可视化微分几何和形式 (下)

可视化微分几何和形式

黎曼曲率

全书正篇, 正式开始~

$n$ 流形的广义内蕴曲率具有 $\frac{1}{12} n^2 (n^2 - 1)$ 个不同的分量, 需要用一个数组来表示.
- 这个用数组列阵表示的几何对象称为黎曼张量.

在物理学家眼里, 张量就是一个可以用数组表示的物理量,
例如速度 (一阶张量) 和刚体的应变 (二阶张量).
所谓物理量就是与坐标系无关的量, 其分量
(即数组中的每个数) 在坐标变换中具有相应的规律.
在数学家眼里, 张量就是一个与坐标系无关的多重线性映射.

-- 译者注

沿测地线 $G$ 平行移动 $w(p)$, 我们保持其长度以及它与 $G$ 的夹角 $a$ 都不变, 同时保持它与平行移动生成的 2 曲面 $Π_{\parallel}$ 相切.
令 $δ_{pq} \mathbf{w}$ 为 $\mathbf{w}$ 沿向量 $\mathbf{ϵ} ≡ ϵ \mathbf{v}$ 从点 $p$ 到点 $q$ 微小的内蕴变化, 则
- $δ_{pq} \mathbf{w} = \mathbf{w}$ 从 $\mathbf{ϵ} \asymp \nabla_ϵ \mathbf{w}$ 的尾端到顶端的内蕴变化.
- 从这个定义, 立即可得
- $\nabla_v \mathbf{w}_{\parallel} = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{w}_{\parallel}$ 沿着 $\mathbf{v}$ 的平行移动.
- 如果 $\mathbf{v}$ 是测地线的速度向量, 则它沿自身的平行移动就是它自己, 因此测地线方程现在具有形式: $\nabla_v \mathbf{v} = 0$.
- 应该指出, 如果我们允许质点沿测地线运动的速率可以加快或减慢, 则得到测地线方程更一般的形式, 即 $\nabla_v \mathbf{v} \varpropto \mathbf{v}$. 也就是说, $\mathbf{v}$ 的方向是内蕴不变的, 但其大小是可以变化的.

内蕴 (协变) 导数

2 流形 (即曲面) 的切空间 (即切平面) 是唯一的. 而 3 流形的切空间是一个 $\mathbb{R}^3$, 有无穷多个切平面, 所以 3 流形的切向量一般不是只在一个平面内的. 更有甚者, 小回路都可能不在一个平面内. 这就与曲面有根本性的差别了. (译者注)
我们绕 $L$ 平行移动 $w_o$, 生成 $w_{\parallel}$, 返回到点 $o$ 成为 $w_{\parallel} (o)$. 于是我们可以定义向量和乐性为由曲率引起的 $w_{\parallel}$ 的净变化量:
- $δ w_{\parallel} ≡ w_{\parallel} (\mbox{在返回点 } o \mbox{ 时}) - w(\mbox{从点 } o \mbox{ 出发时})$.
在 2 曲面内, 我们引入了和乐性算子 $\mathcal{R} (L)$, (当它作用于 $w$ 时) 给出了 $w$ 沿 $L$ 平行移动后的净旋转 (和乐性). 在 3 流形或者 n 流形中, $L$ 可以位于无穷多个不同的平面中.
- 此外, 对于 2 曲面, 因为在平行移动其中的切向量时, 整个切平面刚性地旋转, 所以我们不需要注意是哪个向量 $w$ 正在被移动: 它们都旋转相同的量 $\mathcal{R} (L)$.
- 但在 3 流形中, $w$ 可能会伸出 $L$ 所在的平面, 而在 n 流形中, 它可以有很多独立的指向方式. 至关重要的是, 向量的和乐性现在确实取决于哪个向量在回路上平行移动.
出于这两个原因, 我们必须完善和推广之前的符号, 并引入与平行四边形 $L$ 的边相关的黎曼曲率算子 $\mathcal{R}$, 然后作用于平行移动的向量, 产生向量和乐性.
正如我们所知, 2 曲面的曲率 $\mathcal{K}$ 完全由单位面积上的和乐性所决定. 在 n 流形中, 我们同样可以看到初始向量 $w_o$ 和平行移动返回到起点 $o$ 时的向量 $w_{\parallel} (o)$ 之间产生了夹角 $δ Θ$.
- 由于 $w$ 是单位向量, 其顶端旋转的距离 $\mid δ w \mid$ 最终等于旋转角度 $δ Θ$.
为了简单起见, 假设 $u$ 和 $v$ 是正交的, 所以我们的平行四边形是一个面积为 $δ \mathcal{A} = δu δv$ 的矩形. 然后可以将 $\mathcal{K}$ 推广为一个标量曲率 $\mathcal{K} (u, v; w)$, 同样定义为单位面积的旋转量.
- 然而, 这显然不再是一个令人满意的曲率度量, 因为我们已经完全丢失了关于向量和乐性 $δ w_{\parallel}$ 的方向这个关键信息.

黎曼曲率张量

我们已经到了这出数学剧的一个重要情节, 用黎曼曲率表示的向量和乐性:
- $-\frac{δ w_{\parallel}}{δu δv} \asymp \mathcal{R} (u, v) w = \{ [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} \} w$.
现在我们就知道了, 黎曼曲率算子事实上是 $\mathcal{R} (u, v) = [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]}$.
- $-\frac{δ w_{\parallel}}{δu δv}$ 的负号是非常重要的, 所以要提醒读者注意它的起源和几何意义.
- $\{ [\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} \} w$ 说的是, 当我们走过闭合回路时, (任意) 基准向量场 $w$ (相对于 $w_{\parallel}$) 的净变化.
- 但是, 我们要求的几何量是向量和乐性 $δ w_{\parallel}$, 它是相反的, 是 $w_{\parallel}$ 相对于 $w$ 的变化.
注意 $\mathcal{R}$ 是反对称的:
- $\mathcal{R}(u, v) = - \mathcal{R}(v, u) \Longrightarrow \mathcal{R}(u, u) = 0$.
- 第一个等式在几何上是显然的, 因为它就是说, 如果我们用相反的方向走过平行四边形, 则向量和乐性也被反转方向了.
- 同样, 可以认为第二个等式是说, 沿着任意向量 $u$ 的一小段, 来回平行移动任意一个向量, 则它会回到原样.
现在只需要稍微改变一下符号, 就能最终得到著名的黎曼曲率张量 $R$ 的标准定义, 它是一个输入三个向量, 输出一个向量值的映射 $R(u, v; w)$:
- $R(u, v; w) ≡ \mathcal{R} (u, v) w = \{[\nabla_u, \nabla_v] - \nabla_{[u, v]} \} w$.
- 当三个输入向量中的任意两个保持不变时, $R(u, v; w)$ 是第三个输入向量的线性函数.
为了给出几何对象的数值描述, 我们对 $n$ 流形的每个点的切空间 $\mathbb{R}^n$ 引入一组标准正交基向量 $\{ e_i \}$.
- 于是, 几何向量 $u$ 可由其数值分量 $\{ u^i \}$ 表示, 其中 $u = \sum_{i} u^i e_i$.
通过这个约定, 可以省略求和号, 将成对出现的上标和下标理解为求和. 例如
- $u = \sum_{i = 1}^{n} u^i e_i \Longleftrightarrow$ 爱因斯坦求和约定: $u = u^i e_i$.
- 为了求出黎曼张量的分量, 我们将其三个输入向量分解成分量形式:
- $u = u^i e_i$, $v = v^j e_j$, $w = w^k e_k$.
- 于是, $R(u, v; w) = R(u^i e_i, v^j e_j; w^k e_k) = R(e_i, e_j; e_k) u^i v^j w^k$.
我们现在可以定义黎曼张量的分量 $R_{ijk}^{l}$ 为当黎曼张量作用于三个基向量时得到的相应系数: $R(e_i, e_j; e_k) ≡ R_{ijk}^{l} e_l$.
- 这样, $R$ 对于一般向量的作用就可以方便地用这些系数表示为: $R(u, v; w) = [R_{ijk}^{l} u^i v^j w^k] e_l$.
- 为了后面的应用, 我们还定义, $R_{ijkm} ≡ R(e_i, e_j; e_k) \cdot e_m$.
- 因为我们选择正交基, 若 $l ≠ m$ 则 $e_l \cdot e_m = 0$, 若 $l = m$ 则 $e_l \cdot e_m = 1$, 所以 $R_{ijkm} = R_{ijk}^{m}$.
所以我们定义, $Π(u, v) ≡$ 由 $u$ 和 $v$ 张成的平面.
- 对 $Π(u, v)$ 的选择当然会影响向量和乐性. 对于给定的 $w_o$, 向量和乐性仅依赖于 $Π$ 本身, 以及回路的面积:
- 如果绕平面 $Π$ 上的小面积 (最终为 $0$ 的) 平行四边形平行移动 $w_o$, 则向量和乐性正比于平行四边形的面积 $δ \mathcal{A}$, 且独立于其形状.
$R(u, v; w)$ 关于括号中的前两项是反对称的, 这就意味着
- $R_{jikm} = -R_{ijkm}$.
- 现在我们证明了另一种不那么明显的对称性, 即 $R_{ijkm}$ 关于最后两个指标也是反对称的:
- $R_{ijmk} = -R_{ijkm}$.
首先, 代数比安基恒等式表明, 如果前三个向量循环排列, 则它们的和为 $0$:
- $\mathcal{R}(u, v)w + \mathcal{R}(v, w)u + \mathcal{R}(w, u)v = 0 \Longleftrightarrow R_{ijkm} + R_{jkim} + R_{kijm} = 0$.
- 其次, 黎曼张量关于交换第一对和第二对向量也是对称的:
- $[\mathcal{R}(u, v)x] \cdot y = [\mathcal{R}(x, y)u] \cdot v \Longleftrightarrow R_{ijkm} = R_{kmij}$.
最后, 在以上四种对称性之外, 还有第五种不同的对称性 (对爱因斯坦引力理论至关重要), 称为微分比安基恒等式:
- $\nabla_x \mathcal{R} (u, v)w + \nabla_u \mathcal{R} (v, x)w + \nabla_v \mathcal{R} (x, u)w = 0$,
- 也就是说, 它是 $e_2$ 绕 $\{ e_1, e_2 \}$ 回路平行移动的和乐性在 $e_1$ 上的投影. 于是
- $\mathcal{P} [δ w_{\parallel}] = \begin{bmatrix} δ w_{\parallel}^1 \\ δ w_{\parallel}^2 \end{bmatrix} \asymp \begin{bmatrix} - w_o^2 \\ w_o^1 \end{bmatrix} \mathcal{K} (Π) δ \mathcal{A} = w_{⊥} \mathcal{K} (Π) \mathcal{A}$,
- 其中的 $w_{⊥}$ 就是 $w_o$ 在 $Π$ 内旋转一个直角.
因此, 投影 $\mathcal{P} [w_{\parallel}]$ 绕面积为 $δ \mathcal{A}$ 的回路平行移动后被旋转的角度 $δ Θ$ 满足 $δ Θ ≈ \mathcal{K} (Π) \mathcal{A}$, 与 $w_o$ 无关. 我们绕了一圈, 回到了最初的观点, 即曲率是指 2 曲面内单位面积的和乐性:
- $\frac{δ Θ}{δ \mathcal{A}} \asymp \mathcal{K} (Π) = R_{1221}$.
- 只是现在有很多这样的截面曲率, 取决于我们在哪个平面 $Π$ 内平行移动.

n 维流形的雅可比方程

之前我们用牛顿上标点来表示沿测地线的导数, 现在则用更标准的 $\nabla_v$ 记法. 所以, 现在的相对速度记为 $\nabla_v ξ$, 相对加速度记为 $\nabla_v \nabla_v ξ$.
总之, 相对加速度 $\nabla_v \nabla_v ξ$ 有一个分量在 $Π$ 内, 其作用是将两条测地线拉近 (或推开); 还有一个分量正交于 $Π$, 它对于两条测地线的间隔没有影响, 而是引起它们相互旋转.
- 我们现在关注的是在平面 $Π$ 内产生吸引力或排斥力的分量, 记为 $\mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ]$.
- 如我们先前看到的那样, 如果将平行移动生成的向量投影到 $Π$ 内, 则和乐性还是由曲率乘以矩形的面积决定的, 只是这次用的是截面曲率 $\mathcal{K} (Π)$.
截面雅可比方程: $\mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] = - \mathcal{K} (Π) ξ$.
- 对于 $n$ 流形, 有 $n - 2$ 个分量正交于 $Π$.
这样, 我们就得到了测地线偏离方程, 也就是雅可比方程: $\nabla_v \nabla_v ξ = - \mathcal{R} (ξ, v) v$.
- 这就是在所有教科书中都能看到的雅可比方程的标准形式.
- 将投影算子 $\mathcal{P}$ 作用于雅可比方程的两边, 就得到了截面雅可比方程:
- $\mathcal{P} [\nabla_v \nabla_v ξ] = -\mathcal{P} [\mathcal{R} (ξ, v) v] = -\mathcal{K} (Π) ξ$.

里奇张量

如果将排列成一个小圆周的一组质点以垂直于圆周所在平面的速度 $v$ 发射出去, 圆周所围面积 $δ \mathcal{A}$ 的加速度由所有包含向量 $v$ 的平面的截面曲率的平均值的 2 倍决定, 这个平均值的 2 倍也就是包含 $v$ 的任意两个相互正交平面的截面曲率之和:
- $(\ddot{δ \mathcal{A}}) (0) = - [\mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2)] δ \mathcal{A} (0)$,
- 因此 $δ \mathcal{A} (t) - δ \mathcal{A} (t) \asymp - \frac{1}{2} [\mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2)] δ \mathcal{A} (0) t^2$.
注意, 有四个下标的 $R$ 是黎曼张量的一个分量, 而有两个下标的 $R$ 是里奇张量的一个分量.
里奇曲率张量定义为
- $\mbox{Ricci} (v, w) ≡ \sum_{m = 1}^{n} R(e_m, v; w) \cdot e_m \Longleftrightarrow R_{jk} = \mbox{Ricci} (e_j, e_k) = R_{mjk}^{m}$.
- 关于记号习惯的注释: 许多作者定义 $R_{jk} ≡ R_{jmk}^{m} = -R_{mjk}^{m}$, 即我们定义的负值.
Ricci 确实是一个张量的事实, 与 $R$ 是一个张量的事实紧密相关. 从 $R$ 的对称性也可以得出 Ricci 是对称的:
- $\mbox{Ricci} (w, v) = \mbox{Ricci} (v, w) \Longleftrightarrow R_{kj} = R_{jk}$.
- 利用黎曼张量的对称性, 首先交换黎曼张量定义中的第一对向量和第二对向量, 然后交换每一对中的两个向量, 就得到了里奇张量的这种对称性.
现在我们就可以看到
- $\mathcal{K} (0) + \mathcal{K} (π / 2) = R_{m33}^m = \mbox{Ricci} (v, v) = R_{jk} v^j v^k$,
- 因此得到了一个非常简单的雅可比式方程, 它支配以速度 $v$ 发射的测地线束围的面积的加速度:
- $\ddot(δ \mathcal{A}) = - \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{A}$.
- 高斯曲率在 2 曲面 (或截面曲率在 $n$ 流形) 的雅可比方程中的作用在这里被里奇曲率所取代. 我们强调, 正的里奇曲率引起吸引力, 导致面积收缩, 因为它使得测地线聚拢.
虽然我们不去计较细节, 但前面的分析是不变的, 具体来说, 里奇曲率现在控制着以速度 $v$ 同时发射的质点形成的小球面围成的体积的加速度:
- $\ddot{δ \mathcal{V}} = - \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{V}$.
- 为了将来的使用, 我们强调正的里奇曲率会引起吸引力, 导致测地线相互靠拢, 所以它们所包围的体积就会收缩.
- 和前面一样, 这意味着 (最初) 体积的变化与时间的平方成比例, 比例系数由里奇曲率决定:
- $$ δ \mathcal{V} (t) - δ \mathcal{V} (0) \asymp
  - \frac{1}{2} \mbox{Ricci} (v, v) δ \mathcal{V} (0) t^2 $$.

爱因斯坦的弯曲时空

"空间告诉物质如何移动, 物质告诉空间如何弯曲."
说得更详细一些, 自由落体沿弯曲空间的测地线运动:
这些测地线仍旧是最直的路径,
但是它们使得用时空度量测量的"距离"最大化 (而不是最小化).

平方反比潮汐力的几何意义: 由且仅由平方反比定律生成的潮汐力是保持体积不变的, 确切地说, 体积的加速度为零, 因此体积保持在 $t^2$ 阶不变:
- $\ddot{δ \mathcal{V}} = 0$.
平方反比吸引力的几何意义: 考虑一个球体, 其体积为 $δ \mathcal{V}$, 内部充满了密度为 $ρ$ 的物质. 在球面外有一层测试粒子, 从静止状态解除约束, 它们就马上向中心加速飞行. 平方反比规律引起它们包围的体积向内坍缩, 向内坍缩的加速度由如下几何规律决定:
- $\ddot{δ \mathcal{V}} = -4 π G ρ δ \mathcal{V}$.

如果我们现在想象这个物质球体 (及其表面的测试粒子)
在地球重力场中以任意速度被发射, 就得到了这两种效应的叠加:
地球的潮汐力开始把球体变形成一个等体积的"蛋",
而球体内物质的吸引力也发挥了使其体积缩小的作用.
最终的结果是, 最初的球体演变成一个"蛋",
但其体积的收缩正比于里面物质的质量, 也正比于时间的平方.

时空中的零锥 (光锥).
时间由竖直方向表示, (三个中的) 两个空间方向用正交的水平方向表示.
一束光线从时空中的一个事件发射出来,
它在时刻 t 扩张成的光球面用它的圆周截线表示.
所以, 这束光线的整个未来用一个锥面表示, 光子的世界线是这个锥面的空母线.
物质粒子在这个锥面内沿类时世界线运动, 运动的速率低于光速.

一个粒子的世界线的切向量称为这个粒子的 4 速度.
一个静止的粒子有一个非零的 4 速度: 它直指时间轴!
注意, 大质量粒子的 4 速度是可以规范化的,
就像我们总是假设粒子在二维曲面内以单位速率运动一样.
但这对于光子的 4 速度而言是不可能的, 因为光子的 4 速度的"长度"总是为零.

在真空中, 为了使潮汐力保持体积不变,
正截面曲率必须正好与负截面曲率抵消, 以便达到完全平衡.

虽然里奇曲率在真空中恒为零,
但这只是正截面曲率和负截面曲率导致体积缩小效果的平均值.
黎曼张量本身一般不会为零.

一般来说, 可以将黎曼曲率分割成体积缩小的里奇部分,
加上一个纯潮汐的, 保持体积不变的部分, 称为外尔曲率.

黑洞的诞生: 超新星核的引力坍缩. 爱因斯坦的场方程告诉我们, 一个质量足够大的核的坍缩将达到一种不可逆转的情况: 引力将无情地将整个核挤压成一个密度无穷大, 潮汐力无穷大的点 ($r = 0$), 称为时空奇点; 剩下的是一个纯净的真空引力场.
- 如果从正在坍缩的核的中心足够早地发射出一束闪光, 它就能逃离引力场. 然后, 会出现一个关键时刻: 从中心发出的闪光光球起初膨胀, 然后速度变慢, 最终悬停在施瓦氏半径 $r_S = 2GM / c^2$ 上.
- 这个悬停的光球面就是事件视界, 它的内部是一个黑洞: 一旦形成, 任何物质或信息都不可能逃离这个区域. 零锥与视界相切, 因此它们允许物质和光向内通过, 但从不向外通过, 因为物质总是在零锥内部传播.

1-形式

形式是埃利·嘉当在 1900 年前后发现的.
嘉当思想异常深邃, 见解独到, 涉猎广泛.
为了完全发挥形式的威力, 他甚至又花费了 40 年时间.

1-形式是输入一个向量的线性实值函数.

更明确地说, 如果 $k_1$ 和 $k_2$ 是任意常数, $v_1$ 和 $v_2$ 是任意向量, 那么
- $ω$ 是 1-形式 $\Longleftrightarrow ω(k_1 v_1 + k_2 v_2) = k_1 ω(v_1) + k_2 ω(v_2)$.
- 在验证一个特定的 $ω$ 是否是 1-形式时, 从概念上讲, 将这个单一的条件分解为两个更简单的条件会更方便一些:
- $ω(v_1 + v_2) = ω(v_1) + ω(v_2)$, 和 $ω(kv) = kω(v)$.
这个 1-形式的向量空间被认为是它所作用的向量空间的对偶. 使用这个术语的原因是, 这两个空间之间存在一种对称关系: 我们也可以把向量空间看作 1-形式空间的”对偶”.
- 为了了解这种对称性, 让我们把向量 $v$ 看成一个作用于 1-形式 $ω$ 的函数, 这个作用的定义为
- $v(ω) ≡ ω(v)$.
- 向量和 1-形式这种对称的彼此作用通常也称为向量和 1-形式的缩并, 有时也表示为 $\langle ω, v \rangle$, 以强调两种对象的平等地位.
- 由此可以得出向量 $v$ 是 1-形式的线性函数:
- \[\begin{align} v(ω + φ) & = (ω + φ)(v) \\ & = ω(v) + φ(v) \\ & = v(ω) + v(φ) \end{align}\]
- 且 $v(kω) = kω(v) = kv(ω)$.
如果我们将狄拉克右矢 $\mid v \rangle$ (即量子态) 视为”向量”, 而将狄拉克左矢 $\langle ω \mid$ 视为 1-形式, 就可以将 1-形式和向量的缩并定义为标准的 (复数) 内积:
- $ω(v) ≡ \langle ω \mid v \rangle$.
在 $n$ 流形上的一个点 $p$ 处, 我们选择切空间 $T_p$ 的一个基底 $\{ e_j \}$, 用爱因斯坦求和约定, 就可以将一般向量写成
- $v = v^j e_j$.
- 我们不假设这个基底是正交的. 在点 $p$ 处有一个由 1-形式组成的空间 $T_p^{*}$, 有了 $\{ e_j \}$ 这个基底, 就有一种自然的方法将 $\{ e_j \}$ 与空间 $T_p^{*}$ 的一组基底 $\{ ω^i \}$ (称为 $\{ e_j \}$ 的对偶基) 联系起来:
- $ω^i$ 选出 $v$ 的第 $i$ 个分量 $\Longleftrightarrow ω^i (v) = v^i$.
- 两个向量和的第 $i$ 个分量就是两个向量第 $i$ 个分量的和, 向量 $kv$ 的第 $i$ 个分量是 $k v^i$, 这就证明了这些 $\{ ω^i \}$ 的确就是 1-形式.
让我们把如下常见的误解消灭在萌芽状态. 因为基底 1-形式的集合 $\{ ω^1, ω^2 \}$ 是基向量的集合 $\{ e_1, e_2 \}$ 的对偶, 所以 $ω^l$ 是 $e_1$ 的对偶, 而且 $ω^2$ 是 $e_2$ 的对偶:
- 这是完全错误的.
克罗内克符号:
- \[δ^i_j ≡ \begin{cases} 1, & \mbox{ 若 } i = j, \\ 0, & \mbox{ 若 } i ≠ j. \end{cases}\]
- 基底 $\{ ω^i \}$ 的等价定义:
- $ω^i (e_j) = δ^i_j \Longleftrightarrow ω^i (v) = v^i$.

令一般的 1-形式 $φ$ 作用于 $v$ 为
- $φ(v) = φ(v^j e_j) = v^j φ(e_j) = ω^j (v) φ(e_j)$.
- 我们现在定义
- $φ$ 的分量 $φ_j$: $φ_j ≡ φ(e_j)$.
- 于是 $φ(v) = φ_j ω^j (v)$.
但因为我们是利用 1-形式对一般向量的作用来定义它的, 可以将方程两边的向量 $v$ “抽出来”, 从而得到 1-形式自身的相等关系. 而且, 这样就将任意一个 1-形式 $φ$ 分解为它在基底 1-形式 $\{ ω^j \}$ 中独特的分量形式, 其中 $\{ ω^i \}$ 是向量基 $\{ e_j \}$ 的对偶基, 所以
- $φ = φ_j ω^j = φ(e_j) ω^j$.
回顾向量微积分, 在 $\mathbb{R}^2$ 中一个函数 $f$ 的梯度被定义为向量
- $\nabla f ≡ \begin{bmatrix} \partial_{x} f \\ \partial_{y} f \end{bmatrix}$.
- 这个向量的意义是
- $\nabla f$ 指向 $f$ 增加最快的方向, 其大小 $| \nabla f |$ 等于我们沿这个方向移动时 $f$ 的最大增加率.

陶哲轩实分析 (下), 方向导数.

这种解释来自一个更原始的事实, 函数 $f$ 的梯度 1-形式 $\mathbf{d} f$ 是由它对向量的作用来定义的:
- $\mathbf{d} f(v) ≡ \nabla_v f$.
- 加粗的 $\mathbf{d}$ 算子称为外导数, 它将在后面的讨论中发挥核心作用.
- 注意到求导算子 $\nabla_v$ 服从莱布尼茨法则 (又名乘积公式法则), 所以外导数也服从
- $\mathbf{d} (fg) = f \mathbf{d} g + g \mathbf{d} f$.

显然, 所有这些都可以直接推广到任意维度. 设 $\{ e_i \}$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的一个标准正交基底, 其直角坐标为 $\{ x^j \}$, 因此 $v = v^i e_i$ 是一个一般向量, 而 $d x^j$ 决定其第 $j$ 个分量, 即 $(d x^j) v = v^j$. 特别是,
- $(d x^i) e_j = δ_j^i$.
- 我们称之为笛卡儿基:
- $\{ d x^j \} = \{ ω^j \}$ 是对偶于 $\{ e_j \}$ 的 1-形式笛卡儿基.
- 可以将一个一般的 1-形式 $φ$ 分解成在这个对偶基中的分量, 它们为
- $φ = φ_j ω^j = φ(e_j) d x^j$.
取 $φ = df$, 我们回到最初的定义, 将一般函数 $f$ 的梯度 1-形式 $df$ 分解为它的 1-形式笛卡儿基的分量, 如下所示:
- $df = [(df) e_j] d x^j = [\partial_{x^j} f] d x^j$.
- 在形式上, 这与经典公式是相同的, 但现在它有了精确, 严格的含义, 不需要用到无穷小. 然而, 它与几何意义上的最终相等有着非常直接和直观的联系.

张量

一个在点 $p$ 处的 $\begin{Bmatrix} f \\ v \end{Bmatrix}$ 阶张量 $H$ 是输入 $f$ 个 1-形式和 $v$ 个向量的实值多重线性函数, 使得 $H$ 在点 $p$ 处的值只依赖于这些 1-形式和向量在点 $p$ 处的值.
- 或称为 $f$ 阶协变 $+$ $v$ 阶逆变的张量, 简称为 $f + v$ 阶张量.

比其它书籍更显言简意赅~

给定两个 1-形式 $φ$ 和 $ψ$, 它们各自可以作用于一个单一的向量, 自然可以定义它们的张量积为一个作用于两个向量的张量, 即一个阶为 $\begin{Bmatrix} 0 \\ 2 \end{Bmatrix}$ 的张量, 如下所示:
- $(φ \otimes ψ) (v, w) ≡ φ(v) ψ(w)$.
- 注意这里的次序很重要: $φ \otimes ψ ≠ ψ \otimes φ$.
- 关于术语的注释: 张量积常常也称为直积或外积.
同样可以定义更高阶张量的张量积. 例如, 我们可以将一个阶为 $\begin{Bmatrix} 2 \\ 1 \end{Bmatrix}$ 的张量 $J(φ, ψ \parallel u)$ 乘以一个阶为 $\begin{Bmatrix} 0 \\ 2 \end{Bmatrix}$ 的张量 $T(v, w)$, 得到阶为 $\begin{Bmatrix} 2 \\ 3 \end{Bmatrix}$ 的张量 $J \otimes T$:
- $(J \otimes T) (φ, ψ \parallel u, v, w) ≡ J(φ, ψ \parallel u) \cdot T(v, w)$.
我们可以将整个张量 $T$ 分解为张量分量, 如下所示:
- $\begin{align} T(v, w) & = T(v^i e_i, w^j e_j) \\ & = T(e_i, e_j) v^i w^j \\ & = T_{ij} v^i w^j \\ & = T_{ij} [d x^i (v)] [d x^j (w)] \\ & = T_{ij} (d x^i \otimes d x^j) (v, w) \end{align}$.
- 因为 $v$ 和 $w$ 都是一般的向量, 所以可以将它们抽出来, 于是这个张量可以表示为
- $T = T_{ij} (d x^i \otimes d x^j)$.
- 由此可知: 由张量 $(d x^i \otimes d x^j)$ 组成的集合形成 $\begin{Bmatrix} 0 \\ 2 \end{Bmatrix}$ 阶张量的基底.
用同样的方式, 我们可以得到两个向量的张量积:
- $(v \otimes w) (φ, ψ) = v(φ) w(ψ) = v^i w^j (e_i \otimes e_j) (φ, ψ)$.
- 同样, 一个阶为 $\begin{Bmatrix} 2 \\ 0 \end{Bmatrix}$ 的张量 $K(φ, ψ)$ 可以在张量基里分解为
- $K = K^{ij} (e_i \otimes e_j)$.
- 显然, 这个方法适用于任意阶 $\begin{Bmatrix} f \\ v \end{Bmatrix}$ 的张量, 可以用张量基分解出它们的分量:
- $(e_{i_1} \otimes e_{i_2} \otimes ... e_{i_f}) \otimes (d x^{j_1} \otimes d x^{j_2} \otimes ... \otimes d x^{j_v})$.
- 注意, 一个阶为 $\begin{Bmatrix} f \\ v \end{Bmatrix}$ 的张量具有 $f$ 个上标, $v$ 个下标.
- 在过去的文献中, 上标称为逆变的 (或反变的), 下标称为协变的 (或共变的).
缩并的思想适用于至少输入一个 1-形式和一个向量的任意张量: 将一个上标和一个下标加起来. 缩并运算一般会消除一个上标和一个下标, 所以缩并后新张量的输入空位要减少一个 1-形式和一个向量的输入.
- 事实上, 缩并在张量积运算中还有更广的意义. 我们首先做一个 $A \otimes B$, 然后对 $A$ 的一个上标和 $B$ 的一个下标求和.
- 这样得到的结果是一个新的张量, 而且与生成求和分量的向量基 $\{ e_j \}$ 和 1-形式基 $\{ d x^i \}$ 无关.

2-形式

在且仅在三维空间中, 2-形式的分量与向量的分量的数量是相同的.
物理学家在 19 世纪 80 年代成功开创的向量微积分,
至今仍然被认为是 21 世纪现代科学不可或缺的工具.
现在可以看到, 它的基础就是这个奇异的数值巧合.

可视化微分几何和形式 (下)

行到水穷处, 坐看云起时. 偶然值林叟, 谈笑无还期.

黎曼曲率

内蕴 (协变) 导数

黎曼曲率张量

n 维流形的雅可比方程

里奇张量

爱因斯坦的弯曲时空

1-形式

张量

2-形式

3-形式

微分学

积分学

用形式来讲微分几何