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牛顿的推理远比莱布尼茨的推理更接近微积分的现代基础,
但莱布尼茨貌似合理的观点以及微分符号的有效性使微分比流数更容易让读者接受.

欧拉兼收了微分学和流数方法, 并使它们成为自那以后称为"分析学"
(对无穷过程的研究) 的更广泛的数学分支的一部分.

欧拉对尽可能使工作普适的重要性的认识, 在他的 <无穷小分析引论> 第二卷中尤为明显.
这卷书比任何其他书都更多使用了坐标系, 包括二维和三维,
这是系统研究曲线和曲面的基础.
欧拉关注的不是圆锥曲线, 而是基于第一卷中核心的函数概念给出了曲线的一般理论.
超越曲线没有像惯常那样被忽视, 因此在这里,
三角函数的图像研究实际上第一次构成了解析几何的一部分.

法国 (乃至整个欧洲大陆) 18 世纪在数学上的卓越地位,
是基于在技术学校教育里大量将分析学应用于力学中.

等周问题或最速降线问题是变分法中的特例.
1755 年, 拉格朗日在写给欧拉的信中谈到,
他针对这个类型的问题发展出了一般方法,
欧拉慷慨地推迟了他自己相关工作的出版,
以使这位后辈能够获得这个欧拉认为更好的新方法的全部荣誉.

18 世纪后半叶, 人们热衷于微积分的成果但困惑于它的基本原理.
无论是用牛顿的流数, 莱布尼茨的微分, 或达朗贝尔的极限,
这些通常的方法似乎都不能令人满意.

在 1782 年一篇高度技术化的论文中,
拉普拉斯发展了非常有用的位势概念:
函数在每一点的方向导数等于在给定方向上的场强分量.

两位法国大革命时期的领袖数学家拉普拉斯和拉格朗日的思想,
在很多方面是直接相反的. 对拉普拉斯来说, 自然是本质的,
而数学只是他以超凡技巧运用的一套工具;
对于拉格朗日, 数学是极美的艺术, 它有自己存在的理由.

勒让德的第一类椭圆积分在解决单摆运动的微分方程时出现;
第二类椭圆积分在寻求椭圆弧长时出现.
椭圆积分也在勒让德的早期论文中出现过,
特别是在 1785 年的一篇椭球引力论文中,
这个问题与会出现所谓带调和函数或"勒让德系数"
(这个函数实际上是拉普拉斯在位势理论中使用的) 的问题有关.

傅里叶级数表示可以研究比泰勒级数更为一般类型的函数.
即便许多点处的导数不存在或函数在这些点处不连续, 函数仍可以有傅里叶展开式.

单个 (复) 自变量的图形表示需要两个维度,
那么在图像上刻画两个复变量的函数关系 w = f(z) 则需要四个维度.
复变量理论必然比实变量函数的研究需要更高程度的抽象和复杂性.
例如, 微分的定义和法则就不能从实的情形简单转移到复的情形,
而且在后一种情形中, 导数不再具有曲线切线斜率的图像.
没有图像可视化的支撑, 人们可能需要更精确和详细的概念定义.
解决这个问题是柯西对实变量和复变量微积分的贡献之一.

柯西给出了初等微积分今天所具有的性质.
在拒绝了拉格朗日的"泰勒定理方法"后,
他确立了达朗贝尔的极限概念的基础地位, 但赋予了它更为精确的算术特征.
抛开几何和无穷小或速度, 他给出了一个相对明确的极限定义:
如果分配给一个变量的相继的值无限接近一个固定值,
最终使得与这个值的差别任意小,
那么, 这个最后的值就称为其他值的极限.

直到柯西晚年, 他开始意识到"一致收敛"的重要概念,
但在这方面他仍然不是唯一一个,
在他之前还有物理学家斯托克斯和其他一些人.

19 世纪当之无愧地称为数学的黄金时代.
在这一百年里增加的数学成果在数量上远超之前所有时代的总和.
这个世纪也是数学史上最具革命性的时代.
在数学家的概念库中对于非欧几何, n 维空间, 非交换代数,
无穷过程和非数量结构等的引入, 根本性地改变了数学的定义和呈现形式.

雅可比最著名的研究成果是在椭圆函数方面, 发表于 1829 年,
这使他受到了勒让德的称赞. 借助于这一新的分析工具,
雅可比后来再次证明了费马和拉格朗日的四平方定理.
1829 年, 雅可比还发表了一篇论文,
其中他在广泛和一般的意义上使用了雅可比行列式,
并将它们以比柯西给出的更现代的形式表示出来.

拉格朗日已经证明子群的阶一定是该群的阶的因子, 但伽罗瓦的研究更加深入,
他找到了方程的群的可因子化与该方程的可解性之间的关系. 而且,
"群"这个词就其在数学中的技术含义而言要归功于他在 1830 年对它的使用,
正规子群的概念也归功于他.
虽然伽罗瓦的工作于大部分英国代数学家在伟大时期 (1830-1850)
所做的工作之前完成, 但是他的思想直到 1846 年发表后才开始产生影响.
在巴黎, 即便当时最聪明的年轻数学家也不能确保成功.
那些到巴黎寻求认可未果而感受挫折的人当中, 阿贝尔和伽罗瓦是最突出的例子.

齐次坐标更为常见的定义, 即作为关联于 P 的笛卡儿坐标 (X, Y),
使得任意有序三元数组 (x, y, t) 满足 x = Xt 且 y = Yt.
很显然, 点 P 的齐次坐标不唯一, 因为三元数组 (x, y, t) 和
(kx, ky, kt) 对应于同一个笛卡儿坐标 (x/t, y/t).
然而, 这种唯一性的缺乏并不比在极坐标中缺乏唯一性,
或在分数相等时形式上缺乏唯一性所引起的困难更大.
当然, "齐次"这一名称来源于下面这个事实:
当人们使用变换方程将以直角笛卡儿坐标系表示的曲线方程
f(X, Y) = 0 转换成 f(x/t, y/t) = 0 时,
新方程将包含变量 x, y 和 t 表示的次数全相同的项.

正如齐次坐标中的任何有序三元实数组 (不全为零) 对应于平面上的点一样,
每个线性方程 ax + by + ct = 0 (假如 a, b, c 不全为零)
都对应于平面上的一条直线.
特别是, 平面上的所有"无穷远点"显然都位于由方程 t = 0 给出的直线上,
它被称为平面上的无穷远直线或理想直线.
显然, 这一新坐标系很适合射影几何的研究,
直到那时人们几乎毫无例外都是从纯粹几何学的观点研究它的.

1854 年, 黎曼成为哥廷根大学的无薪讲师, 按照惯例,
他被要求在全体教职员工面前宣读一篇授课资格论文.
就黎曼的情形而言, 其结果是数学史上最著名的一次试讲,
因为它对整个几何学领域提出了深刻且博大的观点.

这篇论文的标题为 <论几何学基础的假设>, 但没有给出具体的例子.
相反, 文中极力主张整体的几何学观,
即将其看作对任何种类的空间中对任何维数的流形的研究.
相比于罗巴切夫斯基几何, 黎曼几何是更一般意义上的非欧几何,
对前者来说, 问题仅仅是通过一点可能有多少条平行线.
黎曼注意到几何学甚至不必涉及通常意义上的点, 线或空间,
而是要处理按照某种规则结合在一起的有序 n 元组集合.

事实上, 从前被想象成点的轨迹或总体的任何几何图形, 其本身都可以当成空间元素,
而空间的维度将对应于决定这一元素的参数的数目.
如果我们将通常的三维空间看成一个"由无限细, 无限长的麦秆堆成的宇宙干草堆",
而不是一个"由无限细小的铅弹构成的结块", 那么它就是四维的, 而不是三维的.
1868 年, 也就是普吕克基于这一主题扩充的著作出版的那一年,
凯莱在 <哲学会刊> 上的文章中从分析学的角度发展出了一种观点,
即将通常的二维笛卡儿平面看成五维空间, 其空间元素为圆锥曲线.

在普吕克的 <新空间几何学> 一书中, 还有其他一些新的观点.
单个方程 f(x, y, z) = 0 在点坐标中的几何表示称为曲面,
两个联立方程对应一条曲线, 而三个方程确定一个或多个点.
在他的四维线空间的"新几何学"中, 普吕克把四维坐标中单个方程
f(r, s, t, u) = 0 表示的"图形"称为"线丛",
两个方程指定一个"线汇", 而三个方程决定一个"区域".
他发现二次线丛具有和二次曲面类似的性质, 但他没能活着完成他所计划的详尽研究.

这种新观点很可能部分是他访问巴黎的结果, 在那里,
拉格朗日关于群论的暗示 (特别是通过置换群)
已经发展为一个完全成熟的代数学分支.
克莱因对于蕴藏在群概念中的统一可能性印象深刻,
因而他余生的大部分时间都在发展, 应用和普及这一概念.

克莱因在他 1872 年成为埃尔朗根大学教授的著名就职纲领中表明,
如何用它作为方便的工具来刻画 19 世纪里所出现的各种几何学.
克莱因所给出的纲领以埃尔朗根纲领著称,
它将几何学描述成关于在一个特定的变换群下图形仍保持不变的那些性质的研究.
因此, 变换群的任意一种分类就成为几何学的一个规范.

按照克莱因的观点, 欧几里得几何只是仿射几何的一个特例.
仿射几何又只是更一般的几何: 射影几何的一个特例.

吉布斯的 <向量分析> 出版于 1881 年并于 1884 年再版,
在十年当中他发表了更多的文章.
这些著作导致了一场与四元数的支持者关于两种代数孰优孰劣的情绪化争论.

有时人们认为, 凯莱的矩阵代数是哈密顿的四元数代数的一个结果,
但在 1894 年, 凯莱专门否定了这样一种关联. 他赞赏四元数理论,
但他声称他对矩阵的发展源自将行列式发展为一种表示变换的方便模式.
事实上, 凯莱 1858 年的出版物不仅反映出哈密顿的四元数的影响,
而且反映出凯莱对于当时算子演算所提出的问题的关注.
这两方面的因素在早期出版物 (1845 年) 中也很明显,
他在其中提供了一个非结合代数的例子.

域的概念隐含在阿贝尔和伽罗瓦的工作中, 但在 1879 年,
戴德金似乎第一个给出了数域的明确定义, 这是分别关于加法和乘法
(0 的逆除外) 形成阿贝尔群, 并且满足乘法对于加法的分配律的一个数集.
一些简单的例子包括有理数系, 实数系和复数域.
1881 年, 克罗内克通过他的有理数域给出了其他一些例子.
容易验证, 形如 a + b√2 的数集 (其中 a 和 b 是有理数) 形成一个域.
在这一情形, 域中的元素个数有无穷多. 具有有限元素个数的域称为伽罗瓦域,
这方面的一个简单例子是模 5 (或任何素数) 的整数域.

群论最初关注离散的元素集,
但克莱因设想将数学的离散性与连续性两个方面统一在群论概念下.
19 世纪确实是数学内部交错关联的一个时期.
这种趋势一方面体现在分析学和代数学的几何学解释;
另一方面体现在数论中引入解析的技术. 到 19 世纪末,
最强大的思潮是算术化, 它影响了代数学, 几何学和分析学.
1855 年, 狄利克雷成为高斯在哥廷根的继任者.
他把分析学应用于物理学问题和数论中的教学传统留在了柏林大学.
他也留下了由他和雅可比的朋友以及学生组成的圈子,
这个圈子在科学院和柏林大学, 继续影响着数学.

在分析学上, 人们铭记黎曼是因为他完善了积分的定义,
强调了柯西-黎曼方程以及提出了黎曼面.
这类曲面是将函数单值化的创新想法, 亦即,
黎曼面将普通高斯平面上的多值复变函数实现一一映射.
这里我们看到了黎曼工作中最令人印象深刻的方面:
分析学中强烈的直觉和几何学背景,
与魏尔斯特拉斯学派的算术化趋势形成鲜明对比.
他的方法被称为"发现的方法",
而魏尔斯特拉斯的方法被称为"证明的方法".

先前接近狄利克雷和黎曼的海涅, 在 1870 年证明了:
如果加上一致收敛的条件, 则连续函数的傅里叶级数展开唯一.
然而, 没有人比魏尔斯特拉斯更值得享有分析学严格化之父的美誉.
从 1857 年到 1890 年退休,
魏尔斯特拉斯劝诫一代学生谨慎使用无穷级数展开式.
魏尔斯特拉斯在分析上的重要贡献之一是解析延拓.

魏尔斯特拉斯因此定义解析函数为:
一个幂级数连同通过解析延拓得到的所有的幂级数.
魏尔斯特拉斯的此类工作的重要性在数学物理学中体现得尤为明显,
微分方程的解很少不是以无穷级数的形式呈现.

与此同时, 黎曼提出了一个函数 f(x), 在一个区间中的无穷多点处不连续,
然而它的积分存在, 并定义了一个连续函数 F(x), 在上述无穷多点处不可导.
从某种意义上说, 黎曼函数的病态性还不及魏尔斯特拉斯的函数,
但却清楚地表明, 积分需要一个比柯西给出的更周密的定义,
柯西的积分定义是曲线下的面积, 很大程度上带有几何意味.
如今, 从上和, 下和角度定义区间上的定积分, 通常称为黎曼积分,
以纪念黎曼给出了有界函数可积的充要条件.
比如, 狄利克雷函数在任何区间上都不存在黎曼积分.
此外, 在对函数更弱的条件下所做的积分的更一般的定义, 在下一个世纪被提出来,
但大部分本科微积分教材中使用的积分定义仍然是黎曼给出的.

拉格朗日表达了他对傅里叶级数的怀疑, 而在 1823 年,
柯西认为他已经证明了一般的傅里叶级数的收敛性.
狄利克雷指出柯西的证明不充分, 并给出了级数收敛的充分条件.
正是在寻找放宽狄利克雷提出的傅里叶级数收敛条件时,
黎曼发展了他的黎曼积分的定义, 他表明,
在一个区间中不能展开为傅里叶级数的函数 f(x) 可以是可积的.

戴德金仔细思考了这个问题后得出结论,
一条线段连续的本质并不是因为模糊不清的紧密相连的性质,
而是一个几乎相反的性质: 线段上的一点将线段分为两个部分的性质.
线段上任何一处的分割都将线段上的点分成两部分, 使得每一个点属于且仅属于一类,
而且一类中的每一个点都在另一类每一点处的左边, 有且仅有一点能引起这种分割.
如戴德金所写, "这句平常的话, 揭示了连续性的秘密".
这确实是句平常的话, 但它的作者似乎对此有所疑虑,
因为他犹豫了好几年才说服自己正式发表出来.

戴德金明白, 只要做一个假设, 有理数域就可以扩展成实数连续统,
这个假设是我们现在所知的康托尔-戴德金公理,
亦即, 一条直线上的点可以与实数一一对应.
算术上的表达是指, 有理数的每一个划分都形成 A 和 B 两类,
使得第一类 A 中的每一个数小于第二类 B 中的每一个数,
有且仅有一个实数产生这种分割, 或者说戴德金分割.
如果 A 有最大数, 或如果 B 包含最小数,
那么这个分割就定义了一个有理数, 但如果 A 没有最大数, B 没有最小数,
则这种分割定义了一个无理数.

比如, 如果我们把所有负有理数, 以及所有平方小于 2 的正有理数放入 A 中,
将所有平方大于 2 的正有理数放入 B 中,
那么我们就用定义一个无理数的方式划分了整个有理数域.
这个例子中, 我们把这个数写作 √2.

现在, 戴德金指出, 极限的基本定理可以不需要依赖几何学而得到严格证明.
正是几何学指出了恰当地定义连续性的途径,
但最后几何学被排除在这个概念的正式算术定义之外.
有理数系的戴德金分割, 或实数的等价构造, 如今替代几何量成为分析学的支柱.

在试图确定数学中实际的或"完全的"无穷时, 柯西和魏尔斯特拉斯仅看出了矛盾,
他们相信无穷大和无穷小的含义只不过是一种过程的不完整性.
康托尔和戴德金得出的结论完全相反.
戴德金看出的不是反常, 而是无穷集合的普遍性质, 他将其视为精确定义:

系统 S 被称为无穷的, 当它相似于其自身的某一部分;
如若不然, S 就是一个有限系统.

更令人惊讶的是, 集合的势并不受维数的影响.
单位线段上点集的势恰与单位平面或单位立体上点集,
或者, 就此而言, 与三维空间中所有点集的势相同.
(然而, 维数仍是某种权威的测度,
不同维度空间中点的任何一一映射必定是不连续映射.)
点集理论中这些结果如此反常,
于是康托尔本人在 1877 年给戴德金的一封信中说道,
"我看到了, 但我不相信", 他让他的朋友帮他检查证明.

施图姆不仅研究了傅里叶的热理论, 而且也研究了方程的数值解.
人们只要看一看施图姆的第一个主要理论成果, 这项工作的影响就很明显.
这就是他的分离定理, 指的是任意两个 (实的) 解的振动交替或相互分离.
施图姆-刘维尔理论不仅证实了可展性, 而且提供了解和特征函数取值的判据.
这个定理一开始并不严谨. 到 19 世纪末, 应用和证明得到了完善.

拓扑学现在是一个宽泛而基本的数学分支, 具有多个方向,
但它可以细分为两个截然不同的子分支: 组合拓扑学和点集拓扑学.
庞加莱对于后者没什么热情,
并且当他 1908 年在罗马召开的国际数学家大会上演讲时,
称康托尔的集合论是一种病, 后代人会自认为已经从中痊愈.
组合拓扑学, 或按当时的一般称呼叫作位置分析,
是对空间构型在连续的一一变换下仍保持不变的内在定性方面的研究.
它常被通俗地称为"橡皮几何学".

如果直线上的闭点集能够被一组区间覆盖,
使得该集合的每个点是至少一个区间的内点,
则存在有限个区间具有这一覆盖的性质.

1872 年, 海涅曾以稍许不同的术语表达过这个定理,
然而在博雷尔于 1895 年重新阐述之前, 它并没有引起人们的关注.
实直线上的闭集和开集通过重复应用可数个集合的并和交运算得到的集合,
也被冠以博雷尔的名字. 任何博雷尔集都是在他的意义上的可测集.
在仔细思考了博雷尔关于集合的工作后,
勒贝格认识到黎曼积分定义的缺陷是它仅适用于例外情形,
因为它假定函数只有为数不多的几个间断点.

正如勒贝格喜欢随意表达这种差,
早期积分学家按照从左到右的顺序将不论大小的不可分量加在一起,
而他在加之前则会先将差不多大小的不可分量组合在一起.

"测度"一词可以具有多种含义. 当勒贝格提出他的新积分概念时,
他是在目前所称的勒贝格测度的特定意义上使用这个词的.
这是对长度和面积的古典概念的推广,
使其比通常的曲线和曲面所涉及的集合更一般化.
今天"测度"这个词的使用更加宽泛.

当希尔伯特在 1904-1910 年间研究积分方程时,
他并没有明确涉及无穷维空间,
不过他的确发展了具有无穷多个变元的函数的连续性概念.
在何种程度上希尔伯特正式构造了这个后来以他名字命名的"空间",
这也许是一个悬而未决的问题, 但基本思想就在那里,
它们对数学界产生了巨大的影响.

有些人说拓扑学始于庞加莱的位置分析,
另一些人则声称它源自康托尔的集合论, 或许起源于抽象空间的发展.
还有些人视布劳威尔为拓扑学的创始人,
尤其是因为他在 1911 年提出了拓扑不变性理论,
以及他对于康托尔的方法和位置分析方法的融合.
无论如何, 持续至今的拓扑学的密集发展时期始于布劳威尔.
在这个拓扑学的"黄金时代", 美国数学家做出了突出贡献.
曾有人说, "拓扑学开始时更多的是几何学而不是代数学,
而现在它则成了很多的代数学和很少的几何学".
而一旦拓扑学可以描述为没有度量的几何学,
代数拓扑学便开始支配这个领域, 这个改变大都由美国的主导所造成.

20 世纪初进入分析学, 几何学和拓扑学的高度形式抽象不但对代数学没有帮助,
还造成了干扰. 其结果是一种新型的代数学, 有时被不恰当地描述为"近世代数学",
其大部分是这个世纪 20 年代的产物.
的确, 代数学中一般化的渐进过程在 19 世纪就已经形成了,
但在 20 世纪, 抽象的程度急剧上升.

1913 年, 当外尔离开他在哥廷根大学的无薪讲师职位,
前往苏黎世大学接受教授聘任时, 他刚刚完成了对黎曼数学的一段沉浸式研究期.
在 1911-1912 年冬季, 他讲授了黎曼函数论.
他所表达的主题是将黎曼的工作建立在集合论式的精密证明之上,
而不是建立在"可视化的貌似合理"之上, 以满足严格性的要求.
其结果是外尔于 1913 年 4 月完成了关于黎曼面概念的经典著作.
新的概念和定义, 比如复流形的初步定义,
使得这本小册子成为后续许多有关流形研究的基础.
在移居苏黎世后, 以及在第一次世界大战期间,
外尔花了更多时间在黎曼几何上. 他探讨了线性联络概念,
有段时间认为将这一概念与相似群联系起来有可能导致统一场论.
写于 20 世纪 20 年代中期的一系列关于李群的线性表示理论的经典论文,
有一部分是这一工作的成果.
这期间, 嘉当改进了微分几何学, 他的学术生涯始于对李群的研究.

嘉当在他研究工作的早期已经发展出了外微分形式的微积分.
他将其塑造成了一种强有力的工具, 并将其应用于微分几何,
以及其他许多数学领域. 在他研究微分几何的过程中,
他扩展了 19 世纪达布和其他一些人曾使用过的"活动标架"概念.
他的主要成就建立在对他塑造的两个概念的使用基础上:
一是他关于联络的定义, 它被微分几何学家广泛采纳;
另一个是对称黎曼空间概念.
在这一空间中, 每个点被假定为由一种对称所环绕,
亦即, 某个使该点保持固定的等距变换.
嘉当较早前已经成功对实单李代数进行了分类,
并确定了单李代数不可约线性表示.
结果表明, 单李群的分类可以用来描述对称黎曼空间.

一个线性向量空间是由满足某些条件的元素 a, b, c, ... 构成的集合,
特别地包括条件: 如果 a 和 b 是 L 的元素, 并且 α 和 β 是复数,
则 αa + βb 是 L 的元素. 如果 L 的元素是函数,
则这个线性向量空间就称为线性空间, 这种情形的映射称为线性泛函.
所谓"分布", 施瓦茨指的是函数空间上的线性连续泛函,
可微且满足一些其他条件. 例如, 狄拉克测度就是分布的一个特例.
施瓦茨接下来对分布的导数进行了适当定义, 使得分布的导数本身总是分布.
由此对微积分进行了强有力的推广, 从而可以直接应用于概率论和物理学.

占主导地位的纯抽象代数让位于引出更综合的代数的主题:
几何技巧, 复拓扑结构研究, 微分几何系统, 稳定性问题以及其他.
许多问题, 包括一些长期悬而未决的著名问题都用计算机解决了;
复杂性理论和其他数学发展增强了直接面向数学问题求解的计算能力.
一些最著名的证明的长度和复杂性导致人们对其有效性产生怀疑,
数学界在什么构成一个可接受的证明这一问题上存在分歧.