深度学习: 基础与概念
算法数论
- 算法数论: 格, 数域, 曲线和密码学
- 本书跨度大, 自然难度就高, 然后, 比较抽象 (枯燥); 所以整体上是略读, 选择性阅读~
相较于分析, 个人一直无法建立数论的认知脉络. 加上让人头晕眼花的近世代数, 就更是抓耳挠腮了. 如果说拓扑让人望而生畏, 那数论就是只得零散的碎片; 嗯, 数论于个人而言比拓扑容易接近一些~ 然后, 2024 年末, 个人又有了再次挑战的信心了, 希望能有一个明显的进步, 比如: 得到一个浅薄的认知脉络! 最终, 由于阅读优先级的调整, 直到 2026 年才打算略读此书~
2000 年美国国家数学研究所 (MSRI) 组织了一个学期关于算法数论的专门讨论.
一些演讲者同意在他们演讲的基础上补充最新成果写成文章. 经过约 10 年时间,
终于由剑桥大学出版社于 2008 年出版了一本专著, 堪称这个领域的精品与基本贡献.
本书共包括 20 篇文章: 第 1, 2 篇为兴趣性与初等介绍性的入门文章;
接下来的 8 篇则为中心课题的综述, 包括光滑数, 因子分解, 素性检验, 格,
椭圆曲线, 代数数论与快速乘法等; 最后 10 篇为对某些特殊课题的专题研究.
解 Pell 方程
-
\[x^2 = d y^2 + 1\]
- 对于非零整数 \(d\) (非平方数)
- 求正整数 \(x\), \(y\)
- 我们可以将 Pell 方程改写为
- \((x + y \sqrt{d}) \cdot (x - y \sqrt{d}) = 1\),
- 这个重新表达说明, 当我们得知 Pell 方程的一个解时, 我们就可以找到无穷多个解. 更确切地说, 若将解按其大小排序, 则第 \(n\) 个解 \(x_n\), \(y_n\) 可以由第一个解 \(x_1\), \(y_1\) 表示如下
- \(x_n + y_n \sqrt{d} = (x_1 + y_1 \sqrt{d})^n\).
- 所以, 第一个解 \(x_1\), \(y_1\) 被称为 Pell 方程的基本解, 而解 Pell 方程就意味着对于给定的 \(d\), 寻求 \(x_1\), \(y_1\).
- 借语言措辞的滥用, 我们亦将用 \(x + y \sqrt{d}\) 而不是一对 \(x\), \(y\) 指 Pell 方程的解, 并称 \(x_1 + y_1 \sqrt{d}\) 为基本解.
原文此处用
环的代数概念叙述.
数论中的基本算法
光滑数与二次筛法
数域筛法
四个素性检验算法
格
椭圆曲线
数环的算术
光滑数: 计算数论及其他
快速乘法及其应用
离散对数的基本思想
数域筛法对于有限域中离散对数问题的推动
约化格基以求单变量多项式的小高度值
计算 Arakelov 类群
计算类域论
抵抗伪造的通信
有限域上 zeta 函数的算术理论
小特征有限域上代数簇的有理点计数问题
同余数问题和类似问题
用模符号计算模形式引论
缠斗
在 "三外路线" 背景下,
中国相当于长期向世界体系的中心国家提供巨额补贴.
本质上是通过外贸, 外汇与外资政策扭曲了国内生产要素价格,
以政策倾斜和制度性让利为代价, 为世界体系的中心国家提供
"物美价廉" 的商品与回报可观的投资收益,
这造成了中国自身福利的损失.
对”觉醒”文化的解释简单明了~
制裁与经济战
在社会科学领域, 知识与行为之间不断相互塑造, 相互否定,
并且不断迭代演进, 这正是社会科学区别于自然科学之处,
也是其独特魅力所在.
在美欧日的政治制度中, 在任的政治家可以被公然地批评和羞辱,
但是实际的统治精英却往往隐藏在幕后. 真正的统治者,
就是那些不能被轻易批评的, 无法被批倒的人, 他们拥有资本,
媒体和舆论影响力, 玩弄法律和规则, 乃至操控台前的这些政客.
制裁究竟能带来多大伤害, 认知和判断有时候比事实更重要.
在中美竞争中, 如果中国的 GDP 以市场汇率计算明确地超过美国,
或者在某些重大科技竞争中反超美国,
或者在一场代理人战争或局部战争中战胜美国,
都会起到改变认知从而改变行为继而改变格局的效果.
在贫富分化严重且互联网主导信息传播的时代,
民粹浪潮盛行, 理性和专业很容易被边缘化,
专家和职业官僚要么被斥责为利益代言人, 要么被嘲讽为胆小怕事因循守旧.
因此在讨论制裁与经济战的时候, 必须充分理解人类集体情绪在其中的作用.
总之, 任何国家在发起制裁与经济战之前,
首先要清楚判断目标国与本国的政治关系的性质.
谁是我们的敌人? 谁是我们的伙伴? 谁是我们的朋友?
在何种条件下这三重身份会互相转化?
这些是制裁与经济战的首要问题.
其次, 要在三维立体空间中建立权力结构模型,
搞清楚其中的力学原理和变化规律,
搞清楚不同主体在这个三维立体权力空间中的定位,
以及在各种力量维度上的特点和强弱对比, 按照扬长避短的原则,
根据不同的问题领域, 设定战略目标和策略组合.
战略目标要清晰可辨, 目标与手段要相称.
阅读美国对中东国家 (伊朗) 的经济制裁一节时, 正值美国, 以色列对伊朗的军事行动 (已经持续了两周).
制裁是边际效用递减的经济武器,
前一次制裁会削弱下一次制裁的效力, 因为制裁对象并非一成不变,
而是会根据外界压力主动或被动地进行自我调整.
经济竞争亦是如此, 其科学性在于对市场数据的精细分析,
经济模型的构建和系统性策略的规划, 而对社会行为,
心理学及社会动态的洞察则展现了艺术性和非逻辑因素的重要性.
正如俗语所言, "信心比黄金更重要",
在经济领域, 信心的作用远比资本本身重要和关键.
与此同时, 美国政府内部存在一群以特朗普贸易战为掩护,
对中国进行更加隐秘的战争的建制派精英, 我们称之为"深层政府".
这一群体包括美国军队, 国务院, 情报系统, 财政部, 商务部,
贸易代表办公室, 司法系统等机构的中高级官员.