\) 以 \(A\) 展开式系数模方为概率向 \(A\) 的本征态之一随机突变 (塌缩).
- 初态制备: 塌缩态作为初态在新环境的新 Hamilton 量下开始新一轮演化.
- 实验经常对大量相同量子态组成的量子系综进行同类重复测量并读出结果.
多次重复测量制备出一个混态: 各次测量中各次塌缩所得各种
\(φ_i (x)\)
之间不存在位相关联, 彼此非相干.
- 这个一系列纯态集合的混态称做纯态系综: 集合中, 纯态 \(φ_i (x)\) 出现的概率为 \(p_i\), 等等.
- 深邃的塌缩阶段, 具有四大特征. 应当说,
状态塌缩过程是一个极其深邃的, 尚未了解清楚的过程.
它蕴涵着一系列根本性的 open 问题. 但无论如何,
从唯象描述角度看, 塌缩过程具有四大特征:
- 随机的: 原则上就无法预见和控制的;
- 切断相干性的: 切断被测态中不同选择 (塌缩) 之间的相干性;
- 不可逆的: 有人说, 测量是熵增加过程;
- 非定域的: 波函数的塌缩总是非定域的.
- 按测量公设, 每次测量并读出结果之后, 被测态
\(ψ(r)\)
即向该次测量所得本征值的相应本征态随机突变 (塌缩) 过去, 除非
\(ψ(r)\)
原本是该被测力学量的某一本征态, 否则单次测量后, 被测态
\(ψ(r)\)
究竟向哪个本征态塌缩, 就像测得的本征值一样, 是随机的, QT 不能事先预告.
- 单次测量是一种随机过滤器, 是向被测力学量本征态的随机投影, 使波函数随机约化到它的一个成分 (分支) 上. 单次测量造成的塌缩称为第一类波包塌缩.
- 塌缩中, 表现为粒子状态的突变, 实质上是体系演化时空的塌缩! 这从量子 Zeno 效应叙述可以窥见. 近来的实验表明: 塌缩与关联塌缩是同一个事件, 其间不存在因果关联!
- 以往量子力学通常研究的是孤立, 封闭的量子体系.
此时量子测量都是正交投影, 按测量公设,
是向被测力学量的本征函数族投影:
- \(\mid ψ \rangle \to E_i \mid ψ \rangle\) \(\{ E_i = \mid i \rangle \langle i \mid, \sum_i E_i = I, E_i E_j = δ_{ij} E_j, tr E_i = 1, i, j = 1, 2, 3, ... \}\)
- 现在针对开放系统, 量子力学将出现三个新特点:
- (1) 量子态可能是混态;
- (2) 量子演化可能是非幺正的, 不可逆的;
- (3) 测量造成的投影分解可能是非正交的: POVM. 此时测量种类将会复杂化.
- 量子测量, 按不同情况和不同分类标准, 有不同分类.
- (1) 封闭系统测量, 开放系统测量.
- (2) 两体及多体: 局域测量, 关联测量, 联合测量.
- (3) 完全测量, 不完全测量; 破坏测量, 非破坏测量, 弱测量.
- 两体局域测量, 关联测量, 联合测量
- (1) 局域测量: 只对两体中的某一方做测量, 比如只对 \(A\) 测量. 相应力学量是 \(Ω = Ω_A \otimes I_B\),
- \[\begin{align} tr(ρ_{AB} Ω) & = tr^{(A)} [tr^{(B)} (ρ_{AB} Ω_A \otimes I_B)] \\ & = tr^{(A)} [tr^{(B)} (ρ_{AB}) Ω_A] \\ & = tr^{(A)} (ρ_A Ω_A) \\ \end{align}\]
- 所有测量结果只和约化密度矩阵 \(ρ_A\) 有关.
- (2) 关联测量: 同时对 \(A\) 和 \(B\) 做局域测量 (并比较相应的结果), \(Ω = Ω_A \otimes Ω_B\). 此时只对未纠缠态 (可分离态), 有 \(\langle Ω \rangle = \langle Ω_A \rangle \cdot \langle Ω_B \rangle\).
- (3) 联合测量: 测量不是局域进行的, 类于下面不可分离类型的力学量测量, \(Ω = \sum_i Ω_A^{(i)} \otimes Ω_B^{(i)}\), \(i ≥ 2\).
- 关于弱测量问题应当指出: 根据弱测量技术的
测量-扰动关系(MDR) 概念 (实际是对同一对象前后相继两次测量, 将所得不确定度相乘, 比如将弱测量所得位置不确定度和随后测得的动量不确定度相乘, 这种乘积可能大于 \(\hbar / 2\)), 当前有些文献宣称突破了 Heisenberg 不确定性关系对量子态的限制.- 应当指出, 这种提法并不准确, 也容易造成误解. 因为, 那只是修正了 Heisenberg 当时误用 MDR 概念对正确结论所作的不准确解释.
- 现在, QM 已经将 Heisenberg 不确定性关系理解为对量子态本身性质的分析, 对同一个量子态作同时测量 (实际是对制备出的大量相同态所组成的量子系综作重复性测量).
- 数学上, Heisenberg 不确定性关系直接就是 Fourier 积分变换理论中的带宽定理; 物理上, Heisenberg 不确定性关系根源于微观粒子波位二象性特别是波动性. Heisenberg 不确定性关系的数学物理根据都毋庸置疑.
广义测量是指, 在一个由若干子系统组成的大系统上进行正交测量时,
按局部子系统观察所体现的测量. 广义测量又称为局域测量.
从大系统角度来看, 现在的子系统是个开放系统,
对其进行的观测是片面的观测, 局部的观测.
广义测量也可以说成是对开放系统的量子测量.
通过把与所考虑系统有相互作用的外部系统都计算进来,
构成足够大系统的方法, 总能以足够好的近似将这个大复合系统看作孤立体系.
已经知道, 对孤立体系所作的测量是正交投影测量, 因此可以说,
对如此构成的大系统中某一组相互对易力学量完备组进行的量子测量,
必定是正交投影测量.
就是说, 每次测量所得必定是这个共同本征态集合的某个量子数组,
每次测量所实现的态也必定是共同本征态集合中的某一个. 但是,
大系统这组相互正交的本征态族在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交.
于是可以设想, 不知道 (根本不知道, 或是不想知道, 或是难以知道) 大系统,
只知道子系统的观察者会认为:
通常情况下的量子测量将投影出一组非正交态, 而不是一组正交态.
这就是通常所说的 "广义测量不一定是正交投影" 的缘故.
- 系统
\(A\)
的一组 POVM (positive operator valued measure) 是对系统
\(A\)
单位算符
\(I_A\)
所做的一组非正交的测度分解.
- 一般说, 这种分解是将单位算符 \(I_A\) 拆解成一组不相互正交, 非负, 厄米算符系列.
POVM 这一名词最初是在引入广义测量概念分辨一些非正交态时提出的.
POVM 是封闭系统正交投影测量向开放系统非正交投影测量的推广,
是完全测量向非完全测量的推广.
- 对大系统
\(A \otimes B\)
测量之后, 如果塌缩结果为
\(E_α\),
则大系统的态相应塌缩到下面状态:
- \[ρ'_{AB} (α) = frac{ E_α (ρ_A \otimes ρ_B) E_α }{ tr^{(AB)} [E_α (ρ_A \otimes ρ_B)] }\]
- 但与此同时, 对于只知道子系统 \(A\) 的观察者而言, 当测量塌缩到 \(F_μ\) 时, 密度矩阵从 \(ρ_A\) 变为
- \[ρ'_A (α) = frac{ tr^{(B)} [E_α (ρ_A \otimes ρ_B) E_α] }{ tr^{(AB)} [E_α (ρ_A \otimes ρ_B)] }\]
- 注意向 \(A\) 投影算符 \(E_A\) 对 \(A\) 而言是单位算符 \(I_A\), 于是由于上式分子已经 \(tr^{(B)}\), 所以可以左右全乘以 \(E_A\), 并收入求迹号内, 同时对求迹号内 \(ρ_A\) 两侧也如此做. 至于分母可直接利用概率式, 总之可以有
- \[\begin{align} ρ'_A (α) & = frac{ tr^{(B)} [E_A E_α (E_A ρ_A E_A \otimes ρ_B) E_α E_A] }{ tr^{(AB)} [E_α (ρ_A \otimes ρ_B)] } \\ & = frac{ tr^{(B)} [F_α (ρ_A \otimes ρ_B) F_α] }{ tr^{(A)} (F_α ρ_A) } \\ & = frac{F_α (ρ_A) F_α}{tr^{(A)} (F_α ρ_A)} \\ & = \sqrt{F_α} ρ_A \sqrt{F_α} \end{align}\]
- 这里最后结果 \(F_α\) 上的根号是等式对全部测量概率归一化的要求.
在更大态空间中进行某个正交投影测量过程,
反映到它某个子空间中 (相当于只从这个子空间作局部性观察),
就实现为一个非正交的投影系列: 实现一种 POVM.
- Neumark 定理: 总能够采用将所考虑的态空间拓展到一个较大空间,
并在这个较大空间执行适当正交测量的办法,
实现所考虑空间中任何事先给定的 POVM.
- 总而言之, 由正交测量的局部投影之后所得的 POVM 以及此处的 Neumark 定理, 可以得到一个总体认识: 在一个系统上执行任选的 POVM 类型的测量是人们能够执行的最一般的测量.
自由定态球面波解的争论和中心场自然边条件的来由
- 由于
\(r\)
的定义域包含着零点, 所以这个运算是带奇性的: 在原点附近并不合法!
这样做的后果之一是, 出现两个坐标系两个解集合之间的不等价.
- 球坐标方程比直角坐标方程多出了一类解, 有点源存在情况下的行波解 (出射波和入射波, 按源头符号而定). 这些解与现在全空间自由运动问题并无关系.
- 正是原点附近的奇性运算, 招致出现不需要的多余解的现象, 使得两个坐标系下的两个解集合不等价. 为了保证两个物理解集合的等价性, 必须人为额外地引入 \(r \to 0\) 处自然边条件, 用以剔除这些不合理的多余解. 这就是为什么对中心场问题在波函数的一般要求之外, 还添加这个要求的缘故.
自然界本来就不存在几何点, 位置测量永远不可能精确到几何点.
于是, 认真地说, "几何点处的波函数" 的提法应当理解为非物理的,
是人造的 "可道" 之道. 因此, (不得不用坐标描述的)
波函数可以有发散的奇点, 只需要它在包含奇点的任意体积内模平方可积即可.
这正是依据波函数的物理诠释, 按量子测量中实际实验要求所拟定的.
物理要求应该到此止步, 更苛刻的要求已经是非物理的了.
泛函数: 从函数 (集合) 到数 (集合) 的映射
算符: 从函数 (集合) 到函数 (集合) 的映射
超算符: 从算符 (集合) 到算符 (集合) 的映射
这就全面而简洁地归纳了 QT 中的全部广义函数关系.
- 的确, 将
\(δ\)
函数称做函数确实不妥: 除奇点外,
对应所有自变数的函数值都平庸地等于零,
而唯一非平庸不为零的奇点处函数值却为无穷大, 也没意义.
所以连 Dirac 本人也心虚地将它称做 “非正规函数”.
- 但如果从泛函数的角度来看定积分号下的 \(δ\) 函数: 对于任意给定的一个函数 (在 \(δ\) 函数奇点附近解析), 必定有一个数与之对应.
- 这是将函数族向数集合的一种映射, 是严格意义上的 (线性) 泛函数. 于是, 严格说对它的求导也将按泛函数求导处理.
量子光学部分器件作用分析, 测量导致退相干
- 光学半透片将一定频率的入射光束相干分解为透射和反射两束,
按强度大体各占一半. 这时, 相对于透射束而言, 反射束有一个
\(π / 2\)
位相跳变, 而透射束则无位相跳变.
初看起来, 这和通常由光疏介质到光密介质的
\(π\)
位相跳变相矛盾, 实际并不矛盾.
- 半透片将入射束相干分解为反射透射两束时, 由于传递矩阵 \(Ω\) 的幺正性, 每个侧面入射的反射透射两束之间的位相差 \(θ(φ)\) 可以不确定, 但两个侧面的位相差的总和确定为 \(π\).
- 考虑到半透片两个侧面是对称的, 于是每个侧面的反射透射两束之间的位相差应取为 \(θ = φ = π / 2\). 这就是上面 \(π / 2\) 位相跳变结论的由来.
- 例如 Hadamard 门, 有 \(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} i & 1 \\ 1 & i \end{pmatrix}\), \(\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & ±i \\ ±i & 1 \end{pmatrix}\) 几个表达式. 它们均满足 \(θ + φ = π\) 条件, 但 \(θ\) 可以取作不同值. 其实, 它们都只是强调概率守恒的幺正条件, 说明半透片不吸收光子.
- 极化分束器 (PBS).
由于常用的作为分束器的半透片, 其
透射/反射强度比值 \(1/2\) 通常是对中心波长而言的, 由于片的透射宽度较宽, 对于不是中心波长的光入射, 这一比值可能偏离 \(1/2\). 这是使用它不方便的原因之一. 现在常用的是极化分束器 (PBS):- 它让水平极化入射光子几乎全部透过, 而让垂直极化入射光子几乎全部反射. 若是斜的极化入射, 则将其分解之后, 对分解后的分量实行透射或反射. 这完全是选择性的透射和反射. 同半透片一样, 反射后的分量有一个 \(π / 2\) 位相跃变.
- 只要组成测量仪器的粒子之间无相互作用 (或可忽略),
被测粒子和测量仪器粒子的时间演化算符就可以因子化.
这时考虑宏观极限, 即测量仪器分子具有宏观数量
\(N \to \infty\),
使得系统的非对角项相应跃迁概率幅的乘积项消失.
- 其结果就是, 在对任一被测纯态作某个力学量测量的过程中, 被测纯态将肯定会转变为一个混态 (除非原来就是此力学量的本征态), 向被测力学量本征函数族作系列投影, 成为一个纯态系综.
- 系综中取每个本征函数的概率是: 原先被测态用此本征函数族展开时展开式系数的模平方, 这正是量子力学的测量公设.
- 注意, 本节关于测量导致波包塌缩的理论推导只是一个理论模型, 但却是一个相当普遍的模型: 和被测的力学量无关, 和被测粒子与测量仪器相互作用无关. 只需设定仪器是由近似独立的大量全同粒子所组成的即可.
量子测量中主观性与客观性的对立统一
"预选择" 是预先对量子态进行加工过滤之后,
再让它们进入相互作用区域参与相互作用.
这是对相互作用过程的预先选择;
如果量子态经过作用区域之后, 进入探测器之前作态的选择,
进行加工过滤, 再行测量塌缩, 则称为 (对过程的) "后选择".
对同一个实验过程, 如果进行两种不同的后选择测量,
会导致完全不同的测量结果.
量子测量, 既可以破坏相干性, 也可以建立和恢复相干性.
无论是对单粒子, 或是对多粒子体系, 通过合适的测量或联合测量,
都可以用预选择或后选择的方式, 达到增强单粒子相干性,
建立或恢复多粒子相干性的目的.
不确定性关系的现代解释是量子态本身固有性质.
对其 Fourier 分析的结果, 是正确的;
但并非是 Heisenberg 当年提出的形式.
他当时的解释是从实验测量精度和干扰之间关系 (MDR) 的观点出发的.
最近有文献依据弱测量理论对 Heisenberg 当年的
MDR 观点的解释提出异议, 结果也不唯一.
如同在测量公设中所说的, 一个完整的量子测量过程分为三个阶段:
纠缠分解, 波包塌缩, 初态制备. 在被测态的纠缠分解阶段中,
虽因观测量不同, 使态分解方式不同, 但只要尚未进入塌缩阶段,
在此期间被测态仍然保持原来的全部相干性.
接下来的第二个阶段发生了至今仍难以捉摸,
难以定论 (Landau 称为"深邃") 的过程: 状态的塌缩.
量子测量中存在很多很基本的问题都是产生在这个阶段的物理过程中
(至于最后的第三阶段, 测量最终制备一个态则是显然的. 因为在此次测量后,
系统将以塌缩态为初态在新 Hamilton 量控制下开始新一轮演化).
电子怎样从空间一个观测点运动到另一个观测点
- 按路径积分的观点, 可以替 Feynman 拟定如下的回答:
微观粒子, 以经典路线为最可几路径, 在量子涨落中,
是以完全随机的方式, 像一个醉汉, 历经一切可能的路径,
摇摇晃晃地, 忽忽悠悠地飘忽着过来的.
- 概率幅 = 作用量相因子沿一切可能路径积分的等权相干叠加
- 总而言之, 如果一定要按照通常宏观经典图像描绘微观粒子的时空运动的话, 微观粒子总是以经典轨道为最可几选择的 “没有轨道的轨道” 随机飘忽着过来的. 这就是单粒子力学理论框架下的空间运动观.
在非相对论量子力学中, 由于忽略了反粒子解
(确切讲是略去正负能量解间的相互干涉), 已不存在上述相对论性 "随机振颤".
但由于微观粒子具有 de Broglie 波的波动性, 按 Feynman 公设,
依然以经典轨道为最可几选择的 "没有轨道的轨道" "随机飘忽" 着过来.
就是说, 即便低能微观粒子,
也时刻围绕经典轨道体现着这种 "随机飘忽" 形态的量子涨落.
从量子 Zeno 佯谬到量子 Zeno 效应
理论研究发现, 频繁地对一个不稳定体系进行量子测量会抑制
(或阻止) 它本该发生的衰变或跃迁. 极端而言,
连续进行的量子测量将使不稳定体系稳定地保持在它的初态上,
不发生应该发生的衰变或跃迁.
这种不稳定初态的存活概率随测量频度增加而增加的现象就是量子 Zeno 效应:
"量子水壶效应", 越看越烧不开的 "量子水壶".
此处量子力学结论描述的是纯态系综, 即 "在同一时刻" 被制备出的,
具有相同存活年龄的不稳定粒子系综的衰变规律.
上面的叙述令人相信: 量子 Zeno 效应揭示出量子测量过程中体系演化时间是停滞了!
就是说: 测量导致量子体系演化时间的塌缩!
由证明过程容易看出, 除了对初态存活概率使用了两个态内积模方的概率解释之外,
只使用了两个公设: Schrodinger 公设, 测量公设.
所以可以说, Zeno 效应其实就是这两个公设的一个推论.
这一深邃而难以捉摸的现象竟然直接暗藏在量子理论第三,
第四两个公设中, 这是让人兴奋而又令人费解的.
以上全部论述虽然正确, 但仔细分析可以发现, 论述有一个前提假设:
测量时间可以无限分割. 显然这会引来测量问题.
现在换一种角度作进一步分析. 根据能量-时间不确定性关系, 如此频繁
(也就如此短促) 的测量, 必将带给被测的不稳定体系以很大的能量干扰.
这种能量干扰更多的是加速而不是减缓不稳定体系的衰变.
最近的文献表明, 如果测量频度在一定范围内,
也可以产生反量子 Zeno 效应, 加速衰变的效应,
具体要依赖衰变曲线形状.
量子态叠加和纠缠与 “定域物理实在论” 的矛盾
- 物理实在要素的观点. 任一可观测的物理量, 作为物理实在的一个要素, 客观上它必定以确定的方式存在着. 于是, 一个完备的物理理论应当是: 一个体系在没有受到扰动时, 它的任何可观测物理量客观上应当具有确定的数值.
- 相对论性定域因果律观点. 如果两次测量 (一般地, 两个事件) 之间的四维时空间隔是类空的, 两个事件之间将不存在因果性关系.
由这两个主张得出, 对 A, B 两个子体系的两次可观测量测量,
如是类空间隔的, 则测量值彼此无关, 并且数值是确定的.
就是说, 如果量子理论是完备的物理理论的话, 这时对 A
的测量必须不影响 (类空间隔下) 对 B 的观测. 反之亦然.
量子态叠加原理表明, 即便是单粒子, 即便是孤立的,
其量子态仍然可以处于含时的叠加态.
这时测量某些可观测量将会表现出不确定性.
这正是: 本身不确定, 何关测不准.
与态叠加原理对单粒子态造成测量结果不确定性不同,
对于多粒子体系, 还会出现量子纠缠导致的不确定性.
实际上, 多粒子体系状态绝大部分都是纠缠态.
量子纠缠同样也会使状态所具有的物理量数值客观上不确定,
造成测量结果的不确定性.
由态叠加原理和量子纠缠叙述, 人们能够体会到:
客观实在性并不等价于客观单值确定性!
更不等价于测量的单值性!
- 定义 设体系由子体系
\(A\),
\(B\)
组成, 其任意可分离量子态定义为
- \(ρ_{AB} = \sum_C p_C ρ_A^C \otimes ρ_B^C\), \(\sum_C p_C = 1\)
- 这里 \(C\) 是与两个子体系都相关的某个物理量或事件. 此定义可以理解为: 两体量子态的可分离性等价于两体间不存在位相关联 (只存在按 \(C\) 分解的经典关联), 这时在 (按 \(C\) 分解的) 任一体上添加任意相因子不会改变这个态.
- 关联测量意义下的 “空间定域性”. 互不相关的两个子系统
\(A\)
和
\(B\),
各自发生的事件是相互独立的.
这时所做的关联测量必将呈现为空间定域的性质.
- 这个性质可以用 “以乘积形式表示条件概率的独立性” 的方式来表达.
- 定义 多体量子态的空间定域性定义为:
各自发生的任何事件都相互独立. 于是,
条件概率的独立性导致它们可以作乘积分解,
- \[P(AB | C) = P(A | C) \cdot P(B | C)\]
- 其中 \(P(A | C)\), \(P(B | C)\) 分别为出现事件 \(C\) (与两个子系统都相关的某事件, 是 \(A\) 粒子的事件 \(A\) 及 \(B\) 粒子的事件 \(B\) 的共同的 “因”) 的条件下事件 \(A\) 或 \(B\) 发生的概率, 而 \(P(AB | C)\) 则为事件 \(C\) 条件下 \(A\) 和 \(B\) 同时发生的概率.
- 于是, 设 \(\hat{Ω}_A\) 和 \(\hat{Ω}_B\) 表示两个子体系 \(A\), \(B\) 的两个任意算符, 那么它们的期望值将满足下面的关系:
- \[E(\hat{Ω}_A \hat{Ω}_B | C) = E(\hat{Ω}_A | C) \cdot E(\hat{Ω}_B | C)\]
- 这里 \(E(\hat{Ω}_A | C)\) 为在 \(C\) 条件下 \(\hat{Ω}_A\) 的期望值, 等等. 此时任意期望值即为
- \[\begin{cases} E(\hat{Ω}_A \otimes \hat{Ω}_B) ≡ tr_{AB} (ρ_{AB} \hat{Ω}_A \otimes \hat{Ω}_B) \\ E(\hat{Ω}_A \otimes \hat{Ω}_B | C) = E(\hat{Ω}_A \otimes | C) \cdot E(\otimes \hat{Ω}_B | C) \end{cases}\]
- 简言之, 条件概率的独立性意味着关联测量的空间定域性 (即空间非定域度为零).
- 定理 两体量子态的可分离性与关联测量意义下的空间定域性等价.
这就是说, 两体体系关联测量的空间定域性蕴含了该量子态的可分离性.
反之亦然, 所以两者等价. 注意,
此处论证涉及的是不存在量子纠缠所导致的空间定域性,
因此与关联测量的间隔是类空还是类时无关.
这里的论证方法对多体情况同样适用.
迄今为止所有实验都表明:
(1) QT 态叠加原理的预言是正确的:
量子纠缠能够造成可观测量 (当不受干扰时) 客观上的不确定性.
(2) 实验一再明确支持: 整个 QT 在纠缠叠加中的或然性,
以及塌缩与关联塌缩中的空间非定域性.
但迄今实验既没有显示, 也未能明确否定隐变数存在.
目前为止还不能肯定 QT 的描述是否完备.
就是说, 还不清楚纠缠叠加中所包含的,
以及单次测量塌缩中所表现的或然性的本质.
再加上, 现在理论上可以证明:
含隐变量的非定域理论能够全部概括量子理论!
所以, 现在还不可以说: "QT 的或然性" 本质上不同于 "经典的或然性".
也就是说, 还不能肯定 Einstein 是不正确的,
即, 迄今还不能肯定 "上帝是玩, 还是不玩掷骰子!".
- 根据到目前为止的全部实验结果, 以及不少新近的研究结果,
可以替 QT 拟定的正确回答是:
- 其一, QT 是否完备, 即在它之外的隐变数存在与否尚未定论;
- 其二, 所有实验都明显支持 QT 状态叠加, 纠缠与测量所造成的或然性和空间非定城性.
- EPR 的 “定域物理实在论” 与 QT 的根本分歧在于
Einstein 等人未能理解 QT 的下面两点.
- 第一, 自旋态构造 (以及塌缩与关联塌缩) 是非定域的. 这种非定域性已经将两个子体系联结成为一个不可分割的统一体系. 事实上, 测量前两个子体系的自旋相互依赖对方而处于客观上就是不确定的状态.
- 第二, 即便对同一个态, 如果进行不同的测量, 将会造成不同的塌缩, 会得到不同的结果.
- 于是, EPR 定域物理实在论的错误有以下四个方面:
- 其一, 要求微观粒子在任何状态下, 它的可观测物理量都必须客观上是定域地确定的. 他们不承认量子态的相干叠加会造成测量结果的不确定性.
- 其二, 他们不承认多体量子纠缠造成测量结果的不确定性.
- 其三, 不理解同一量子态经受不同种类测量会有不同样的分解塌缩, 给出不同的测量结果, 显现出不同的面貌.
- 其四, 对量子测量塌缩持定域的观念.
不理解多体量子纠缠在测量的
塌缩-关联塌缩中的空间非定域性.
- 总之, 现在看来, EPR 主张的定域物理实在论是一种经典思维模式, 企图通过引入定域的物理实在信念, 将量子力学纳入经典统计理论的思维模式. 于是, EPR 的后来接替者们更明确地将 QT 中的或然性以某种未知隐变数来解释. 这都是标准的经典物理的思维模式.